2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學復習提分復習資料專題3 數(shù)列（理科）解答題30題 含答案

2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學復習提分復習資料專題3數(shù)列（理科）解答題30題1．（貴州省貴陽市白云區(qū)2023屆高三上學期階段性質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：2．（陜西省渭南市華陰市2021-2022學年高二上學期期末理科數(shù)學試題）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是首項為1、公比為3的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求．3．（內(nèi)蒙古滿洲里市第一中學2022-2023學年高三上學期第一次模擬考試試題理科數(shù)學試題）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為整數(shù)，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．4．（江西省吉安市2023屆高三上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學（理）試題）設等差數(shù)列的前項和為，，數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，.(1)求，的通項公式；(2)若，求的前項和.5．（廣西柳州市2023屆高三第二次模擬數(shù)學（理科）試題）在數(shù)列中，，它的最大項和最小項的值分別是等比數(shù)列中的和的值.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.6．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列．設其公比為，前項和為，并且滿足，是與的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，是的前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值．7．（2022·陜西西安·?？寄M預測）已知是數(shù)列的前項和，已知目，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項之積為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設公差不為0的等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項和．請從①；②這兩個條件中選擇一個條件，補充在上面的問題中并作答注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分．9．（貴州省貴陽市第一中學2023屆高三上學期12月月考數(shù)學（理）試題）已的數(shù)列的首項，，．(1)求證：數(shù)列等比數(shù)列；(2)記，若，求的最大值．10．（貴州省遵義市紅花崗區(qū)2023屆高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列滿足，，．(1)求，，，并寫出一個符合題意的的通項公式（不需要證明）；(2)設，記為數(shù)列的前項和，求．11．（專題04數(shù)列求和及綜合應用之測案（理科科）第一篇熱點、難點突破篇-《2022年高考文科數(shù)學二輪復習講練測》（全國課標版））已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，Sn＝.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝(－1)n＋1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求T2021.12．（青海省海東市第一中學2022屆高考模擬（一）數(shù)學（理）試題）設數(shù)列的前n項和為，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)若數(shù)列的前m項和，求m的值．13．（甘肅省2022屆高三下學期第一次高考診斷考試理科數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足，．數(shù)列滿足，，，．(1)求數(shù)列及的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．14．（河北省邯鄲市部分學校2023屆高三上學期11月月考數(shù)學試題）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，又數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.15．（山東省實驗中學2022-2023學年高三第二次診斷考試數(shù)學試題）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足的前項和為，求證:．16．（山西省2022屆高三第二次模擬數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前n項和為，若，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)從下面兩個條件中選一個，求數(shù)列的前n項的和．①；②．17．（內(nèi)蒙古赤峰市2023屆高三上學期1月模擬考試理科數(shù)學試題）正項數(shù)列中，，，的前n項和為，從下面三個條件中任選一個，將序號填在橫線______上．①，；②為等差數(shù)列；③為等差數(shù)列，試完成下面兩個問題：(1)求的通項公式；(2)求證：．18．（寧夏育才中學2023屆高三上學期第四次月考數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前項和為，且.在數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.19．（寧夏青銅峽市寧朔中學2023屆高三上學期線上期末考試數(shù)學（理）試題）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若設的前項和為，求．20．（寧夏銀川市第一中學2023屆高三上學期第四次月考數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前項和為，且，________________．請在①；②，，成等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．21．（新疆兵團地州學校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學（文）試題）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．(1)求，的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．22．（江蘇省金陵中學、海安中學2022-2023學年高三上學期10月第二次聯(lián)考數(shù)學試題）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．23．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）已知為數(shù)列的瞐項和.且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.24．（江西省萍鄉(xiāng)市2023屆高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題）記為數(shù)列的前n項和，已知(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.25．（廣西梧州市2023屆高三第一次模擬測試數(shù)學（文）試題）已知為數(shù)列的前n項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求前項的和.26．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前n項和為(1)證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；(2)，求λ的最大值．