雙新背景下條件概率、全概率公式和貝葉斯公式的教學(xué) 論文

雙新背景下條件概率、全概率公式和貝葉斯公式的教學(xué)摘要：新教材在條件概率的基礎(chǔ)上新增了乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式（選學(xué)）.條件概率和新增的內(nèi)容是整個(gè)概率論教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，更是高中學(xué)生概率學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).教學(xué)時(shí)，要重視概念的抽象概括，用整體的視角理解概念、公式之間的邏輯關(guān)系，構(gòu)建概念聯(lián)系體系，領(lǐng)悟概念及公式的本質(zhì)，讓學(xué)生從邏輯的、整體的、直觀的視角理解一個(gè)概念和三個(gè)公式，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決概率問題的能力.關(guān)鍵詞：條件概率；全概率公式；貝葉斯公式；體系建構(gòu)引言：條件概率、全概率公式和貝葉斯公式是概率論的重點(diǎn)內(nèi)容，新教材在條件概率基礎(chǔ)上增加了乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式（簡稱“一個(gè)概念，三個(gè)公式”），學(xué)生難以接受，教學(xué)難度加大，給教學(xué)提出新的更高的要求.本文重點(diǎn)分析“一個(gè)概念三個(gè)公式”之間的邏輯關(guān)系和概念體系建構(gòu)的基本要領(lǐng)，分析圍繞“事件”“樣本空間”的概率問題解決方法，希望對教學(xué)有所幫助. 一、問題提出

根據(jù)新課標(biāo)（2017年版，2020年修訂），人教版新教材對概率內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整,在原教材（課程標(biāo)準(zhǔn)·實(shí)驗(yàn)版對應(yīng)的教材）條件概率的基礎(chǔ)上增加了樣本空間（有限）、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式（選學(xué)）等內(nèi)容，新增內(nèi)容使得高中概率知識體系更加完整，尤其條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的整體“融入”，強(qiáng)化了條件概率在求解概率問題中的應(yīng)用，有利于學(xué)生全面領(lǐng)悟概率的本質(zhì). 條件概率及新增的內(nèi)容概念性強(qiáng)，邏輯性強(qiáng)，運(yùn)用概念和公式時(shí)對問題的分析和推理能力要求高，因此，對教師教學(xué)要求高.條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式對培養(yǎng)學(xué)生思維方式和邏輯推理能力，形成解決概率問題的能力，掌握概率問題解決的方法，體悟概念和公式的現(xiàn)實(shí)和哲學(xué)上意義，落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，都有著特別重要的價(jià)值.本文就條件概率定義（概念）及條件概率定義之后的乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式的教學(xué)談一點(diǎn)認(rèn)識.為敘述方便，以下把條件概率的定義（概念）（注：PBA)=PAB()實(shí)質(zhì)上是條件概率的“定義式”，一般不稱為“公式”[1]）、PA()乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式簡稱為“一個(gè)概念，三個(gè)公式”. 二、學(xué)情分析

學(xué)生學(xué)習(xí)“一個(gè)概念，三個(gè)公式”的有利條件是，在此之前，已初步掌握了概率的基本概念，初步理解樣本空間，樣本點(diǎn)，古典概型，事件及其關(guān)系，能夠1理解并事件、和事件、互斥事件、對立事件的基本含義.而這一部分內(nèi)容（選擇性必修（第三冊））一般安排在高二下學(xué)期或高三上學(xué)期學(xué)習(xí)，學(xué)生的邏輯思維能力，直觀觀察能力和問題探究意識相比之前的概率學(xué)習(xí)時(shí)明顯增強(qiáng).不利因素是，學(xué)生對通過概率研究隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件的方法不適應(yīng)，習(xí)慣于用“統(tǒng)計(jì)”的方法解決概率問題，對一些抽象的概念不理解，缺乏解決概率問題的基本方法（事件和樣本空間分析）.三、邏輯關(guān)系

