2023屆山西省大同市實驗中學高三上學期高考考前模擬（二）數(shù)學試題

2023屆山西省大同市實驗中學高三上學期高考考前模擬（二）數(shù)學試題一、單選題1．設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集的運算即可求得答案.【詳解】由已知集合得:,故選：B2．若復數(shù)滿足，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由復數(shù)的運算法則與復數(shù)相等的概念求解即可【詳解】設，則，所以，，所以，所以.故選：A3．中，，，為線段上任一點，則（

）A．8 B．4 C．2 D．6【答案】B【分析】由，為線段上任一點，可知，則可由向量的數(shù)量積公式直接計算出結果.【詳解】因為，，所以，故選：B.4．“”是“曲線表示橢圓”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，可求得t的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為曲線為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B5．回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀.不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”.如44，585，2662等；那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（

）A．30 B．36 C．360 D．1296【答案】B【分析】依據(jù)回文數(shù)對稱的特征，可知有兩種情況：1、在6個數(shù)字中任取1個組成個回文數(shù)；2、在6個數(shù)字中任取2個種取法，又由兩個數(shù)可互換位置種，即個回文數(shù)；結合兩種情況即可求出組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)【詳解】由題意知：組成4位“回文數(shù)”∴當由一個數(shù)組成回文數(shù)，在6個數(shù)字中任取1個：種當有兩組相同的數(shù)，在6個數(shù)字中任取2個：種又∵在6個數(shù)字中任取2個時，前兩位互換位置又可以組成另一個數(shù)∴2個數(shù)組成回文數(shù)的個數(shù)：種故，在6個數(shù)字中任取2個組成回文數(shù)的個數(shù)：綜上，有數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為：+=36故選：B【點睛】本題考查了排列組合，根據(jù)回文數(shù)的特征—對稱性，先由分類計數(shù)得到取數(shù)的方法數(shù)，再由分步計數(shù)得到各類取數(shù)中組成回文數(shù)的個數(shù)，最后加總即為所有組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)6．過圓上的動點作圓的兩條切線，兩個切點之間的線段稱為切點弦，則圓不在任何切點弦上的點形成的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出切點弦的方程后可求不在任何切點弦上的點形成的區(qū)域的面積.【詳解】設圓的動點為，過作圓的切線，切點分別為，則過的圓是以直徑的圓，該圓的方程為：.由可得的直線方程為：.原點到直線的距離為，故圓不在任何切點弦上的點形成的區(qū)域的面積為，故選：A.7．我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1，2，...，9填入的方格內(nèi)，使三行、三列、兩對角線的三個數(shù)之和都等于15(如圖）.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形就叫做階幻方的一條對角線上數(shù)的和為(如：在3階幻方中，)，則A．1020 B．1010 C．510 D．505【答案】D【詳解】階幻方共有個數(shù)，其和為階幻方共有行，每行的和為，即，故選D.8．若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判斷不是方程的根，再方程兩邊同除以，即可得到，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的圖象，令，設方程的兩根分別為、，對分類討論，結合函數(shù)圖象即可得解；【詳解】解：當時等式顯然不成立，故不是方程的根，當時，將的兩邊同除以，可得，令，則且，所以，所以當和時，當時，即在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)的圖象如下所示：令，設方程的兩根分別為、，，①當時，方程無解，舍去；②當時，，若，則，由圖可得有且僅有一個解，故舍去，若，則，由圖可得有且僅有一個解，故舍去，③當時，或，若，由，，所以，由圖可得與各有一個解，符合題意，若，由，，可設，，，由圖可得無解，有兩個解，符合題意，綜上可得的取值范圍為；故選：A二、多選題9．“中國最具幸福感城市調(diào)查推選活動”由新華社《瞭望東方周刊》、瞭望智庫共同主辦，至今已連續(xù)舉辦15年，累計推選出80余座幸福城市，現(xiàn)某城市隨機選取30個人進行調(diào)查，得到他們的收入、生活成本及幸福感分數(shù)（幸福感分數(shù)為0~10分），并整理得到散點圖（如圖），其中x是收入與生活成本的比值，y是幸福感分數(shù)，經(jīng)計算得回歸方程為.根據(jù)回歸方程可知（）A．y與x成正相關C．只要增加民眾的收入就可以提高民眾的幸福感【答案】ABD【分析】根據(jù)給定散點圖，利用相關性的意義判斷A；計算殘差判斷B；舉例說明判斷C；利用回歸方程計算判斷D作答.【詳解】對于A，由散點圖知，當x增大時，y也增大，y與x成正相關，A正確；對于B，由圖知，點A是殘差絕對值最大的點，當時，，則殘差，所以殘差的絕對值最大是2.044，B正確；對于C，若增加民眾的收入，而生活成本增加的更多，收入與生活成本的比值x反而減小，幸福感分數(shù)y減小，C不正確；對于D，收入是生活成本的3倍，即，則，幸福感分數(shù)預報值為6.044，D正確.故選：ABD10．已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖像關于對稱，則的最小值是D．若方程在上有個不同實根，則的最大值為【答案】AC【分析】根據(jù)題意得，，再結合三角函數(shù)的圖像性質(zhì)依次分析各選項即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以，，解得，因為，所以，即，所以，對于A選項，函數(shù)，是奇函數(shù)，故正確；對于B選項，當時，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故錯誤；對于C選項，函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖像對應的解析式為，若圖像關于對稱，則，解得，由于，故的最小值是，故正確；對于D選項，當時，，故結合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，若方程在上有個不同實根，不妨設，則取得最大值時滿足且，所以，的最大值為，故錯誤.故選：AC11．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，設函數(shù)，則（

