北師大版高中數(shù)學(xué)必修5全本教案

#/86且d —a[ 2,'''a?a80,13又???d20數(shù)列為減數(shù)列 a70,a80當(dāng)n7時(shí)，S7最大，且S749.方法二：(由Sn為二次函數(shù)，對(duì)Sn進(jìn)行配方n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí),Sn最大.)由Q-a3(31)d 11(111)d出S3Su付3a1 11a1 -8a152d0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2又a113,得d2.???Sn13nn(n1)d n214n(n7)249\o"CurrentDocument"n 2當(dāng)n7時(shí)，S7最大，且S749.方法三：同方法二，得d2\o"CurrentDocument"an0 13 15\o"CurrentDocument"an13(n1)(2)152n令 —n—\o"CurrentDocument"an10 2 2???nN??.n7時(shí)，S7最大，且S749.方法四：圖象法 由S3§1,知對(duì)稱軸為n7.所以S7最大.小結(jié)：(I)等差數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用：an0(1)當(dāng)a10,d0時(shí)，Sn有最大值，n是不等式 的正整數(shù)解時(shí)an1 0取得；40(2)當(dāng)a10,d0時(shí)，Sn有最大值，n是不等式 的正整數(shù)解時(shí)a1 0取得.(II)當(dāng)數(shù)列中有某項(xiàng)值為 0時(shí)，n應(yīng)有兩解. SmSm1 am10.例9.在等差數(shù)列 an中，氏12,&20,Si30.(1)求公差d的范圍；(2)問(wèn)S1,S2,S3,L,§2中哪個(gè)值最大?解:SI212ai12(121)d0(1)由題意得 S313ai13(131)d0 解之得， 24d3.2 7a3a2d12(2)???d0Sn為開(kāi)口向下的二次函數(shù).萬(wàn)案1：利用函數(shù)求最值Snna1n(n1)d對(duì)稱軸為n0n(a32d)n(n1)d5(12-2d)n萬(wàn)案n6時(shí),12一,

d24no(6,6.5)S6最大.2:利用數(shù)列的單調(diào)性S12S1312(a1213一(a12a12)a13)aiaia7，前a12a136項(xiàng)和最大.方案3:利用函數(shù)圖象（適用于選擇填空）an和例10.等差數(shù)列求迎及鬼.b15 bn解：方法一:a15b152a15

2bl5a62a7a70Sn的根為對(duì)稱軸為12X013X。(6,6.5)離對(duì)稱軸較近，所以S6最大.bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn之比為a〔a29b1b2929/c2(a1 a29) S29 32919sb29) T29同理an- aa2n1S2n3(2n1)1bn b1 b2n1T2n12(2n1)3Sn

Tn293n12n31882293616n—2.（只適用于上下角標(biāo)相4n1同的）方法二：設(shè)Sn(3n1)kn,Tn(2n3)kn（通法）anSnSn1k(6n2),bnTn Tn1k(4n1)結(jié)論：等差數(shù)列變式：等差數(shù)列am

bn解：設(shè)Sna15

b15anan(3nbn Tn Tn1下角標(biāo)k(6152) 88 ；k(4151)611)an k(6n2)6n2bn k(4n1)4n1bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則^nbnbn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn之比為kn,Tn(2n3)kn,anSn Sn1k(4n1),不同時(shí)S2n1T2nSnTn3n1十 ,求2n3k(6n2),S2m■

T2n13(2m1)2(2m1)311.等差數(shù)列an中，S33al解：由題意，得6al1212an a1(n1)d11當(dāng)n,5時(shí),Tna19na2當(dāng)n…6時(shí),Tna1a2ambnk(6m2)k(4n1)6m24n1am ai a2m1bn blb2n12n12m1SmJ ,但是T2n121,2d5dS6 24,21,解得:24.2n.令112n(n求數(shù)列ana19,d的前n項(xiàng)和為T(mén)n.0,得n5.5.an& a2L an1)(2)10nan(a〔a?L as)&a?L an)S550(SnS5)2S51[9nn(n1)(2Sn2)]2一一n10n502nTn2n10n(n,5)10n50(n5)例12.(1)等差數(shù)列 an前m項(xiàng)和為30,且前2m項(xiàng)和為100,求其前3m項(xiàng)和.(2)有一個(gè)項(xiàng)數(shù)為 2n1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比.(3)等差數(shù)列 an前12項(xiàng)之和為354,其中奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為27:32,求公差d.(4)已知等差數(shù)列 an,a,a4a8a12a152,求S15.(5)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,Snm,Smn,(m,nN且mn),求Smn解：(1)30100—30,x—100(5)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,Snm,Smn,(m,nN且mn),求Smn解：(1)30100—30,x—100等差,另解:Sm