新增的概率內(nèi)容不是孤立的，而是與高中數(shù)學(xué)的其他知識聯(lián)系一起的.在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，第一，要與集合知識結(jié)合起來，“事件是集合.集合論的每一種關(guān)系和運(yùn)算都對應(yīng)著一個(gè)概率論的解釋和意義”[2].反之，概率論的每一個(gè)概念、公式都有著集合的意義，可以以集合的視角解釋.通過集合關(guān)系和運(yùn)算能夠簡潔準(zhǔn)確地處理事件關(guān)系，把握概率關(guān)系的意義，因此，要有用集合語言描述和解決概率問題意識.第二，要復(fù)習(xí)鞏固之前學(xué)習(xí)的概率知識，充分理解概率的意義，樣本空間，樣本點(diǎn)，事件關(guān)系及概率關(guān)系，充分理解古典概型的概念和意義.第三，要準(zhǔn)確把握概率與統(tǒng)計(jì)的關(guān)系，“一個(gè)概念，三個(gè)公式”的運(yùn)用與統(tǒng)計(jì)知識是分不開的，統(tǒng)計(jì)是從樣本到總體的推理（歸納推理），概率是在總體被假定的已知的情況下，研究從總體抽取的樣本問題，是從總體到樣本的推理（演繹推理），是對隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的演繹性研究.概率問題要盡可能用概率的方法解決. 具體到本章，條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式的邏輯關(guān)系清晰，其中，條件概率是“三個(gè)公式”的理論依據(jù).1.條件概率是理解并進(jìn)行復(fù)雜概率運(yùn)算的基礎(chǔ)，乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式是條件概率的應(yīng)用和拓展.條件概率的本質(zhì)是縮小樣本空間后的事件概率，通過古典概型（或其他概型[3]），抽象概括成條件概率的概念（定義式）.2.將條件概率的“定義式”進(jìn)行變形即可得到乘法公式，乘法公式與條件概率定義式是概率的同一關(guān)系的不同顯現(xiàn)形式，由乘法公式立即可以得到獨(dú)立事件概率計(jì)算公式.乘法公式徹底解決了積事件概率問題.23.全概率公式是概率加法和乘法公式的綜合運(yùn)用，其本質(zhì)是將一個(gè)復(fù)雜事件的概率分解成若干個(gè)兩兩互斥的事件“相并”的概率，用以解決由“原因”事件引起“結(jié)果”事件概率問題，從已知的可求的事件的概率推算未知的復(fù)雜事件的概率是概率論問題解決的基本思想，全概率公式充分體現(xiàn)了這一思想.4.貝葉斯公式貝葉斯公式是條件概率、全概率公式和概率乘法公式的融合.貝葉斯公式的本質(zhì)是條件概率，其應(yīng)用的意義在于，按照事件發(fā)生發(fā)展的順序針對“結(jié)果”反求“原因”的概率問題.“一個(gè)概念，三個(gè)公式”是一個(gè)聯(lián)系的整體，教學(xué)時(shí)，要從單元和整體視角，從促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的考量理解“一個(gè)概念，三個(gè)公式”的內(nèi)容安排，用聯(lián)系的、邏輯的、直觀的等不同視角引導(dǎo)學(xué)生理解、分析和運(yùn)用. 四、體系建構(gòu)

“一個(gè)概念三個(gè)公式”的教學(xué)重心是概念的建立，其中，條件概率和全概率公式是相對初始的概念，是概念建立的關(guān)鍵環(huán)節(jié).1.條件概率：分析“事件”和“空間”，抽象、概括形成概念

