兩道高考統(tǒng)計題給我的警示 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選兩道高考統(tǒng)計題給我的警示摘要：高考題能對教師的教學(xué)提供一個很好的導(dǎo)向和修正作用。本文通過對兩道高考統(tǒng)計題的解法研究反思了筆者在教學(xué)中的不足：對教材中的知識點深挖不夠，導(dǎo)致學(xué)生只知其一不知其二；跟著教輔資料走，題海戰(zhàn)術(shù)容易使學(xué)生形成思維定勢，思維的靈活性受限，同時也浪費了學(xué)生大量寶貴時間。關(guān)鍵詞：高考，線性回歸，公式，化簡。統(tǒng)計題是高考必考題型，一般難度不大，但是考生卻經(jīng)常答得不理想，本來是送分題，可有些年份卻變成了拉分題，比如2011年的安徽高考文科數(shù)學(xué)試卷的第20題和2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科第19題。下面我們重點分析學(xué)生在求解這兩題時出現(xiàn)困難的原因以及由此暴露的問題。一、2011年安徽高考統(tǒng)計題的解題研究及反思 1．兩種解法的對比

清晰地記得，2011年6月7日下午高考數(shù)學(xué)考試剛結(jié)束不久，就有學(xué)生給我打來電話，講當(dāng)天下午的數(shù)學(xué)試卷第20題是統(tǒng)計題，考查的是線性回歸問題（求回歸直線方程），但數(shù)據(jù)太大，算了半天也沒算出來，這次數(shù)學(xué)肯定考砸了。我當(dāng)時看不到題目，聽他這么說只能干著急。也只能安慰他你做不出來別人也做不出來。當(dāng)天晚上我終于在網(wǎng)上看到了題目，和平常我們在教輔資料上做過的題一對比，確實如我學(xué)生所說數(shù)據(jù)太大，題目如下：

（2011年安徽）某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20022004200620082010需求（萬噸）236246257276286（1）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程ybxa；（2）利用（1）中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求量。公式：b?n

i1(xix)(yiy)n

i1xiyinxy，ayb?xbnnnxybx

i1(xix)2i1xi212022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選對于第（1）問，按照我們平時的做法是利用b?n

i1xiyinxy求b?，但此題給定的x,yn

i1x2

inx2i i太大，再利用此公式顯然不易得到正確結(jié)果，難怪學(xué)生說數(shù)據(jù)太大算不出來，看來是受平時練習(xí)題的影響，看來得另辟蹊徑。筆者先仔細(xì)研究了此題所附的答案。 解法1：（1）由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間近似直線上升，下面來配回歸直線方程，對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份-2006-4-2024需求量-257-21-1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得x,0y2.3.(11)2194292605.6.b?(4)(21)(2)（4）2（2）2224240yb?x.2.3a由上述計算結(jié)果，所求回歸直線方程為y257b(?x2006)a5.6(x2006)2.3即y5.6(x2006)2602.（2）略

這種解法本質(zhì)上利用了直線左右平移（或上下平移）前后直線的斜率不變這一性質(zhì)，從而通過換元法將大數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)據(jù)算出b?。這種解法很巧但在考場上學(xué)生很難想到。我又注意到b?的另一形式b?n

i1(xix)(yiy)，于是我得到了下面的解法。n

i1(xix)2解法2：經(jīng)計算得x2006,y2602.，年份-2006-4-2024需求量-260.2-24.2-14.2-3.215.825.822022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選5

i1(xx)(yy)=260，5

(xx)240，代入上面公式得：b?2605.6iii1i40b?xay2602.5.62006.由上述計算結(jié)果，所求回歸直線方程為yb?xa5.6x20065.62.35.6（x2006)2.32.一個公式兩種形式的對比此題用b?n

i1(xix)(yiy)顯然比用公式bn

i1xiyinxy計算量要小得多，又比n

i1(xix)2n

i1x2inx2高考題的解答更能為學(xué)生接受。從公式本身分析我們也可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x,iyi值較小時，用b?n

i1(xix)(yiy)或b?n

i1xiyinxy都可以，b?n

i1(xix)(yiy)的優(yōu)勢不明顯；n

i1(xix)2n

i1x2inx2n

i1(xix)2但當(dāng)x,iyi值較大時，用b?n

i1(xix)(yiy)比用b?n

i1xiyinxy要簡便得多。n

i1(xix)2n

i1x2inx2如果我平時就注意到這兩個公式之間的區(qū)別而不是只跟著教輔走，當(dāng)年這一題我們班學(xué)生就不會做不出來，所以老師深挖教材是多么必要。以為經(jīng)過這一次我已經(jīng)對此公式b?n

i1(xix)(yiy)n

i1xiyinxy十分清楚，哪n

i1(xix)2n

i1x2

inx2知道今年的高考試卷（2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科）第19題又給了我重重一擊。二、2022年全國乙卷高考統(tǒng)計題的解題研究及反思1．兩種解法的對比歷史總是驚人的相似，今年高考數(shù)學(xué)考試結(jié)束后，又有學(xué)生給我打來電話，傾訴今年的統(tǒng)計題給定的數(shù)據(jù)太多（有10組），只會做第一問，第二問算了好長時間可能還32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選是錯的，第三問都沒有去看了。雖然當(dāng)時沒有見到題目，但根據(jù)我的經(jīng)驗如果數(shù)據(jù)較多的話，題目一般會給定一些算好的數(shù)據(jù)，于是我便詢問題目是否給定了其它數(shù)據(jù)，她說給了卻不會用，我很好奇是什么原因?qū)е滤粫媒o定的數(shù)據(jù)。（2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積ix材積量iy0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.250.400.220.540.510.340.360.460.420.400.6