mS2mS3m, ，2m3m得2Sm2m所以,Smm刖S3m3m3m項(xiàng)和為S2m210.SmSm,即3可.(2)奇數(shù)項(xiàng)有1個(gè),偶數(shù)項(xiàng)n個(gè).1),S偶二(a2 a2n)'2,奇.一 S.一 SpSqSpq, 、結(jié)論：在等差數(shù)列中，有 ——q」^(pq).pqpq&0354(3)&27S禺32St162，又S偶S奇6dd5.或用基本量S禺192計(jì)算.(4)由已知得a8(4)由已知得a82,a1a154,禾1J用S1515a8或S15 也⑶ aQ2(5)方法一：用基本量(5)方法一：用基本量(整體代換)n(n1)mnai d兩式作差2兩式作差m(m1),nma1- zd2/ .(nm)(nm1).TOC\o"1-5"\h\zmn(nm)a1 d2(nm1)..即a1 d1,2Smn(mn)[ai(nmm九](mn)方法二：利用｛0n｝等差，得(n,m),(m,-),(mn,色工)三點(diǎn)共線，斜率

n nm mn相等即可得到.三、歸納總結(jié).知識(shí)總結(jié)：(1)本節(jié)介紹了一種求數(shù)列前 n項(xiàng)和的方法一一倒序求和法.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公.式：snn(a1an),snna1nn』d.2 22.方法總結(jié)：(1)要會(huì)根據(jù)公式列方程求等差數(shù)列的基本元素；(2)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題；(3)會(huì)應(yīng)用函數(shù)思想研究數(shù)列問(wèn)題.四、作業(yè)及練習(xí)：1.3.1.等比數(shù)列（一）（一）過(guò)程與能力目標(biāo).明確等比數(shù)列的定義;an,&,qan,&,q,n中的三個(gè)，求另個(gè)的問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn).等比數(shù)列概念的理解與掌握；.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列U等比”的理解、把握和應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入：?(教材上的?(教材上的P48面),-,-,-,…； ②2 4 81.0198,1.10982,1.10983…… ④TOC\o"1-5"\h\z1,2,4,8,16,…，263; ① 1. 2 3\o"CurrentDocument"1,20,20,20，…； ③對(duì)于數(shù)列①,=2(n>2).對(duì)于數(shù)列②,an11an=-2VT；anan1對(duì)于數(shù)列③,anan1對(duì)于數(shù)列③,an=20n1;-an-=20(n>2).an11—(n>2).2共同特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，第一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).二、檢查預(yù)習(xí)1.2.等比數(shù)列的定義.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式nan a1q1/(ai,q0)，anamq(am,q0)，anABn(A,B0)3.{an}成等比數(shù)列an1 q(nN,q0)4.(23,求下面等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第1)5,15,455項(xiàng)：(2)1.2，2.44.813 .22.8， :(4)2XT三、合作探究(1)等比數(shù)列中有為 0的項(xiàng)嗎？(2)公比為1的數(shù)列是什么數(shù)列？(3)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？(4)常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？四交流展示1.等比數(shù)列的定義： 一般地，若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù) ，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列 .這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公.一、 . 一a「比，用子母q表不'(qw0),即： =q(qw0)an1注：(1)“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)注：(1)“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)q;｛an｝成等比數(shù)列an1=qan（nN,qw0.）(2)隱含：任一項(xiàng)an 0且q 0⑶q=1⑶q=1時(shí)，｛an｝為常數(shù)數(shù)列.非零常數(shù)列.(4).既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列:2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1：analqn1（a1,q均不為0）觀察法：由等比數(shù)列的定義，有： a2a1q；a3a2q（a〔q）qa〔q2；, 2、 3a4a3q（a〔q）qa〔q； n1anan1qa1q（a1,q0）?a2 a3 a4 an迭乘法：由等比數(shù)列的定義，有:—q;—q;—q;…；q迭乘法：由等比數(shù)列的定義，有:a1 a2 a3 an1所以———小qn1,即ana1qn1（a1,q0）a1a2a3 an1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2：an amqnm（am,q。）五精講精練例五精講精練例1.一個(gè)等比數(shù)列的第項(xiàng).3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18,求它的第1項(xiàng)與第2解:183122a2a3