無論從知識發(fā)生發(fā)展的邏輯順序還是從整個(gè)知識體系的基礎(chǔ)地位分析，條件概率都是本章教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).條件概率的概念建立是整個(gè)章節(jié)教學(xué)的“重中之重”.如前所述，條件概率的本質(zhì)是縮小樣本空間后事件概率.人教版教材A版（以下簡稱“教材”）采取“問題情境——思考探究——抽象概括”的方式，以古典概型為基礎(chǔ)，得出條件概率的概念（定義式），值得注意的是，條件概率雖從古典概型推出，但其適用范圍卻具有一般性，也適用于其他概型. 條件概率概念的建立要抓住“事件”和“空間”進(jìn)行分析，要分析“條件”是必然性還是“隨機(jī)”性，是以“條件”重構(gòu)的樣本空間還是在原樣本空間中運(yùn)用“條件”.因此，“事件”“空間”和“條件”是概念建立的關(guān)鍵詞.件A（1）對條件A的理解.第一，從縮小樣本空間的角度上看，條件概率的“條”“必須”發(fā)生，已經(jīng)發(fā)生過了，在條件“已經(jīng)發(fā)生”的基礎(chǔ)上，樣本空間縮小了，是在縮小了的空間上用概率模型或概率計(jì)算方法求解概率.第二，從概率之間的相互聯(lián)系分析，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率PBA)又與在原樣本空間上事件A發(fā)生的概率PA()有關(guān)系，正因?yàn)榇藭r(shí)的PA()是事件3A在原樣本空間發(fā)生的概率，因而事件A在原樣本空間里不是“必然發(fā)生”的事件，不是“發(fā)生過了”的事件，而是隨機(jī)事件.（2）對PBA)和PAB()的分析.學(xué)生容易混淆PBA)和PAB()，認(rèn)為它們都是“事件A發(fā)生了，事件也B發(fā)生了”，實(shí)際上，它們有著本質(zhì)的區(qū)別.第一，前者指縮小樣本空間后事件B發(fā)生的概率，此時(shí)，事件A已經(jīng)發(fā)生了，以A發(fā)生為條件重新組構(gòu)樣本空間.第二，后者指原樣本空間上事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率，此時(shí)事件A不一定是必然發(fā)生的事件，一般為隨機(jī)事件.亦即，第一，它們的樣本的空間不同，前者以事件A發(fā)生為條件，縮小了樣本空間即WA，后者是原來樣本空間W沒有改變.第二，事件不同，前者是針對縮小樣本空間后的事件B，后者是針對原樣本空間的事件AB.條件概率定義式PBA)=PAB()反映了“原”樣本空間的PA()、PAB()PA()與縮小后的樣本空間的PBA)之間的關(guān)系.教學(xué)時(shí)一定要搞清楚PBA)和PAB()兩者的不同，否則，之后的“三個(gè)公式”教學(xué)就會出現(xiàn)誤區(qū)，陷入困境.（3）注意“條件”的變化.條件概率中的“條件”具有相對性，PBA)=PAB()，PAB)=PAB()①.①式PA()PB()中含兩個(gè)式子，其“條件”不一樣，說明在一個(gè)樣本空間中，條件不是一成不變的，這在之后的乘法公式、貝葉斯公式中能夠更好的體現(xiàn).ΩAABB（4）條件概率的計(jì)算.條件概率一般有三圖1種求法[3]，一是原樣本空間概率法，即定義式，二是縮小樣本空間法，是指在縮小的樣本空間上用古典概型或幾何概型等計(jì)算，三是原樣本空間計(jì)數(shù)法，即4PBA)=nAB()，如圖1.nA() （5）條件概率的性質(zhì).根據(jù)條件重構(gòu)樣本空間、縮小樣本空間后“新”的樣本空間上概率的性質(zhì)即是條件概率的性質(zhì).條件概率有以下性質(zhì)：P（?。┓秦?fù)性：0￡P(guān)BA)￡1AA×××1 2 ，有（ⅱ）規(guī)范性：P(WA)=1，P(?A)=0（ⅲ）可列可加性：對于兩兩互斥的事件序列：?￥??èk=1BAk?=÷ ? ￥? k=1PBA( k)A)（ⅳ）加法公式：PB1èBA2 )=PBA( 1)+PBA( 2)-PBB( 12（ⅴ）逆事件的條件概率：PBA)=-(BA)案例1（2022全國高考Ⅰ卷第20題）醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090 （1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，PBA(PBA())與PBA(PBA())的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.（?。┳C明：R=PAB(PAB())×(PABPAB()；)5（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出PAB()，PAB()的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.附：K2=

(a+bnad(-bc)