）A．函數(shù)圖象關于直線對稱B．函數(shù)的周期為6C．D．和的圖象所有交點橫坐標之和等于8【答案】AD【分析】由題設得即可判斷A選項；由對稱性結合奇偶性得即可判斷B選項；利用周期性及解析式求出函數(shù)值即可判斷C選項；先求得函數(shù)圖象關于直線對稱，畫出和的圖象得到有四個交點，且關于直線對稱，即可判斷D選項.【詳解】由定義域為R，可得，，即，則函數(shù)圖象關于直線對稱，A正確；由以及為偶函數(shù)可得，則，即函數(shù)的周期為4，B錯誤；由周期性知，，又，即，則，C錯誤；函數(shù)的定義域為，，可得函數(shù)圖象關于直線對稱，分別畫出和的圖象如圖所示：由圖可得和的圖象有四個交點，且關于直線對稱，則所有交點橫坐標之和等于，D正確.故選：AD.12．如圖，已知正方體頂點處有一質(zhì)點Q，點Q每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同．從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次．若質(zhì)點Q的初始位置位于點A處，記點Q移動n次后仍在底面ABCD上的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．點Q移動4次后恰好位于點的概率為0D．點Q移動10次后仍在底面ABCD上的概率為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意找出點Q在下或上底面時，隨機移動一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐步分析計算確定各選項正誤.【詳解】在正方體中，每一個頂點由3個相鄰頂點，其中兩個在同一底面，所以當點Q在下底面時，隨機移動一次仍在下底面的概率為，在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為，所以，故A正確，，故B錯誤，點Q由點A移動到點處最少需要3次，任意折返都需要2次移動，所以移動4次后不可能到達點，故C正確，由于且，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】有一些復雜的概率模型可通過找尋與之間的遞推關系，從而求出.三、填空題13．已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．【答案】【分析】根據(jù)將分離出來，基本不等式求最值即可求解.【詳解】由得．又，當且僅當，即當時等號成立，∴，∴的最大值為．故答案為：14．是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．【答案】##【分析】求出圓心坐標和拋物線的焦點坐標，把的最小值轉化為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點，因為是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點到原點的距離，即，所以的最小值為，故答案為：15．已知四面體ABCD，平面平面ABC，，，，且四面體ABCD外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為______．【答案】【分析】先證平面ABD，可將四面體ABCD補成直三棱柱，根據(jù)外接球半徑求得值，再合體積公式即可求解．【詳解】如圖所示，取AB的中點H，連接DH，因為平面平面ABC，平面平面，，而平面，所以平面ABC，因平面ABC，所以，又因為，，所以平面ABD，可將其補成直三棱柱，∵，，∴，的外接圓半徑為，因為四面體ABCD外接球的表面積為，所以外接球半徑，所以，∴，∴．故答案為：．【點睛】16．如圖，一建筑工地有墻面與水平面垂直并交于，長為米的鋼絲連接平面內(nèi)一點與平面內(nèi)一點，點距均為3米，分別為的三等分點，若在平面內(nèi)一點向點連繩子，則的最短長度為__________米.【答案】【分析】利用對稱找到滿足要求的，即滿足最小的點，再利用線段比例關系及勾股定理得到各線段長，求出，利用余弦定理求出答案.【詳解】如圖1，找點關于平面的對稱點，連接交平面于，其中截面圖如圖2所示，則即為滿足最小的點，因為，所以，，又，在中，由余弦定理得，即的最小值為.故答案為：四、解答題17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值（2）若，b＝2，求△ABC的面積S.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理＝，化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，根據(jù)和角公式、三角形內(nèi)角和可得答案；（2）由正弦定理、余弦定理a、c，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式可知，再由三角形面積公式可得答案．【詳解】（1）由正弦定理，則＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，因為A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，因此.（2）由＝2，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×，解得a＝1，從而c＝2.