q12解:183122a2a3

q128,a1a2c2 16—8-—.q3 3點(diǎn)評(píng)：考察等比數(shù)列項(xiàng)和通項(xiàng)公式的理解變式訓(xùn)練一：教材第52頁(yè)第1例2.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:ai 2自 8;解：… 2⑴a3aiq q4q2ai5,且2ani 點(diǎn)評(píng)：考察等比數(shù)列項(xiàng)和通項(xiàng)公式的理解變式訓(xùn)練一：教材第52頁(yè)第1例2.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:ai 2自 8;解：… 2⑴a3aiq q4q2ai5,且2ani 3a「n1 n n1 nan (2)2 2或an(2)(2) (2)(2)an1an又：科5an1)"點(diǎn)評(píng)：求通項(xiàng)時(shí)，求首項(xiàng)和公比變式訓(xùn)練二：教材第52頁(yè)第2例3.教材P50面的例1。\o"CurrentDocument"0 1 2 n1例4.已知無(wú)窮數(shù)列105,105,10石， 10工， ，求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列；1（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的 —10（3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中.證：（1）anan1n110年n~210丁1105（常數(shù)）.??該數(shù)列成等比數(shù)列.(2)an5n110~n410二101an an5-10(3)apaqp110萬(wàn)10pq210=,pq11且pq1N,pq2???105n1105 ，(第pq1項(xiàng)).變式訓(xùn)練三：教材第 53頁(yè)第3、4題.六、課堂小結(jié)：.等比數(shù)列的定義；.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及變形式七、板書(shū)設(shè)計(jì)八、課后作業(yè)閱讀教材第48?50頁(yè)；1.2.4等比數(shù)列(二)一、知識(shí)與技能1.了解等比數(shù)列更多的性質(zhì)；.能將學(xué)過(guò)的知識(shí)和思想方法運(yùn)用于對(duì)等比數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步思考和有關(guān)TOC\o"1-5"\h\z等比數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題的解決中 ；.能在生活實(shí)際的問(wèn)題情境中，抽象出等比數(shù)列關(guān)系，并能用有關(guān)的知識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題 .二、過(guò)程與方法.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué) ；.對(duì)生活實(shí)際中的問(wèn)題采用合作交流的方法，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題的解決方法，經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程 ；.當(dāng)好學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者的角色^三、情感態(tài)度與價(jià)值觀.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列更多性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生的良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力；.通過(guò)生活實(shí)際中有關(guān)問(wèn)題的分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)社會(huì)、了解社會(huì)的意識(shí)，更多地知道數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值 ^教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課(1)將數(shù)列｛an｝的前k項(xiàng)去掉，剩余的數(shù)列為ak+1,ak+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…，則數(shù)列ak+1,ak+2,…，可視為b1,b2, .ba因?yàn)閎L±amq(i>1),所以，｛bn｝是等比數(shù)列，即ak+1,ak+2,…是等比bi aki數(shù)列.(2)｛an｝中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的數(shù)列是 a1,a11,a21,…，則a1阻…a10k1 …q10(k>1).a1 a11 a10k9所以數(shù)列a1,a11,221,…是以a1為首項(xiàng)，q10為公比的等比數(shù)列 .猜想：在數(shù)列｛an｝中每隔m(m是一個(gè)正整數(shù))取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是以a1為首項(xiàng)、qm為公比的等比數(shù)列 .第4題解答：⑴設(shè)｛an｝的公比是q,則a52=(aq4)2=a12q8,而a3?a7=aq2?a1q6=a12q8,所以a52=a3?a7.同理，a52=a1,a9.(2)用上面的方法不難證明 an2=an-1-an+1(n>1).由此得出，an是an-1和an+1的等比中項(xiàng)，同理可證 an2=an-k?an+k(n>k>0).an是an-k和an+k的等比中項(xiàng)(n>k>0).師和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊(yùn)涵著許多的性質(zhì)，如果我們想知道的更多，就要對(duì)它作進(jìn)一步的探究 ^推進(jìn)新課［合作探究］例題1 (教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列 ｛an｝,計(jì)算a7+a10,a8+a9和aio+a40,220+230,你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題 .在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類似結(jié)論？猜想對(duì)于等比數(shù)列 ｛an｝,類似的性質(zhì)為：k+s=p+t(k,s,p,t￡N),則ak,as=ap,at.證明：設(shè)等比數(shù)列｛an｝公比為q,k-1 s-1 2 k+s-2貝U有ak,as=a〔q ?a〔q=a1,q,ap-at=a1qp-1-a1qt-1=a/?qp+t-2.因?yàn)閗+s=p+t,VX^=fak,as=ap,at.