2)(b+d)，)(c+d)(a+cPK(23k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828分析：第二問的第（?。﹩?考查意圖：考查條件概率定義式，如果把左右兩邊的條件概率都進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就有以下解法一.解法一：由題意，左邊RPAB( ) PAB( )=PBA()×PB(A)=PA()×PA()=PABPAB( )(PB(A)PB(A)PBA()PBA()PBAPBA( )())，PAB( )PB()×PAB( )PB()PA() PA()右邊=PAB()=PABPAB( )().所以，左邊=右邊，原式得證.PB()PAB( )PBAPBA( )()PB()如果從左邊直接向右邊轉(zhuǎn)化，需要將左邊的條件概率用定義式轉(zhuǎn)化，化成“一般”（非條件）概率，然后把“一般”（非條件）概率再轉(zhuǎn)化為變換“條件”后的條件概率，體現(xiàn)了“條件”的相對性.解法二：左邊RPAB( ) PAB( )=PBA()PB(A)=PA()×PA()=PABPAB( )(PB(A)PB(A)PBA()PBA()PBAPBA( )())PA() PA()，=PBPABPBPAB()( )()(PBPABPBPAB()( )()()=PAB(PAB())×(PABPAB()=右邊.))第（ⅱ）問的考查意圖：考查用縮小樣本空間的方法求條件概率以及“條件概率”中的對立事件的概率關(guān)系.在縮小了樣本空間（新的樣本空間）的情形下6的“對立事件”的概率，如：PAB()、PAB()是在事件B發(fā)生的條件下（相同樣本空間），事件A和A分別發(fā)生的概率，所以PAB()+PAB()1，同理PAB()+PAB()1.這實(shí)際上就是條件概率的性質(zhì)：逆事件的條件概率.2.乘法公式：注重條件的變化，條件概率定義的變式運(yùn)用

就高中數(shù)學(xué)而言，條件概率的主要作用在于求積事件的概率，由概率定義式可以得到概率的乘法公式，PAB()=PA()×PBA()，PAB()=PB()×PAB()②.②式與①式是等價(jià)的，說明條件概率的定義式既可以用來求條件概率，也可以用以求積事件的概率.即：PAB()=PA()×PBA()=PB()×PAB()，同時(shí)，也說明在求積事件AB概率時(shí)，“條件”可以是A，也可以是B，積事件中的“條件”是相對的.“一個(gè)概念，三個(gè)公式”的概念建立環(huán)環(huán)相扣，積事件中“條件”的變化是之后理解貝葉斯公式的基礎(chǔ).運(yùn)用公式②時(shí)，由于PBA)與PAB()在同一式子中，我們一般通過縮小樣本空間先求出條件概率PBA)，再用公式②求積事件AB的概率.兩個(gè)事件的積事件概率公式可以推廣到n個(gè)事件，顯然，若PAA( 1 2×××A-1)>0，則PAA( 1 2×××An)=PAPAAPAAA()( 2 1)( 3 1 2)×××PAAA( n 1 2×××A-1)，亦即，之前發(fā)生的事件作為之后事件發(fā)生的條件.如何求獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率呢？直觀上，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，事件A發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響，此時(shí)PBA)=PB()（PA>() 0），PAB)=PA()（PB>() 0注意：作為條件的事件其概率必須大于零），相應(yīng)的，公式②變成了PAB()=PA()×PB()③.為什么上述結(jié)論結(jié)論是“直觀上”觀察的結(jié)果或“直觀上看”[4]、和“直觀上判斷[5]”的結(jié)論呢？因?yàn)楠?dú)立事件的定義是，“設(shè)兩個(gè)事件A，B，若PAB()=PA()×PB()，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件”.亦即：如果從直觀上判定兩個(gè)事件是獨(dú)立事件后，③式是作為獨(dú)立事件的結(jié)論的，如果我們假定或已知兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則可以用③式的結(jié)論求積事件概率了.而如果從獨(dú)立事件定義角度上看，③式則作為判斷獨(dú)立事件的7條件.以下四條中的任意一條均可作為判斷獨(dú)立性的條件[6]：紅球3PBA=(|)8從乙袋中白球PB|A)=5（1）PAB()=PA()×PB().取紅球A8（2）PBA()=PB()（PA>() 0）..從甲袋中從乙袋中紅球PB|A)=2取球A（3）PBA()=PBA()(0<PA()<1)8取白球白球PB|A)=6（4）PBA()+PBA()=1(0<PA()<1).圖28獨(dú)立事件的概率關(guān)系在研究離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)經(jīng)常用到.教學(xué)概率乘法公式時(shí)，要復(fù)習(xí)必修章節(jié)中相應(yīng)的概率知識，讓學(xué)生充分理解積事件的含義.要引導(dǎo)學(xué)生理解公式②和③的來龍去脈和知識間的邏輯關(guān)系，尤其通過其他方法求出條件概率，再用乘法公式求積事件概率的思維方法. 3.全概率公式：抓住事件的轉(zhuǎn)化，積事件、和事件的綜合運(yùn)用

