高中數(shù)學定積分在物理中的應(yīng)用

高中數(shù)學定積分在物理中的應(yīng)用第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四【課標要求】1．通過具體實例了解定積分在物理中的應(yīng)用．2．會求變速直線運動的路程、位移和變力作功問題．【核心掃描】利用定積分求變速直線運動的路程、位移和變力所作的功．

(重點)第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四自學導(dǎo)引定積分在物理中的應(yīng)用變速直線運動作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即變力作功如果物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動到x＝b(a<b)，那么變力F(x)所作的功為第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四想一想：利用定積分求變速直線運動的路程和位移是同一個式子嗎？

提示路程是標量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念，(1)當v(t)≥0時，求某一時間段內(nèi)的路程和位移均用 求解；

(2)當v(t)<0時，求某一時間段內(nèi)的位移用求解，這一時段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為－.第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四名師點睛1．在變速直線運動中求路程、位移

路程是位移的絕對值之和，從時刻t＝a到時刻t＝b

所經(jīng)過的路程S和位移S′分別為：

(1)若V(t)≥0，則S＝V(t)dt，S′＝V(t)dt. (2)若V(t)≤0，則S＝－V(t)dt，S′＝V(t)dt. (3)若在區(qū)間[a，c]上，V(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上V(t)<0， 則s＝V(t)dt－V(t)dt；S′＝V(t)dt.第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四2．定積分在物理中的應(yīng)用

(1)做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝v(t)dt. (2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所作的功為W＝Fs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間[a，b]上的定積分，即W＝F(x)dx.第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四說明：做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s在數(shù)值上其實就是時間一速度坐標系中對應(yīng)曲邊梯形的面積，而變力做功實際上也是位移—力坐標系中對應(yīng)曲邊梯形的面積．在變力做功時，不限定F(x)為非負數(shù)，這樣求出來的定積分可能為負數(shù)．當定積分為負數(shù)時，說明變力做負功，即克服變力做了功．第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四題型一求變速直線運動的路程、位移【例1】

有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求

(1)P從原點出發(fā)，當t＝6時，求點P離開原點的路程和位移；

(2)P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值．

[思路探索]第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四解(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即當0≤t≤4時，P點向x軸正方向運動，當t>4時，P點向x軸負方向運動．故t＝6時，點P離開原點的路程當t＝6時，點P的位移為第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四(2)依題意(8t－2t2)dt＝0，第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四

(1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關(guān)鍵．(2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算，否則會出現(xiàn)計算失誤．第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四【變式1】

變速直線運動的物體的速度為v(t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內(nèi)所走的路程及2秒末所在的位置． 解當0≤t≤1時，v(t)≥0，當1≤t≤2時，v(t)<0.

所以前2秒鐘內(nèi)所走的路程第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四題型二求變力所作的功【例2】

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推到b處，計算在移動過程中，氣體壓力所做的功．力F對物體所做的功為W＝F·S，求出變力F的表達式是本題中求功的關(guān)鍵．第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四【題后反思】解決變力作功注意以下兩個方面：(1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵的一步．(2)根據(jù)變力作功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題．第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期四

因為位置決定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定積分，而路程是位移的絕對值之和，所以需要判斷在[0,4]上，哪個時間