期權二叉樹定價模型

第八講

期權二叉樹定價第一頁，共三十八頁。

8.1單步二叉樹圖8.1.1二叉樹圖的構造問題假設一種股票當前價格為$20，三個月后的價格將可能為$22或$18。假設股票三個月內(nèi)不付紅利。有效期為3個月的歐式看漲期權執(zhí)行價格為$21。如何對該期權進行估值？第二頁，共三十八頁。

思路根據(jù)期權的特性，顯然可以用圖8-1所示的二叉樹圖來描述股票和期權的價格運動。如果能夠用這種股票和期權構造一個組合，使得在三個月末該組合的價值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等于無風險收益率（無套利假設），可以得到構造該組合所需成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價格是已知的，于是可以得出期權的價格。

構造一個證券組合，該組合包含一個Δ股股票多頭頭寸和一個看漲期權的空頭頭寸。是否可有多種構造方法?第三頁，共三十八頁。

第四頁，共三十八頁。

由圖8-1可知，當股票價格從$20上升到$22時，該證券組合的總價值為22Δ-1；當股票價格從$20下降到$18時，該證券組合的總價值為18Δ。完全可以選取某個Δ值，使得該組合的終值對在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個無風險組合。由22Δ—1=18Δ得Δ=0.25是否一定為正?因此，一個無風險的組合由0.25股股票和一個期權空頭構成。通過計算可知，無論股票價格是上升還是下降，在期權有效期的末尾，該組合的價值總是$4.5。第五頁，共三十八頁。

在無套利假設下，無風險證券組合的盈利必定為無風險利率。假設無風險利率為年率12％。則該組合的現(xiàn)值應為：4.5e-0.12×0.25=4.3674股票現(xiàn)在的價格已知為$20。用f表示期權的價格。因此，由20×0.25－f=4.3674

得f=0.633如果期權價格偏離0.633，則將存在套利機會。第六頁，共三十八頁。

8.1.2一般結論考慮一個無紅利支付的股票，股票價格為S?；谠摴善钡哪硞€衍生證券的當前價格為f。假設當前時間為零時刻，衍生證券給出了在T時刻的盈虧狀況。

一個證券組合由Δ股的股票多頭和一個衍生證券空頭構成。如果股票價格上升,在有效期末該組合的價值為：

如果股票價格下降，在有效期末該組合的價值為：第七頁，共三十八頁。

第八頁，共三十八頁。

當兩個價值相等時

即（9.1）

該組合是無風險的，收益必得無風險利率。在T時刻的兩個節(jié)點之間運動時，Δ是衍生證券價格變化與股票價格變化之比。第九頁，共三十八頁。

用r表示無風險利率，該組合的現(xiàn)值應為：而構造該組合的成本是：因此

第十頁，共三十八頁。

將式（9.1）代入上式，得到

其中（9.3）風險中性概率運用單步二叉樹圖方法，式（9.2）和（9.3）就可為衍生證券估值。第十一頁，共三十八頁。

8.1.3股票預期收益的無關性衍生證券定價公式（9.2）并沒有用到股票上升和下降的概率。這似乎不符合人們的直覺，因為人們很自然地假設假設如果股票價格上升的概率增加，基于該股票的看漲期權價值也增加，看跌期權的價值則減少。

之所以如此，原因在于，我們并不是在完全的條件下為期權估值，而只是根據(jù)標的股票的價格估計期權的價值。未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價格中。它說明，當根據(jù)股票價格為期權估值時，我們不需要股票價格上漲下降的概率。第十二頁，共三十八頁。

8.2風險中性估值8.2.1風險中性估值原理式（9.2）中的變量p可以解釋為股票價格上升的概率，于是變量1—p就是股票價格下降的概率。這樣，pfu+(1-p)fd

就是衍生證券的預期收益。于是，式（9.2）可以表述為：衍生證券的價值是其未來預期值按無風險利率貼現(xiàn)的值。第十三頁，共三十八頁。

同樣，按照上式對p的解釋，在T時刻預期的股票價格

即將式（9.2）中的p代入上式，得E(ST)=SerT

（9.4）這表明，平均來說，股票價格以無風險利率增長。因此，設定上升運動的概率等于p就是等價于假設股票收益等于無風險利率。

第十四頁，共三十八頁。

我們把每一個人是風險中性的世界稱為風險中性世界（risk-neutralworld）。在這樣的世界中，投資者對風險不要求補償，所有證券的預期收高效益是無風險利率。式（9.4）說明，當設定上升運動的概率為p時，我們就在假設一個風險中性世界。式（9.2）說明，衍生證券的價值是其預期收益在風險中性世界中按無風險利率貼現(xiàn)的值。以上過程表明，當為期權和其它衍生證券估值時，完全可以假設世界是風險中性的。這就是所謂風險中性（risk-neutralvaluation）原理。在風險中性世界中得到的價格，在現(xiàn)實世界中也是正確的。第十五頁，共三十八頁。

8.2.2風險中性估值舉例我們將風險中性估值原理運用于圖8-1的例子。在風險中性世界，股票的預期收益率一定等于無風險利率12％。則有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25即4p=20e0.12×0.25-18

得p=0.6523在三個月末尾:看漲期權價值為$1的概率為0.6523，價值為零的概率為0.3477。因此，看漲期權的期望值為：0.6523×1+0.3477×0=$0.6523按無風險利率貼現(xiàn)得期權現(xiàn)在的價值：f=0.6523e-0.12×0.25=0.633第十六頁，共三十八頁。