因為cosB＝，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝.18．從①；②，；③，是，的等比中項這三個條件中任選一個，補充到下面橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d不等于零，______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①：先計算出，得到前項和公式，進而計算出方差和通項公式；選②：得到關于首項和公差的方程組，求出首項和公差，求出通項公式；選③：根據(jù)等比中項，列出方程，求出公差，通項公式；（2）在第一問的基礎上，計算得到數(shù)列的通項公式，進而利用分組求和計算出前n項和.【詳解】（1）選①．易得，解得：，即，所以，即，故，所以．選②．易得，所以，所以．選③．易得，即，解得：（舍去），所以．（2）由（1）知，所以，所以．19．如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O?M分別為線段AD?DE的中點，四邊形BCDO是邊長為1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.(1)求證：CM平面ABE；(2)求直線CM與BD所成角的余弦值；(3)點N在直線AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求線段AN的長.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取線段中點，連接、，可得四邊形為平行四邊形，即可得到，從而得證；（2）連接可得，，以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線線角的余弦值．（3）設=λ，利用平面BMN⊥平面ABE求出，由兩點間距離公式求AN.【詳解】（1）證明：取AE的中點P，連接BP?MP，如圖所示.∵M?P分別為ED?AE的中點，∴PMAD，且PM=AD.又四邊形BCDO是邊長為1的正方形，∴BCOD，且BC=OD，又O為AD的中點，∴BCAD，且BC=AD，即PMBC，且PM=BC，∴四邊形BCMP為平行四邊形，∴CMPB，又CM?平面ABE，PB?平面ABE，∴CM平面ABE.（2）（2）連接EO，∵AE=DE，O為AD中點，∴EO⊥AD.∵EO?平面ADE，且平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，∴EO⊥平面ABCD.又OB?平面ABCD，OD?平面ABCD，∴EO⊥OB，EO⊥OD，以O為原點，OB?OD?OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），，0，，M∴=（-1，1，0）.設直線CM與BD所成角為θ，則cosθ=，∴直線CM與BD所成角的余弦值為.（3）設=λ，則N（0，λ，0），∴=（1，-λ，0），，設平面BMN的法向量為(a，b，c)，則即，令a=λ，則b=1，c=2λ-1，∴=（λ，1，2λ-1），設面的法向量為，由，可?。咂矫鍮MN⊥平面ABE，∴，即λ-1+2λ-1=0，解得λ=，.20．某工廠兩條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種元件，元件質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于76為正品，小于76為次品.現(xiàn)分別從兩條生產(chǎn)線隨機抽取元件甲和元件乙各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：測試指標元件甲12840337元件乙17840287(1)試分別估計生產(chǎn)一件元件甲、一件元件乙為正品的概率；(2)生產(chǎn)一件元件甲，若是正品則盈利90元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件乙，若是正品則盈利100元，若是次品則虧損20元，則在（1）的前提下：①求生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤不少于300的概率；②記X，Y分別為生產(chǎn)1000件元件甲和1000件元件乙所得的總利潤，試比較和的大小.（結論不要求證明）【答案】(1)甲為正品的概率，乙為正品的概率(2)①；②【分析】(1)用元件甲和元件乙為正品的頻率估計生產(chǎn)一件元件甲和生產(chǎn)一件元件乙為正品的概率；(2)①利用獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；②先計算生產(chǎn)一件甲元件的利潤和生產(chǎn)一件乙元件的利潤，再計算并比較和的大小.【詳解】（1）由已知100件甲元件的樣本中正品的頻率為，100件乙元件的樣本中正品的頻率為，所以生產(chǎn)一件元件甲為正品的概率為，

生產(chǎn)一件元件乙為正品的概率為；（2）①設生產(chǎn)的5件乙元件中正品件數(shù)為，則有次品件，由題意知得到，設“生產(chǎn)5件乙元件所獲得的利潤不少于300元”為事件，則．②設生產(chǎn)一件甲元件的利潤為，則的所有取值為90,-10，則，，所以的分布列為：90-10P，所以設生產(chǎn)一件乙元件的利潤為，則的所有取值為100,-20，則，，所以的分布列為：100-20P，所以所以21．已知函數(shù)，其中．(1)若函數(shù)在上單