全概率公式概是概率論又一個(gè)難點(diǎn)，其概念建立的關(guān)鍵是處理好事件的關(guān)系，尤其是通過對事件的發(fā)生發(fā)展的“路徑”分析和樣本空間中事件關(guān)系的分析把事件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.建立概念時(shí)，可按照“形成全概率公式初步印象（形式）→建立全概率公式意圖和思想方法→全概率公式的證明→全概率公式的直觀理解→全概率公式應(yīng)用要點(diǎn)”的思路進(jìn)行. 3.1形成全概率公式的初步印象

案例2甲袋中裝有3只紅球和2只白球，乙袋中2只紅球和5只白球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，求從乙袋中取出的是紅球的概率. 設(shè)計(jì)意圖：以事件的發(fā)生發(fā)展把事件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的“樸素”的思維方式，處理好事件關(guān)系，滲透分類討論思想.分析：設(shè)A表示從甲袋取出的是紅球，B表示從乙袋中取出的是紅球.顯然，求從乙袋取出的是紅球的事件概率要考慮從甲袋中取出的球是什么顏色，一是從甲袋取出的是紅球放入乙袋，再從乙袋取出紅球，二是從甲袋取出的是白球放入乙袋，然后從乙袋取出紅球.因此，事件B轉(zhuǎn)化為兩個(gè)互斥事（從甲袋中取出紅球放入乙袋與從乙袋中取出紅球同時(shí)發(fā)生）與件BABA（從8甲袋中取出白球放入乙袋與從乙袋中取出紅球同時(shí)發(fā)生）相并，即(BA)è（BA)=B.所以，由概率的有限可加性和乘法公式，得PB()=PBA()+PBA()=PAPBA()()+PAPBA()()33 22 13=×+×=58 58 40.上述分析過程可用“概率樹圖”（圖2）表示.這就是全概率公式的基本形式.全概率公式的基本含義是通過事件轉(zhuǎn)化求解概率.怎樣把事件進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？第一，當(dāng)一個(gè)事件發(fā)生有多種情況時(shí)，要考慮分類，通過分類理出事件發(fā)生發(fā)展的條理.第二，分類后的每一個(gè)事件一般不再是“單一”的事件，而是積事件.第三，事件轉(zhuǎn)化后，通過和事件與積事件求概率. 3.2建立全概率公式意圖和思想方法

把一個(gè)復(fù)雜事件變成若干個(gè)互斥事件相并，通過并事件（互斥）概率和積事件概率乘法公式即可求得復(fù)雜事件的概率，這就是全概率公式的基本思想. 全概率公式是概率論的重要內(nèi)容，生產(chǎn)實(shí)踐中我們遇到的事件是復(fù)雜的，用“隱含的事件關(guān)系簡單”“概率關(guān)系簡單”

的事件表示“隱含的事件關(guān)系復(fù)雜”“概率關(guān)系復(fù)雜”的事件，然后求其概率是我們處理ABA概率問題的基本方法.Ω就案例2而言，事件B所隱含的關(guān)系復(fù)雜，“概率關(guān)系”復(fù)雜，而事件BA和BA則隱圖3含的關(guān)系清晰，相應(yīng)的“概率關(guān)系”簡單.

3.3全概率公式及其證明“一般地，設(shè)AA1 2,×××An是一組兩兩互斥的事件，A1èA2è×××èAn=W，且PA()>0,i=1,2,×××n，則對任意的BíW，有PB() n