即等比數(shù)列｛an｝中，若k+s=p+t(k,s,p,tC N*),則有a1as=ap-at.下面有兩個(gè)結(jié)論：(1)與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積；(2)與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方 ^結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中 1+n=(1+t)+( n-t)時(shí)的情形；結(jié)論(2)就是上述性質(zhì)中 k+k=(k+t)+(k-t) 時(shí)的情形.例題2(1)在等比數(shù)列｛an｝中，已知a1=5,a9a10=100,求a18；(2)在等比數(shù)列｛bn｝中，b4=3,求該數(shù)列前七項(xiàng)之積；(3)在等比數(shù)列｛an｝中，a2=-2,a5=54,求a8..［合作探究］判斷一個(gè)數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法： 1、定義法；2、中項(xiàng)法；3、通項(xiàng)公式法例題3：已知｛an｝｛bn｝是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列， 仿照下表中的例子填寫(xiě)表格從中你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論 ^anbnan-bn判斷｛an?bn｝是否是等比數(shù)列例3(鏟-5X2n-110(3尸是自選1自選2得到：如果｛an｝、｛bn｝是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么｛an?bn｝也是等比數(shù)列.證明如下：設(shè)數(shù)列｛an｝的公比是p,｛bn｝公比是q,那么數(shù)列｛an?bn｝的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為a1pn-1b1qn-1與a1pnb1qn,因?yàn)閜q，an1?bn1pq，； n1.n-Tanbn a1Phq它是一個(gè)與 n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以｛an?bn｝是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列 .［教師精講］除了上面的證法外，我們還可以考慮如下證明思路：證法二：設(shè)數(shù)列｛an｝的公比是 p,｛bn｝公比是q,那么數(shù)列｛an?bn｝的第n項(xiàng)、第n-1項(xiàng)與第n+1項(xiàng)(n>1,nCN*)分別為dpn-1b〔qn-1、a〔pn-2b1qn-2與a1pnb1qn,因?yàn)?anbn)2=(a1pn-1b1qn-1)2=(ab。2(pq)2(n-1),(an-1-bn-1)(an+1?bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pbqn)=(a1b)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(an-1.bn-1)(an+1-bn+"(n>1,n€N),所以｛an?bn｝是一個(gè)等比數(shù)列 .證法三：設(shè)數(shù)列 ｛an｝的公比是 p, ｛bn｝公比是 q,那么數(shù)列｛an? bn｝的通項(xiàng)公式anbn=a1pn-1bd-1=(ab/pq)n-1,設(shè)Cn=anbn,則Cn=(2也)曬)n1,所以｛an?bn｝是一個(gè)等比數(shù)列.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：.等比數(shù)列的性質(zhì)的探究 ^.證明等比數(shù)列的常用方法 .布置作業(yè)課本第60頁(yè)習(xí)題2.4A組第3題、B組第1題.板書(shū)設(shè)計(jì)等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用例1 例2 例31.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)目標(biāo)：了解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路，會(huì)用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式解決簡(jiǎn)單的與前 n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題.2.提高學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程：一.材料1：數(shù)學(xué)小故事：國(guó)際象棋起源于印度。棋盤(pán)上共有 8行8列構(gòu)成64個(gè)格子。傳說(shuō)國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，發(fā)明者說(shuō)： “請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，在棋盤(pán)的第 2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在棋盤(pán)的第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，在棋盤(pán)的第4個(gè)格子里放上8顆麥粒，以此類?推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的 2倍，直到第64個(gè)格子。請(qǐng)給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求。 ”問(wèn)題1:由于每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的 2倍，且共有64個(gè)格子，各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是：2,4,8,…，263問(wèn)題2:這是什么數(shù)列？等比數(shù)列問(wèn)題3:那麥?？倲?shù)是多少呢？ 1+2+4+…+262+263。即求以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前 64項(xiàng)的和，前64項(xiàng)和可表本為：S641248 262263, ①材料2:就在國(guó)王猶豫是否要答應(yīng)發(fā)明者的要求時(shí)， 站在一旁一位將告老還鄉(xiāng)的大臣聽(tīng)后不滿地說(shuō)：“我跟陛下這么多年戰(zhàn)功卓著，請(qǐng)求陛下同樣賞賜給我麥子，在棋盤(pán)的第一格子里放上 2顆麥粒，在第2個(gè)格子里放上4顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上8顆麥粒，依次類推，每一個(gè)格子放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)

