江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題及參考答案

江西省五市九校協(xié)作體2023屆第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理科）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（）A.z的虛部為 B.C. D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限3.若，是第三象限的角，則（）A.2 B. C. D.4.天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、末、申、西、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為（）A.葵未年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且，雙曲線C的一條漸近線方程為，則k的最小值為（）A. B. C. D.6.中國(guó)空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“”字形架構(gòu)，我國(guó)成功將中國(guó)空間站建設(shè)完畢，2023年，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A.450種 B.72種 C.90種 D.360種7.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，且存在點(diǎn)P使得（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，則橢圓C的焦距為（）A.2 B. C. D.48.關(guān)于曲線C：，下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線C可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.若，過(guò)原點(diǎn)與曲線C相切的直線有兩條C.若，曲線C表示兩條直線D.若，則直線被曲線C截得弦長(zhǎng)等于9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.的值域?yàn)?D.在上有5個(gè)零點(diǎn)10.如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前n項(xiàng)和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）A.5052 B.5057 C.5058 D.506311.在直四棱柱中中，，，P為中點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，（，）.下列結(jié)論不正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若平面，則的最小值為C.若的外心為M，則為定值2D.若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為12.已知，，，則有（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上）13.已知非零向量，滿足，，則向量，的夾角是______.14.已知，則______.15.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，，則的最小值為_(kāi)_____.16已知.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_____.三、解答題：（共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿分12分）已知中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，BD為的角平分線.（1）求證：；（2）若且，求的面積.18.（本小題滿分12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大?并求此時(shí)銳二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.（1）若，當(dāng)時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；（2）已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為Y（單位：元）.（i）請(qǐng)用表示；（ii）設(shè)備升級(jí)后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn).20.（本小題滿分12分）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為P，Q，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)T是圓C的動(dòng)點(diǎn)，拋物線E上四點(diǎn)A，B，M，N滿足：，，設(shè)中點(diǎn)為D.（i）證明：TD垂直于y軸；（ii）設(shè)面積為S，求S的最大值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值.選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求的最小值.23.[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且.證明：（1）；（2）.江西省五市九校協(xié)作體2023屆第二次聯(lián)考答案理科數(shù)學(xué)一、選擇題：BBCABADBCBCD二、13.14.132?15.202516.17.【解】（1）由題意可得，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，則，在中，，則……3分同理可得，因此……6分（2）設(shè)，則，因?yàn)榧?……8分又且，可得，因?yàn)?，則，則，，可得，……10分所以，，.……12分18.【解】（1）證明：在梯形中，，，故梯形為等腰梯形，因?yàn)?，則，所以又因?yàn)?，則，∴.因?yàn)槠矫?，平?∴∵，?∴平面……4分因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，因此，平面.……5分（2）因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在，……12分則、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中設(shè)平面的法向量為，，……7分由，取，可得……8分易知平面的一個(gè)法向量為，……10分所以，當(dāng)，即與重合時(shí)，取最小值，此時(shí)平面與平面所成銳二面角最大，此時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為……12分19.解：（1）因?yàn)?，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為，所以……1分所以，，，，……2分所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列為：X0123P控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為.……3分由題意知，……5分（2）升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運(yùn)行概率所以升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的均值為產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤(rùn)（單位：元）21設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為……6分因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個(gè)元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個(gè)元件正常工作，其概率為；……7分第二類：原系統(tǒng)恰好有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有一個(gè)正常工作，其概率為，……8分第三類：原系統(tǒng)中有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，其概率為；……9分所以，即，……10分所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大.……11分當(dāng)時(shí)，，即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒(méi)有變大又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，設(shè)備可以通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)備不可以通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn).……12分20.解：（1）設(shè)直線與軸交于，由幾何性質(zhì)易得：與相似，所以，即：，解得：.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：……3分（2）設(shè)，，，（i）由題意，中點(diǎn)在拋物線上，即又，將代入得：，同理：有，此時(shí)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為……6分所以直線的斜率為0；所以垂直于y軸.（ii）因?yàn)椤?分所以點(diǎn)，此時(shí)，……9分所以又因?yàn)辄c(diǎn)T在圓C上，有，即，代入上式可得：由.……11分所以時(shí)，S取到最大值.所以S的最大值為48……12分21.解：（1）由可得定義域?yàn)?，則，……1分令，則.①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則.……2分∴在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即或時(shí)……3分（i）當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口向上且過(guò)的拋物線，對(duì)稱軸方程為，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和（顯然），列表如下：00極大值極小值……4分（ii）當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口向上且過(guò)的拋物線，對(duì)稱軸方程為，則在上恒成立，從而，在上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.……5分（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是方程的兩根，∴，，∴……7分∴恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立.令，不等式轉(zhuǎn)化為.……8分∴，，即.令，則不等式化為.……9分∵，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴，即，令，則，……10分當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，……11分所以，∴，即時(shí)，實(shí)數(shù)k取得最小值為.即實(shí)數(shù)k的最小值為.……12分22.解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程