相似三角形典型例題精選

相像三角形的判斷與性質(zhì)綜合運(yùn)用經(jīng)典題型考點(diǎn)一：相像三角形的判斷與性質(zhì)：例仁如圖，ZkPCD是等邊三角形，A、C、D、B在同一直線上，且ZAPB=120°求證：(DAPAC^ABPD：(2)CD2=AC?BD.例2、如圖，在等腰ZiABC中，ZBAC二90°AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，在AC上取一點(diǎn)E,使ZADE=45°求證：△ABDsGCE;(2)設(shè)BD二x,AE=y,求y對(duì)于x函數(shù)關(guān)系式及自變童x值范圍，并求出當(dāng)x為何值時(shí)AE取得最小值？在AC上是否存在點(diǎn)E,使得AADE為等腰三角形若存在，求AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因例3、如下圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE丄BC,垂足為E,連結(jié)DE,F為線段DE上一點(diǎn)，且ZAFE=ZB:求證：△ADFs^DEC：2)若AB=4,=求AF的長(zhǎng)。D考點(diǎn)二：射影定理：例4、如圖，在RtAABC中，ZACB二90°CD,丄AB于D,CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的長(zhǎng)。例“如圖，已知正方形ABCD,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，且AF￡AD,EG丄CF于點(diǎn)G,(1)求證：△AEFSABCE;

(2)試說(shuō)明：EG2=CG-FG.例“已知：如下圖的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連結(jié)AF和CE.(1)求證：四邊形AFCE是菱形；若AEhOcm,AABF的面積為24cm2,求ZkABF的周長(zhǎng)；(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得2AE2=AC?AP若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)卩的地點(diǎn)，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因.E考點(diǎn)三：相像之共線線段的比率問(wèn)題:例7、已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過(guò)P的直線與AD、BC.CD的延伸線.AB的延伸線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.求證:PEPH例8、如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)CP并延伸，交AD于點(diǎn)E,交BA的延伸線于點(diǎn)F.求證：PC2=PE?PF：若菱形邊長(zhǎng)為8,PE二2,EF=6,求FB的長(zhǎng).例9.如圖，CD是RtAABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延伸線于F.求證：BD?CF二CD?DF?例10.如圖：已知在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D.E分別是AB、BC延伸線上的點(diǎn)，且BD二CE,直線CD與AE相交于點(diǎn)F.求證：DC=AE;求證：AD=DC?DF?AB.例1仁如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn).EF丄AE,EF分別交AC,CD于點(diǎn)M,F,BG丄AC,垂足為G,BG交AE于點(diǎn)H.找出與AABH相像的三角形，并證明；若E是BC中點(diǎn)，BC二2AB,AB二2,求EM的長(zhǎng).例12.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形.連結(jié)AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M.CG與AD相交于點(diǎn)N.例13、如圖，在RtAABC中，CD是斜邊AB上的離，點(diǎn)M在CD上，DH丄BM且與AC的延伸線交于點(diǎn)E.求證：(1)△AEDs^CBM;(2)AE?CM二AC?CD?例14、如圖，ZkABC是直角三角形，ZACB二9(T,CD丄AB于D,E是AC的中點(diǎn).ED的延伸線與CB的延伸線交于點(diǎn)F.求證：FD2=FB?FC：若G是BC的中點(diǎn)，連結(jié)GD,GD與EF垂直嗎并說(shuō)明原因.例15-如圖，四邊形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.ZIACF與ZJACG相像嗎說(shuō)說(shuō)你的原因.求Z1+Z2的度數(shù).考點(diǎn)四：相像三角形的實(shí)際應(yīng)用：例16、如圖，AABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,件，使一邊在BC上，其余兩個(gè)極點(diǎn)分別在邊AB.AC上.

高

AD

二

80mm,

要把它加工成矩形零若這個(gè)矩形是正方形，那么邊長(zhǎng)是多少若這個(gè)矩形的長(zhǎng)PQ是寬PN的2倍，則邊長(zhǎng)是多少例17、已知左，右并排的兩樑大樹(shù)的爲(wèi)分別是AB二8m和CD=12m，兩樹(shù)的根部的距離BD二5嘰一個(gè)身高的人沿著正對(duì)著兩棵樹(shù)的一條水平直路從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就不能看見(jiàn)右邊較商的樹(shù)的頂端點(diǎn)CBD例18、兩顆樹(shù)的高度分別為AB二6gCD=8m,兩樹(shù)的根部間的距離AC=4m,小強(qiáng)沿著正對(duì)這兩棵樹(shù)的方向從左向右前進(jìn)，如果小強(qiáng)的眼睛與地面的距離為，當(dāng)小強(qiáng)與樹(shù)AB的距離小于多少時(shí)，就不能看到樹(shù)CD

的樹(shù)頂

D0A例19.小亮想利用太陽(yáng)光下的影子測(cè)董校園內(nèi)一棵大樹(shù)的離，小亮發(fā)現(xiàn)因大樹(shù)湊近學(xué)校國(guó)影子不全落在地面上，如下圖，經(jīng)測(cè)量，墻上影鬲CD二，地面影長(zhǎng)BC=10m?若此時(shí)桿的影長(zhǎng)恰巧為2m?請(qǐng)你求出這棵大樹(shù)AB的離度.

墻，大樹(shù)的1米鬲的標(biāo)例20.如圖，九年級(jí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD二8米，BC二20米，CD與地面成角，且此時(shí)測(cè)得1米桿的影長(zhǎng)為2米,求電線桿的爲(wèi)度.30°例2仁如圖，有一路燈桿AB（底部B不能直接抵達(dá)），在燈光下，小明在點(diǎn)D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DF=3m,沿BD方向抵達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)得自己得影長(zhǎng)FG=4m,如果小明的身離為，求路燈桿AB的鬲皮?ADG考點(diǎn)五：相像三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：例22.在矩形ABCD中,點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)AB=12cm,AD=6cm,Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/秒的速皮移動(dòng)，如果P、Q同吋出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0WtW6）,那么當(dāng)t為何值時(shí).AAPQ與AABD相像說(shuō)明原因.例23、如圖，在AABC中，ZB二90°AB,二6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí).動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.1）①當(dāng)t二秒時(shí)，求ACPO的面積：②求ACPO的面積S（平方米）對(duì)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；2）在P,Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)ACPO為等腰三角形時(shí)，寫(xiě)出t的值。例24.如下圖，在AABC中，BA=BC=20cm,AC二30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X.1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ZBC：2）當(dāng)S/kBCO：SAABC=1:3,求SABPQ：SAABC值；3）ZkAPQ可否與ACOB相像若能，求出AP的長(zhǎng)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明原因.例25.如圖.平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(6,0),(6,8).動(dòng)點(diǎn)M、N分別從0、B同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn)M沿0A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NP丄BC,交AC于點(diǎn)P,連結(jié)MP,已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)Tx秒.

向終點(diǎn)

C用含X的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案)：設(shè)y=S四邊形0MPC,求y的最小值，并求此時(shí)x的值：是否存在x的值，使以P、A、M為極點(diǎn)的三角形與AAOC相像若存在，懇求出x的值:例26、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過(guò)P作PF丄AE于F.求證：△PFAs^ABE：當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA二x,是否存在實(shí)數(shù)x,使以P、F、E為極點(diǎn)的三角形也與AABE相像若存在，懇求出x的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因.例27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAAOB的兩條直角邊OA、0B分別在y軸和x軸上，并且OA、0B的長(zhǎng)分別是方程X2-7X+12=0的兩根(OA<OB),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段A0上以毎秒1個(gè)單位長(zhǎng)度