格子里放的麥粒數(shù)的2格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放完64個(gè)格子為止。2倍，且共有64問(wèn)題2倍，且共有64個(gè)格子，各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是：4,8,16,…，264問(wèn)題5:這是什么數(shù)列？等比數(shù)列問(wèn)題6:那麥?？倲?shù)是多少呢？ 2+4+4+…+263+264。即求以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前 64項(xiàng)的和,前64項(xiàng)和可表本為：丁64 2+4+4+…+2+2 ②問(wèn)題7:觀察①②，你發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等式有什么關(guān)系？ T642s64由①一②可得：一 S64 1264.即S64 2641。問(wèn)題8:在上面的求解過(guò)程中，為什么乘以 2就可以解決問(wèn)題了？乘以 3或其他的實(shí)數(shù)可以嗎？這種求和方法稱為“錯(cuò)位相法” ，“錯(cuò)位相減法”是研究數(shù)列求和的一個(gè)重要方法.2 3 15問(wèn)題9：根據(jù)上述方法求和 S161333L3二，等比數(shù)列前浮項(xiàng)和公式的推導(dǎo)一般地，設(shè)等比數(shù)列 一它的前內(nèi)項(xiàng)和是SK=白1+ +--一+白尺,由邑二5十?？谑?, 得鼠三由1十伏q十。1/十…十qqi十藥g-i.1%=/廣i. [*=口]g十口聞"+6/+-+,小+口。Q-4）乂 一/小 ，當(dāng)時(shí)，孔）或.="口相.當(dāng)守=】時(shí)，W尸吟.三、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q1時(shí)，sna1（1川）①或sn a1anq②；1q 1q當(dāng)q=1時(shí)，Snna1.思考：什么時(shí)候用公式（ 1）、什么時(shí)候用公式（2）?（當(dāng)已知ai,q,n時(shí)用公式①；當(dāng)已知 ai,q,an時(shí)，用公式②）四、利用等比數(shù)列進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的運(yùn)用.例題講解.例1.在等比數(shù)列an中，⑴已知ai 4,qL求S10；22）已知ai1,ak243,q3,求Sk。（3）已知a1 2,S326,求a3與q例2：在數(shù)列an中，S3 7,S6絲.。2 2（1）若an為等差數(shù)列，求q和an。（2）若an為等比數(shù)列，求q和an。2.練習(xí).課本P57—58練習(xí)1,2,3題.五、小結(jié)?.請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)等比數(shù)列的前？J項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，蘆當(dāng)安小時(shí)，國(guó)二%二”或n二皿二gl-q 1-g2,說(shuō)說(shuō)本節(jié)課所用到的求和的思想方法：錯(cuò)位相減法六、課外作業(yè)講本P57練習(xí)4,P6L習(xí)題第1,3,4題.數(shù)列求和的基本方法與技巧、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列求和公式:Snn(a〔an)na1n(n1)d2、等比數(shù)列求和公式:Snna1a1(1(q1)3、Sn1n(n21)5、Snk3k11,