3.9并計算得10

?i=1xi2=0.038，10

?i=1yi2=1.6158，10

?i=1xyi i=0.2474．（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)r=n

?i=1(xi-x)(yi-y))

2，1.896?1.377n

?i=1(xi-x)

2n

?i=1(yi-y此題第（1）問較簡單，第（3）問學(xué)生只要看懂題目也容易求解，并且不存在計算量大的問題，所以學(xué)生一定是第（2）問的求解出現(xiàn)了問題。究其原因是此題的第（2）問跟我們平常的練習(xí)題有點不一樣：我們平常的練習(xí)題給定的數(shù)據(jù)一般沒有這么多也沒有這么難算，學(xué)生常能輕松的算出n

i1(xix)(yiy n

)、 i1(xix)2 n

和 i1(yiy)2的值；有時題目也會直接給定它們的值，學(xué)生代入公式即可。而此題給定的數(shù)據(jù)多不說且基本以小數(shù)出現(xiàn)，雖然給定了算好的數(shù)據(jù)，但給定的是n

i1xiy n

i， i1xi2和n

i1iy2的值，學(xué)生想代入公式卻不知道如何代入，想算又覺得運算量太大，一下便慌了神，有的同學(xué)干脆不寫，有42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選的同學(xué)硬著頭皮去算n

i1(xix)(yiy n

)、 i1(xix)2 n

和 i1(yiy)2的值，花費了大量時間卻不知對錯。下面給出第（2）問的兩種解法。解法1：由題可知：.006,y.039，列表如下：樣本號i12345678910根部橫截面積ix材積量iyxixyiy0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.250.400.220.540.510.340.360.460.420.40-0.020-0.020.020.02-0.01-0.010.010.010-0.140.01-0.170.150.12-0.05-0.030.070.030.0110

i1(xix)(yiy).002(.014.017.015.012).001(.005.003.007.003)10

i1(xix2.00224.00124.0002，=0.0134，).0094810

i1(yiy)2.0142.00122.0172.0152.0122.0052.00322.0072r10

i1(xix)(yiy)y)2.00134.00134.097.10

i1(xix)210

i1(yi.00001896.001377 這種解法雖然可行，但計算量太大，容易算錯，也太浪費時間，并且題目給定的數(shù)據(jù)用不上。解法2：10

i1(xix)(yiy)10

i1xiyi10xy.00134,1010xi210x10

i110

i1(xix)2i1.0002,(yiy)2i1yi210y2.0094,52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選10

i1(xix)210

i1(yiy)2.0002.00948.00001.1896.001.1377.001377,10xix所以樣本相關(guān)系數(shù)r

i1()(yiy).00134.097.10

i1(xix)210

i1(yiy)2.001377 解法2先對公式進(jìn)行化簡，化簡后就可以將題目給定的數(shù)據(jù)直接代入，大大降低了運算量，為后面題目的解答贏得了時間，增強了信心，穩(wěn)定了情緒。2．一個公式兩種形式的聯(lián)系經(jīng)過2011年的那道安徽高考題，我對公式b?n

i1(xix)(yiy)n

i1xiyinxyn

i1(xix)2n

i1x2

inx2的兩種形式的適用范圍講的很清楚，但沒有強調(diào)第二種形式是第一種形式化簡得到的，也即沒有在公式的化簡變形上下功夫。這可能也是受教輔資料的影響，因為教輔資料上此類題（求回歸直線方程）一般都會直接給定b?的這兩種形式，不需要學(xué)生自己推導(dǎo)。如果當(dāng)時我對此公式的化簡足夠重視，和學(xué)生一起多推導(dǎo)幾次，那么學(xué)生在做今年高考卷的此題時，注意到rn

i1(xix)(yiy)與b?n

i1(xix)(yiy)的分子相同，一nxinbn

i1(x)2i1(yiy)2i1(xix)2定能想到對公式變形后再代入數(shù)據(jù)，自然就不會在此題上投入大量時間計算卻算不出或算錯，影響其它題的解答。三、教學(xué)反思這兩題給我的教訓(xùn)是慘痛且深刻的，反映出我教學(xué)中的不足：教學(xué)經(jīng)常跟著教輔走，跟著題目走，數(shù)學(xué)教學(xué)似乎就是為了解決一道又一道的題目，學(xué)生重復(fù)機械地做題，老師重復(fù)機械的講題，就題講題現(xiàn)象嚴(yán)重，導(dǎo)致學(xué)生只會做熟題、做死題，題目稍微一變學(xué)生便反應(yīng)不過來，學(xué)生思維的靈活性受限，思維僵化。62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選四、教學(xué)改進(jìn) 數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)