=?i=1PAPBA()( i)④”.稱④為全概率計(jì)算公式.A1èA2è×××èAn=W，也記作n

=è1Ai=W，AA1 2,×××An稱為樣本空間W的一個(gè)“完全事件組”，或樣本空間W的“一個(gè)劃分”，是事件B發(fā)生的一系列“可能的原因”，它們兩兩互斥，AAi×=?jAA一般認(rèn)為是樣本空間W的最簡，而劃分，即AèA=W.9全概率公式可以利用并事件與積事件概率關(guān)系證明.由于B=?W，所以B=?（A1èA2è×××èAn）(BA1)(BA2)è×××è(BAn)，由概率性質(zhì)，PB()=PBA( 1)+PBA( 2)+×××+PBA( n)，再由積事件公式②，④式即得證.3.4注重通過邏輯和直觀理解全概率公式注重通過“邏輯”和“直觀”理解全概率公式.全概率公式的邏輯基礎(chǔ)是并事件、積事件的概率，用并事件求概率體現(xiàn)了求事件概率的分類討論思想.從邏輯的角度上講，原樣本空間W被分成n個(gè)兩兩互斥事件AA1 2,×××An后，在原樣本空間中的每一個(gè)iAi(=1,2,×××)空間上（iA是在原樣本W(wǎng)空間上的考慮的條件，不是“已經(jīng)發(fā)生過了”的條件），事件B就是積事件BAi（教材和教師用書中，“新的樣本空間上事件B就是積事件AB”[4][5]即是這個(gè)含義），而PBA( i)=PAPBAi ( i)，求出事件B在原樣本空間的每一個(gè)iAi(=1,2,×××)空間上發(fā)生其概率和即可.直觀上，可以借助于概率“樹圖”（圖2）和韋恩圖分析，以集合視角理解全概率公式，如圖3、圖4和圖5.教學(xué)時(shí)，要根據(jù)高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，對照直觀的圖形，用通俗易懂的語言解釋全概率公式.3.5全概率公式的運(yùn)用要領(lǐng)第一，化難為易，找準(zhǔn)樣本空間及空間的合理“劃分”.A1A2A3…An-1An用全概率公式解決概率問題，關(guān)鍵要理解B原樣本空間和該空間的一個(gè)“劃分”的意義，什么是樣本空間的一個(gè)“劃分”，為什么要Ω劃分？以“教材”的例5為例，樣本空間的樣本點(diǎn)是三臺機(jī)床加工的零件，顯然，這個(gè)樣本圖4點(diǎn)要分為第一臺、第二臺和第三臺機(jī)床加工的零件，相應(yīng)的事件“任取一個(gè)零件為次品”有三種情況，即取出的次品是第一臺生產(chǎn)的、第二臺生產(chǎn)的和第三臺生產(chǎn)的.如果不把空間進(jìn)行劃分，問題理不出條理，我們稱事件中隱含的關(guān)系復(fù)雜.因此，劃分樣本空間，可以突出樣本空間的層次，使事件關(guān)系變得簡單.10有些問題，明顯可以看出構(gòu)成“空間”的樣本點(diǎn)（基本事件）具有不同的類型，這往往也是我們劃分空間的標(biāo)準(zhǔn).A2BAn-1A1第二，用全概率公式解決問題的基本路徑是：A3An①全概率問題一般涉及事件和“條件”，所以要用字母表示相應(yīng)的事件，這里的“事件”盡量“單一”，一般不交叉，如：涉及男女性別不同和圖5色盲與否的問題，一般不用如：“男生色盲”“女