[-n(n21)]2［例1］已知log3x1 ,求log23解：由log3x1 +log3xlog23由等比數(shù)列求和公式得Sn[例2]設(shè)Sn=1+2+3+-+n,n6解：由等差數(shù)列求和公式得Sn用常用公式）f(n) S (n32)Sn11a/64n34—n當(dāng)Vn -8=，即n=88a1log32x(1f(n)?anq1q4、Sn(qk2k11)1-n(n1)(2n1)6的前n項(xiàng)和.xn)1—n(n2（利用常用公式）2nSn(n1)32)Sn1的最大值.Sn1 ,—(n1)(n2)(利2n2n234n641一82(、,n)n時(shí),f(n)max50150150、錯(cuò)位相減法求和：這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法， 這種方法主要用于求各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列｛an?bn｝的前n項(xiàng)和，其中｛an｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。2n1例設(shè)數(shù)列an滿足ai2,ani烝3g2 ,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;例設(shè)數(shù)列(2)令bnnan,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。解：(I)由已知，當(dāng)n>1時(shí)，an1 [(an 1 an) (an an i)L (a2 ai)] a[2n12n33(2 2L2)222(n1)1。而a1 2,所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an22n12n1,(n)由bnnann2知Sn 12223 325Ln22n1從而2 357 2nlz2Sn 12 22 32Ln2②①-②得(1 22)S(1 22)Sn22325L22n1n22n1即 Sn」[(3n1)22n12]9n1(2n1)x n1(2n1)x [例3]求和：Sn13x5x7x解：由題可知，｛(2n1)xn1｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n—1｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列 ｛xn的通項(xiàng)之積設(shè)xSn1x3x25x37x4②(設(shè)制錯(cuò)位)①一(1x)Sn12x2x22x32x4(2n1)xn 2xn1(2n1)xn(錯(cuò)位相減)再利用等列的求和公式得2x—1(2n1)xnSn(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2 2［例4］求數(shù)列一2解：由題可知,23,{2n2n2nn項(xiàng)的和。，………一 ，……一… 1 ,,｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列 ｛2n｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列 ｛「｝的2n通項(xiàng)之積設(shè)Sn2sn（設(shè)制錯(cuò)位）2222262y6242n2n2n2n1(12)Sn22n_n_n12 2（錯(cuò)位相減）三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前Sn12nn1n12 2n22n1項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到設(shè)f(x)=44x +率2,求s=f(n個(gè)(a〔an)。2 20122013)+f(2013)++f(2013),【思路探究】由函數(shù)解析式特點(diǎn)知f（x）+f（1—x）=1,故可用倒序相加法.【自主解答】4x,f(x)=4j2'f(1—x)4~x4~x+2=4+2-4x=4x+2.f(x)+f(1-x)=1.'S=f(2013xx 2_、， ,一2012、不)+f(2013)+,,,+f(2013)'。又S=f(20122013)+f(20112013. 1 …XTf(赤)，②①+②得2s=2012，.二S=1006.開(kāi),

可。Danb開(kāi),

可。Danbn,其中anbn是等比數(shù)列;四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即形如：ann,n2k1,n,n2k,kNan例已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n3n1,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和.解：例已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n3n1,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和.解：Sna〔a2an212222n3n=21222n3nnd2121.= n23n1=2=2n12.［例7］求數(shù)列的前項(xiàng)和:解：設(shè)Sn(11)(-

a4)4」a47)a7,1n1a［例7］求數(shù)列的前項(xiàng)和:解：設(shè)Sn(11)(-

a4)4」a47)a7,1n1a(二(n1a3n3n2)將其每項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn1)(13n2)（分組）Sn(3n1)nSn(3n1)n2(3n1)n

2（分組求和）［例8］求數(shù)列解：設(shè)1時(shí),{n(n+1)(2n+1)}的前1na［例8］求數(shù)列解：設(shè)1時(shí),{n(n+1)(2n+1)}的前1na1(3n1)nan項(xiàng)和。akk(k1)(2k1)2k323kk(3n1)n

2nSn nSn k(k1)(2kk11)n

3 2(2k3kk)k1將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得k3k2=2(13233\n)3(1222n2)(12n）（分組）2 2n(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)2（分組求和）2 _n(n1)(n2)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng),的。.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中最終達(dá)到求和的目把數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為 0的等anan差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列，以及部分無(wú)理數(shù)列和含階乘的數(shù)列等.用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法。通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:ananan（1）anf(n1)f(n)1n(n1)(2)sin1cosncos(n1)tan(n1)tann(2n(7)(8)an(2n)21)(2n1)ann(n1)2n1n(n12n1)(n2)夕而2(n1)n1n(n1) 2n1I1)(n(n1)2n例已知等差數(shù)列an滿足：a37a5a726an的前n項(xiàng)和為Sn.（I）求an及Sn；(n)令bn=-2——(n

