初中數(shù)學(xué)教師基本功比賽一等獎(jiǎng)?wù)f題稿

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中考數(shù)學(xué)壓軸題歷來(lái)是初三師生關(guān)注的焦點(diǎn)，它一般有動(dòng)態(tài)問(wèn)題、開(kāi)放性題型、摸索性題型、存在性題型等類(lèi)型，涉及到代數(shù)、幾何多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，囊括初中重要的數(shù)學(xué)思想和方法。對(duì)于考生而言，中考?jí)狠S題是一根標(biāo)尺，可以比較確鑿的衡量學(xué)生綜合解題能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)它的得失，可以直接影響到學(xué)生今后的發(fā)展。下面我就2023年德州市數(shù)學(xué)中考第23題第2問(wèn)進(jìn)行講評(píng)。

中考題如下圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

1.審題分析

此題涉及的知識(shí)點(diǎn)有：折疊問(wèn)題；勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；相像三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。此題通過(guò)翻折將全等變換，相像構(gòu)造，勾股定理運(yùn)用，融進(jìn)正方形，不失一道好的壓軸題，很值得推敲。由于此圖形是正方形，因此里面隱含著好多直角，這是學(xué)生所不注意的地方，也正是解決問(wèn)題的突破口和切入點(diǎn)。題目的難點(diǎn)是學(xué)生無(wú)法將分散的條件集中到有效的圖形上進(jìn)行解決，總有“老虎吃天無(wú)從下口〞的感覺(jué)。用好直角三角形和構(gòu)造直角三角形是解決此題的關(guān)鍵。由于此題綜合性較強(qiáng)，條件較分散，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力要求較高，因此難度較大，難度系數(shù)是0.19。

2.解題過(guò)程

同一個(gè)問(wèn)題，從不同的角度探究與分析，可有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。

思路與解法一：從線段AD上有三個(gè)直角這一條件出發(fā)，運(yùn)用“一線三角兩相像〞這一規(guī)律（見(jiàn)課件），可將條件集中到△EAP與△PDH上，通過(guò)勾股定理、相像三角形的判定與性質(zhì)來(lái)解決。

解法如下：

答：?PDH的周長(zhǎng)不變，為定值8．

證明：設(shè)BE?a,則AE?4?a，有折疊可知PE?BE?a，

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AEPDHGFCB圖1?AP?22a?4,PD?4?22a?4，??EPG?900,??APE??DPH?900.

又??PHD??DPH?900,??APE??PHD又??A??D?900,??AEP～?PDH.?4?22a?44?a?.

?PDH的周長(zhǎng)4?22a?4?AEP的周長(zhǎng)AE??PDH的周長(zhǎng)PD即

??PDH的周長(zhǎng)=

32?8a?8.4?a評(píng)析這種解法用的是設(shè)而不求的方法，這也是解決幾何問(wèn)題的常規(guī)解法之一，解題過(guò)程中運(yùn)用了勾股定理、相像，使解題思路明確，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單。

思路與解法二：求△PDH的周長(zhǎng)，由于PD、DH都在正方形的邊上，所以需要將PH轉(zhuǎn)化到正方形的邊上進(jìn)行解決，因此利用輔助線構(gòu)造三角形全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

解法如下：

答：△PDH的周長(zhǎng)不變，為定值8．證明：如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知?APB=?BPH，又??A??BQP?900,BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP,AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又??C??BQH?90,BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PDH的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

評(píng)析這種解法用到了作輔助線,這樣把問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，利用三角形全等的知識(shí)，得出線段PH?PQ?PH?AP?CH,把分散的問(wèn)題集中到已知條件上來(lái)，從而做到了化未知為已知，使問(wèn)題迎刃而解。

3.總結(jié)提升：

在原題的條件下，還可得以下結(jié)論：⑴求證：?PBH?450；⑵求證：S?PBH?S?ABP?S?BCH；⑶當(dāng)PH?m時(shí)，則S?DHP?16?4m。證明略。

評(píng)析拓展提升題有助于學(xué)生穩(wěn)定所學(xué)知識(shí)，提高思維能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，并有助于拓展思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而使學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性都得到提高。

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0AEPQDHGFCB圖2逆向探究：如圖1，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD紙片，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．?DHP的周長(zhǎng)為8.求?BPH面積的最小值。解：設(shè)?BPH的面積為S,PD?x,DH?y,則AP?4?x,CH?4?y,

S正方形ABCD?2S?BPH?S?DHP.

?16?2S?1xy.2?HP?AP?CH,?HP?(4?x)?(4?y)?8?x?y.

由勾股定理得HP2?DP2?DH2,即(8?x?y)2?x2?y2.整理得y?8x?32.x?818x?32?16?2S?x?.

2x?8化簡(jiǎn)得2x2?(S?16)x?(64?8S)?0.

???(S?16)2?8(64?8S)?0.

S2?32S?256?0.

?S?162?16或S??162?16(舍去)。

?S?162?16.

?S的最小值為162?16.

評(píng)析加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向性，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。因此教學(xué)中應(yīng)重視逆向思維的培養(yǎng)與塑造，以充分發(fā)揮學(xué)生的思考能力，訓(xùn)練其思維的靈敏性，從而激發(fā)學(xué)生摸索數(shù)學(xué)奧秘的興趣。

像以上這種一題多解與一題多變的題例，在我們的教學(xué)過(guò)程中，假使有意識(shí)的去分析和研究，是舉不勝舉、美不勝收的。我想，拿到一個(gè)題目，假使這樣深入去觀測(cè)、分析、解決與反思，那必能起道以一當(dāng)十、以少勝多的效果，增大