生不色盲”作為一個(gè)事件，而用“男生”“女生”“色盲”“不色盲”為一個(gè)事件.②根據(jù)問題所反映的“事實(shí)”，確定具體的樣本空間及其“構(gòu)成”空間中的樣本點(diǎn)（基本事件）.③分析樣本空間中的事件有沒有層次和不同的類型，依據(jù)事件的層次和類型進(jìn)行空間劃分.④分析問題中（題目）的每一個(gè)條件，把條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的“事件關(guān)系”或“事件的概率”.⑤根據(jù)全概率公式進(jìn)行計(jì)算.案例3（根據(jù)文[7]例題改編）根據(jù)數(shù)據(jù)分析，一種較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，某班級學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生有90%的可能會做，學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生有90%的可能不會做.據(jù)分析，這個(gè)班有80%的學(xué)生其學(xué)習(xí)能力是強(qiáng)的（可認(rèn)為任意抽取一個(gè)學(xué)生，其有80%的可能性是學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的）.（1）現(xiàn)隨機(jī)選一名學(xué)生，其會做的可能性有多大？（2）若某個(gè)學(xué)生會做，其多大可能是學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的？分析：本題涉及學(xué)習(xí)能力強(qiáng)與不強(qiáng)，問題會做不會做，先用字母表示有關(guān)事件.A—學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，A—學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，B—問題會做，B—問題不會做.題目的條件可轉(zhuǎn)化為：PBA=( ) 0.9，PBA=( ) 0.9，PA=() 0.8.概率空間劃分為AèA=W.（1）根據(jù)樣本空間的構(gòu)成，把會做的學(xué)生分成兩類，一類是學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生，一類是學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生，根據(jù)全概率公式，PB()=PAPBA()()+PAPBA()()=0.90.8+0.10.2=0.74；（2）該問題可以放在學(xué)習(xí)貝葉斯公式之后分析，我們在此解答的目的是鞏11固條件概率和全概率公式.問題相當(dāng)于已知PB()（第一問的結(jié)果），求PAB()，由條件概率公式，PAB()=PAB()，需要先求出PAB()，在求PAB()時(shí)，我們PB()轉(zhuǎn)化問題的視角（貝葉斯公式思想），把事件A作為條件，所以PAB()=PA()×PBA()=0.80.9=0.72，所以PAB()=PAB()0.72=0.973.PB()0.74全概率公式教學(xué)的難點(diǎn)是：當(dāng)AA1 2,×××An都是引發(fā)事件B發(fā)生的原因時(shí)（A1èA2è×××èAn=W，AAi×=?j，PA()>0,i=1,2,×××n，），為什么B=(BA1)(BA2)è×××è(BAn)（事件關(guān)系的轉(zhuǎn)化式）？突破難點(diǎn)有一個(gè)過程，不能急于求成，要滲透于概念形成的各個(gè)環(huán)節(jié)，在全概率概念建立和完善之后，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“事件關(guān)系的轉(zhuǎn)化式”的意義.（1）自然語言的直觀意義是：事件B發(fā)生總是在樣本空間的每一個(gè)iA空間中與事件iA同時(shí)發(fā)生.（2）邏輯的角度（最嚴(yán)謹(jǐn)）分析為：B=?W，A1èA2è×××èAn=W.（3）集合的視角理解是：樣本空間W上，事件B與iA交集的并集（參看圖4、圖5）.（4）結(jié)論反映的本質(zhì)是（從事件的概率關(guān)系反觀事件關(guān)系）：事件B在樣本空間W上發(fā)生的概率是它在該空間的每一個(gè)劃分iA上發(fā)生概率的加權(quán)平均數(shù)[8].這個(gè)“權(quán)”即PA().4.貝葉斯公式：領(lǐng)悟概率問題解決的思維轉(zhuǎn)化，概念、公式的全面融合貝葉斯公式的本質(zhì)是條件概率，從思維策略上分析，全概率公式和貝葉斯公式體現(xiàn)了解決概率問題的兩種不同的思維方式，前者“由因推果”，化整為零，分類討論，用來解決已知“原因”事件求“結(jié)果”事件概率的問題，后者“執(zhí)果尋因”，“分析每個(gè)原因?qū)Y(jié)果所做的貢獻(xiàn)[6]”，用以求解已知“結(jié)果”發(fā)生時(shí)，“某個(gè)原因”事件導(dǎo)致的概率.實(shí)際上，我們?nèi)绻麤]有學(xué)習(xí)貝葉斯公式，直接從條件概率出發(fā)，利用全概率公式和乘法公式一樣可以將問題解決.案例3的第二問和教材的例5的第二問（之后的“案例4”分析）就是按照這個(gè)思路解決問題的.12同樣通過例題，引導(dǎo)學(xué)生分析解法，然后總結(jié)抽象出貝葉斯公式. 案例4（人教版教材例5）