an 1N*）,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)閍3a5a7 26,所以有a12d72al10d26ai3,d32(n1)=2n+1Sn=3n+n(n-1)2+2n。1bn=-2 an 1~ 1所以Tn=14即數(shù)列 bnan2n+1,一2(2n+1)(1-的前[例9]求數(shù)列（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）[例10]在數(shù)列n(n+1)4nn+1),項(xiàng)和Tn=1 1、1?+n，=，1-o4(n+1){an}中,列｛bn｝的前n項(xiàng)的和.n+1)=4(n+1)的前n項(xiàng)和。Sn(.3n ，又bnn1—-—,求數(shù)anan1解:an求和）bnn12

nn1

2~2~n18(-nnn1E)（裂項(xiàng)）數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和- 1 1Sn 8[(12)(23）z1八(34)(-

n)]（裂項(xiàng)1=8(1.)8nn1利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一， 每年的高考題都會(huì)考察到， 小題一般較易,大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式一一通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。?一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式。例1. 根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，說(shuō)出數(shù)列的通項(xiàng)公式：1、1,3,7,15,31, 2、2,6,12,20,30, 21213、2,1,,,,-32534、1,-1,1,-1 5、1、0、1、0 ?二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)②若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)Hn可用公式TOC\o"1-5"\h\zS n1〃an 求解.Sn&1n2(注意：求完后一■定要考慮合并通項(xiàng) )\o"CurrentDocument".例2.①已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn nn1,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式.②已知等比數(shù)列 an的首項(xiàng)a1 1,公比0q1,設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)為bnan1an2,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式。?三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。?,一、，.、.，. 、,一*_例3.(2002年北東春季局考) 已知點(diǎn)的序列An(xn,0),nN，其中x10,X2a(a0),A3是線段AA2的中點(diǎn)， 兒是線段A2A3的中點(diǎn)，…， An是線段An2An1的中點(diǎn)，…寫(xiě)出Xn與Xn1,Xn2之間的關(guān)系式(n3)。設(shè)anXn1Xn，計(jì)算21，22?3,由此推測(cè)Hn的通項(xiàng)公式，并加以證明。?四、累加(乘)法對(duì)于形如an1anf(n)型或形如an1 f(n)an型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫(xiě)出 n取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加(或相乘)即可得到通項(xiàng)公式。例4.若在數(shù)列 an中，a1 3, an 1 an n,求通項(xiàng)an。變式1：已知數(shù)列｛an｝滿足an1an23n1,a13,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。n變式2.已知數(shù)列｛an｝中，an0且Sn—^n—)，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公an式.例5.在數(shù)列an中，a11,an12nan(nN*),求通項(xiàng)an。2 2 人變式3：設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且n1an1nanan1an0(n=1,2,3,…)，則它的通項(xiàng)公式是 an=.?五、取倒(對(duì))數(shù)法a、an1pa：這種類型一般是等式 兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為an1panq,再

利用待定系數(shù)法求解先求出工,再求得an.an1anan1b、數(shù)列有形如 f(an先求出工,再求得an.an1anan1c、an1—flna—解法：這種類型一般是等式 兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化g(n)anh(n)為an1panq°a例6..設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a12,an1—n—(nN),求an.an32例7、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1,an2an1(n>2).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.?七、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪?duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差或等比數(shù)列)來(lái)求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。例9.已知數(shù)列｛an｝中，ai1,an2an11(n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。n1 4例10.已知數(shù)列｛an｝滿足an12an43,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