8.3兩步二叉樹圖8.3.1兩步二叉樹圖的構造假設一種股票開始的價格為$20，并在圖8-3所示的兩步二叉樹圖的每個單步二叉樹圖中，股票價格可以上升10％或者下降10％。假設在每個單步二叉樹的步長是三個月，無風險利率是年率12％?？紤]一個執(zhí)行價格為$21的期權。在圖8-3中，很容易得到，在節(jié)點D，期權價格為$3.2；在節(jié)點E和F，期權價格為零。在節(jié)點B的期權價格計算如下：第十七頁，共三十八頁。

第十八頁，共三十八頁。

u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523.在節(jié)點B的期權價格為：e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257在節(jié)點C，期權價格為0。在節(jié)點A的期權價格為：e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823在構造這個例子時，u和d(股票價格上升和下降的比率)在樹圖的每個節(jié)點上是相同的，每個單步二叉樹的時間長度是相等的。由式（9.3）可得風險中性的概率p，它在每個節(jié)點都是相同的。第十九頁，共三十八頁。

8.3.2一般結論如圖8-4所示，初始股票價格為S。在每個單步二叉樹中，股票價格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值的d倍。假設無風險利率是r。每個單步二又樹的時間長度是Δt年。重復式（9.2）的計算，給出：（9.5）（9.6）（9.7）第二十頁，共三十八頁。

第二十一頁，共三十八頁。

將式（9.5）和（9.6）代入式（9.7），得到：

式中，p2，2p(1-p)和(1-p)2是達到最后上、中、下三個節(jié)點的概率。衍生證券的價格等于它在它在風險中性世界的預期收益按無風險利率貼現(xiàn)的值。如果在樹圖中加入更多的步(step)以推廣應用二叉樹圖方法，風險中性估值的原理一直是成立的。衍生證券的價格總是等于它在風險中性世界的預期收益按無風險利率貼現(xiàn)的值。第二十二頁，共三十八頁。

8.3.3看跌期權的例子考慮一個兩年期歐式看跌期權，股票的執(zhí)行價格為$52，當前價格為$50。假設價格為兩步二叉樹，每個步長為一年。在每個單步二叉樹中股票價格或者按比率上升20％，或者按比率下降20％。無風險利率為5％。構造如圖8-5所示的兩步二叉樹圖。風險中性概率P的值為：第二十三頁，共三十八頁。

第二十四頁，共三十八頁。

最后股票的可能價格為$72、$48和$32。在這種情況下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期權的價格

f=e-2×0.05×1(0.62822×0+2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.1923利用每個單步二步二叉樹向回倒推算，也可以得到這個結果。

實際上，如果股票價格的變化是二值的，那么任何基于該股票的衍生證券都可以運用二叉樹模型進行估值。第二十五頁，共三十八頁。

84美式期權估值8.4.1方法二叉樹模型可以用于為美式期權估值。方法是：從樹圖的最后末端向開始的起點倒推計算。在每個節(jié)點檢驗提前執(zhí)行是否最佳。在最后節(jié)點的期權價值與歐式期權在最后節(jié)點的期權價值相同。在較早的一些節(jié)點，期杈的價值是取如下兩者之中較大者：1）由式（9.2）求出的值。2）提前執(zhí)行所得的收益。第二十六頁，共三十八頁。

9.4.2舉例考慮一個兩年期美式看跌期權，股票的執(zhí)行價格為$52，當前價格為$50。假設價格為兩步二叉樹，每個步長為一年，在每個單步二叉樹中股票價格或者按比率上升20％，或者按比率下降20％。無風險利率為5％。如圖8-6所示，在節(jié)點B，期權的價值為$1.4147，而提前執(zhí)行期權的損益為負值(-$8)。在節(jié)點B提前執(zhí)行不是明智的，此時期權價值為1.4147。在節(jié)點C，期權的價值為$9.4636，而提前執(zhí)行期權的損益為$12.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是最佳的，因此期權的價值為$12.0。第二十七頁，共三十八頁。

第二十八頁，共三十八頁。

在初始節(jié)點A，求出的期權價值為:f=e-0..05×1(0.6282×1.4147+0.3718×12.0)=5.0894而提前執(zhí)行的價值為$2.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是不明智的。因此期權的價值為$5.0894。

第二十九頁，共三十八頁。

8.5Delta8.5.1Delta的含義

股票期權的Delta是股票期權價格的變化與標的股票價格的變化之比，是為了構造一個無風險對沖，對每一個賣空的期權頭寸我們應該持有的股票數(shù)目。構造無風險對沖有時就稱之為Delta對沖(deltahedging)?？礉q期權的Delta是正值，而看跌期權的Delta是負值。第三十頁，共三十八頁。

8.5.2Delta的計算

以圖8-2所示的看漲期權估值為例，該看漲期權的Delta計算如下：這是因為當股票價格從18變化到22時，期權價格從0變化到1。在圖8-3中，對于第一個時間步，股票價格變動的Delta為：第三十一頁，共三十八頁。

如果在第一個時間步之后，還有一個向上的運動，則在第二個時間步股票價格變動的Delta為：如果在第一個時間步之后，還有一個向下的運動，則在第二個時間步股票價格變動的Delta為：第三十二頁，共三十八頁。

在圖8-5中，第一個時間步的Delta為：在第二個時間步，有兩個Delta：或者第三十三頁，共三十八頁。

上面的兩個例子說明，Delta值隨時間而變化。這意味著利用期權和標的股票來保持一個無風險對沖，我們需要定期調(diào)整我們所持有的股票數(shù)量。第三