有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.（1）任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第ii=1,2,3)臺車床加工的概率.分析：問題涉及零件是否為次品和來自哪一臺車床，因此，要先把事件用字母表示，理出事件及其關(guān)系條理.設(shè)B=“任取一零件為次品”，iA=“零件為第ii=1,2,3)臺車床加工”.整個(gè)問題圍繞B和iAi=1,2,3)展開，顯然1A，A2，A3兩兩互斥，A1èA2èA3=W，PBA( 1)=0.06，PBA( 2)=PBA( 3)=0.05，PA()=0.25，PA( 2)=0.30，PA()=0.45.（1）求PB().因?yàn)?A，A2，A3是樣本空間W的一個(gè)劃分，所以，由全概率公式，PB()=PBA( 1)+PBA2)+PBA( 3)=0.0525.重點(diǎn)分析第二問.（2）題目要我們求PAB( i)(i=1,2,3).以求PAB( 1)（*）為例，由條件概率知，PAB( 1)=PAB( 1)，結(jié)合題設(shè)，PB()我們在求積事件概率PAB( 1)（**）時(shí)，用乘法公式，把“條件”變成1A，即PAB( 1)=PAPBA()( 1)，在求PB()時(shí)，用全概率公式，PB()=PBA( 1)+PBA2)+PBA( 3)（***），亦即第一問結(jié)論，PB=() 0.0525.注意：求（*）式時(shí)，“B”為條件，而在已知的（**）（***）中，用乘法公式和全概率公式，“iA”為條件，即“已知”（右邊）和要求的“結(jié)論”（左邊）13的“條件”發(fā)生了改變，PAB( 1)=PAB( 1)=PBA( 1PAPBA()( 1))+PBA2)+PBA( 3)就是PB()貝葉斯公式，貝葉斯公式反映了條件概率之間的關(guān)系. 另外，學(xué)生解答此題時(shí)可能習(xí)慣于“統(tǒng)計(jì)”的方法，這時(shí)要注意引導(dǎo).解答概率問題盡量用概率的方法.通過該例講解，我們知道，問題解決的出發(fā)點(diǎn)是條件概率，通過改變“條件”求積事件（PAB( 1)）概率，再結(jié)合全概率公式（求PB()時(shí)用全概率公式，A1èA2èA3=W，1A，A2，A3是樣本空間的一個(gè)劃分），問題得到解決.這樣，即可得出貝葉斯公式的基本形式.在上述例題基礎(chǔ)上，總結(jié)出一般情形下的貝葉斯公式，即：在公式④的條件下，若PB>() 0，則PAB( i)=PAPBA()Ai)n

?PA( k)(PBAk),i=1,2,×××[3]⑤.特別地，PAB()k=1=PAB()=PAPBA()A)PB() PAPBA()(A)+P()(APBA)⑥.為什么說貝葉斯公式是“執(zhí)果尋因”，對于高中學(xué)生，不能僅從概念上和意義上講解，要引導(dǎo)他們直觀觀察.我們觀察公式⑤即可發(fā)現(xiàn)其“形式上”的特征，由“iAi=( 1,2×××)條件下事件B發(fā)生的概率（右式），可求B條件下事件A發(fā)生的概率（左式）”，說明在一個(gè)樣本空間里，“條件”是變化的，條件是相對的.如果從形式上理解和記憶，公式⑥的前半部分PAB()=PAB()即為條件概率，而該條件概率分子、分母中的PB()PAB()、PB()可用積事件和全概率公式求出，不過與公式左邊的“PAB()”相比，右邊的“條件”改變了.貝葉斯公式是條件概率、全概率公式、乘法公式的融合，教學(xué)的關(guān)鍵是理順其與條件概率、全概率公式之間的邏輯聯(lián)系和公式自身的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解公式的本質(zhì)及其意義.公式的結(jié)論形成后要引導(dǎo)學(xué)生分析：（1）公式的來龍去脈，怎樣由條件概率推出公式.（2）公式的意義，已知“結(jié)果”的概率求某個(gè)“原14因”概率是改變“條件”后概率之間的關(guān)系.（3）公式中哪一部分用積事件概率求出，哪一部分通過全概率公式求出. 貝葉斯公式的運(yùn)用，使我們充分理解了條件概率、乘法公式和全概率公式之間的聯(lián)系，在生產(chǎn)實(shí)踐中，貝葉斯公式的這種“執(zhí)果尋因”的意義更為重要. 案例5大數(shù)據(jù)表明，50周歲以上男性的低風(fēng)險(xiǎn)人群中，每1000名中有3名患有結(jié)腸癌（以下簡稱為“J病”）.如果一名男性患有“J病”，其大便檢查有隱血的可能性是50%，如果沒有患“J病”，其大便檢查有隱血的可能性只有3%.現(xiàn)有一50周歲低風(fēng)險(xiǎn)男性的大便檢查有隱血，問其患“J病”的概率有多大？ 問題意圖：貝葉斯公式