例11已知數(shù)列｛an｝滿足an25an16an,a11,a2 2,求數(shù)列｛1,a2 2,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)例12.在數(shù)列｛an｝中,ail,2aan16n3，求通項(xiàng)an.(待定系數(shù)法)?十：逐項(xiàng)相減法：遞推公式中既有 Sn,又有an§,n1分析：把已知關(guān)系通過(guò) an 轉(zhuǎn)化為數(shù)列 an或Sn的遞推關(guān)SnSn1,n2系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例15已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和Sn滿足1 — —.,Sn-(an1)(an2),且a2,a4,a9成等比數(shù)列，求數(shù)列 ｛an｝的通項(xiàng)公式。6?十一。雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例16.已知數(shù)列an中，a1 1；數(shù)列bn中，bi0。當(dāng)n2時(shí),1_ , 、， 1, ?、一 ,an ~(2an1 bn1)，bn~(an1 2bn1)5求an,bn.3 3?十二、周期型解法:由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。2an,(0an例17:若數(shù)列?十二、周期型解法:由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。2an,(0an例17:若數(shù)列an滿足an12)2an1,(2an,右a11)變式：（2005,湖南，文，5）已知數(shù)列｛an｝滿足變式：（2005,湖南，文，5）已知數(shù)列｛an｝滿足a10,an1an3an3(n1*一?N),則a20=(D.-.3變式.在數(shù)列⑸｝中，a1 1色5,an2 an1 an,求a1998當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)三角函數(shù)的定義,當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)三角函數(shù)的定義,有CDasinBbsinA,則asinA——.同理，-a- —（思考如何作sinB sinAsinC高？asinAbc

sinBsinC第2章解三角形2.1.1 正弦定理教學(xué)要求：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用 ^教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù) ^教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：.討論：在直角三角形中，邊角關(guān)系有哪些？（三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么辦？.由已知的邊和角求出未知的邊和角，稱為解三角形 .已學(xué)習(xí)過(guò)任意三角形的哪些邊角關(guān)系？（內(nèi)角和、大邊對(duì)大角） 是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化？一引入課題：正弦定理二、講授新課：.教學(xué)正弦定理的推導(dǎo)：①特殊情況：直角三角形中的正弦定理：sinA=-sinB=-sinC=1即c cabcc= sinAsinB sinC（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）②能否推廣到斜三角形?（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）③*其它證法：證明一：（等積法）在任意斜^ABC當(dāng)中S△111abc=111abc=一absinC-acsinB-bcsinA.2221兩邊同除以一abc即得:abc2sinAsinBsinC證明二：（外接圓法）如圖所示，/A=ZD, -a-—a—CDsinAsinD2R,同理b=2R,c=2R.r uimr uuiruuuuuu證明三：（向量法）過(guò)A作單位向量j垂直于AC,由AC+CB=AB邊同乘以r單位向量j得…..④正弦定理的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，及基本應(yīng)用：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值..教學(xué)例題：出示例1:在ABC中，已知A45°,B60°,a42cm,解三角形.分析已知條件一討論如何利用邊角關(guān)系 一示范格式一小結(jié)：已知兩角一邊出示例2： ABC中，c而,A45O,a2,求b和B,C.分析已知條件一討論如何利用邊角關(guān)系 一示范格式一小結(jié)：已知兩邊及一邊對(duì)角練習(xí)：ABC中，bV3,B60°,c1,求a和A,C.在ABC中，已知a10cm,b14cm,A40°,解三角形（角度精確到 1°,邊長(zhǎng)精確到1cm）④討論：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，如何判斷解的數(shù)量？.小結(jié)：正弦定理的探索過(guò)程；正弦定理的兩類應(yīng)用；已知兩邊及一邊對(duì)角的討論.三、鞏固練習(xí)：1.已知ABC中,A=60°,a求 a1.已知ABC中,sinAsinBsinC2.作業(yè)：教材P5練習(xí)1（2）,2題.

2.1.2余弦定理（一）教學(xué)要求：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并TOC\o"1-5"\h\z會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題 ^教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用 ^教學(xué)難點(diǎn)：向量方法證明余弦定理 .教學(xué)過(guò)程：、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.提問(wèn)：正弦定理的文字語(yǔ)言？ 符號(hào)語(yǔ)言？基本應(yīng)用？.練習(xí)：在^ABC中，已知c10,A=45,C=30,解此三角形.一變式.討論：已知兩邊及夾角，如何求出此角的對(duì)邊？二、講授新課：.教學(xué)余弦定理的推導(dǎo):①如圖在ABC中，AB①如圖在ABC中，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b.umruuruur■:ACABBC,uuiuuuuruuuuuiin uuu?.AC?AC(ABBC)?(ABuuu2uuuuur°AB2|AB|?|BC|cos(180即b2c2a22accosB,fuuin uuu2uuuuuruur2BC)AB2AB?BCBCuur2 2 2B)BCc2accosBa.②試證：