27．（貴陽省銅仁市2023屆高三下學期適應性考試（一）數(shù)學（理）試題）已知等比數(shù)列的前項和為，，且成等差數(shù)列.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列前項和.28．（青海省2022屆高三五月大聯(lián)考理科數(shù)學試題）已知正項數(shù)列的前n項和為滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前n項和，表示x除以3的余數(shù)，求．29．（山西省呂梁市交城縣2022屆高三核心模擬（下）理科數(shù)學（一）試題）在①；②，；③這三個條件中任選一個，補充到下面橫線處，并作答．已知正項數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，記表示x除以3的余數(shù)，求．注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分．30．（山西省呂梁市2022屆高三第二次模擬數(shù)學（理）試題）已知為數(shù)列的前n項和，且；數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，4，成等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，證明．專題3數(shù)列（理科）解答題30題1．（貴州省貴陽市白云區(qū)2023屆高三上學期階段性質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由題意可知，數(shù)列是等比數(shù)列，可求通項.(2)由（1）化簡可得，數(shù)列是等比數(shù)列，求其前項和為，可證.【詳解】（1）由已知，，可得數(shù)列是1為首項為公比的等比數(shù)列，所以.（2），，，所以數(shù)列是為首項為公比的等比數(shù)列，，由，則，即.2．（陜西省渭南市華陰市2021-2022學年高二上學期期末理科數(shù)學試題）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是首項為1、公比為3的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解首項和公差，（2）由錯位相減法即可求和.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，則解得∴．（2）依題意，知數(shù)列的通項公式為．由（1）知，∴，，①①×3得，②①-②得，∴．3．（內(nèi)蒙古滿洲里市第一中學2022-2023學年高三上學期第一次模擬考試試題理科數(shù)學試題）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為整數(shù)，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】(1)運用等差數(shù)列的求和公式和通項公式，等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得公差，進而得到所求通項公式.(2)求得，用數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和.【詳解】（1）由，得，由成等比數(shù)列，得，即，整理得，又因為公差d為整數(shù)，所以，所以數(shù)列的通項公式為；（2）==，所以==．4．（江西省吉安市2023屆高三上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學（理）試題）設等差數(shù)列的前項和為，，數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，.(1)求，的通項公式；(2)若，求的前項和.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可；（2）運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式進行求解即可.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，則，，，由得，，∴，或.當時，，；當時，，，所以當時，，；當時，，；（2）若，即，∴，，又，∴，∴.5．（廣西柳州市2023屆高三第二次模擬數(shù)學（理科）試題）在數(shù)列中，，它的最大項和最小項的值分別是等比數(shù)列中的和的值.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到數(shù)列的最大項和最小項，解出，可得等比數(shù)列的通項公式；（2）用錯位相減法求數(shù)列的前n項和【詳解】（1）由題意，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知，所以數(shù)列中的最大項為，最小項為，所以，即，所以等比數(shù)列的公比，（2），，，兩式相減得：，故.6．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列．設其公比為，前項和為，并且滿足，是與的等比中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，是的前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值．【答案】(1)（）(2)5【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合條件是與的等比中項得到，聯(lián)立條件得到和，根據(jù)題目條件和等比數(shù)列的通項公式即可求解.（2）根據(jù)（1）求得，利用錯位相減求和得到，從而得到，通過函數(shù)法判斷出是單調(diào)遞減數(shù)列，即可求解.【詳解】（1）因為是與的等比中項，所以，則由題意得：，即，解得：或，因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，，所以，故數(shù)列的通項公式為（）.（2）由（1）得：（），則，①即，②則得：即（），所以（），設，則（），因為在上單調(diào)遞減，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，又有，，所以當且時，成立，故使成立的最大正整數(shù)的值為.7．（2022·陜西西安·?？寄M預測）已知是數(shù)列的前項和，已知目，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，.(2)，其中.【分析】對于（1），先由可得表達式，再由，其中.可得的通項公式；對于（2），由（1）可得，則，據(jù)此可得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由題，又由，.可得，.故.則當，時，.又時，，故數(shù)列的通項公式是，.（2）由（1）可知，，則.則當為偶數(shù)時，.當為奇數(shù)時，.綜上：，其中.8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項之積為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設公差不為0的等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項和．請從①；②這兩個條件中選擇一個條件，補充在上面的問題中并作答注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分．【答案】(1)；(2)條件選擇見解析，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用前n項積的意義求解作答.（2）選擇條件①②，結(jié)合等差數(shù)列求出的通項，再利用錯位相減法求解作答.【詳解】（1）因為數(shù)列的前n項之積為，則當時，，而當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是．（2）選①，，設等差數(shù)列的公差為d，而，則，又，解得，因此，，則于是得兩式相減得，所以．選②，，而數(shù)列是等差數(shù)列，則，即，又，則公差，因此，，則于是得兩式相減得，所以．9．（貴州省貴陽市第一中學2023屆高三上學期12月月考數(shù)學（理）試題）已的數(shù)列的首項，，．(1)求證：數(shù)列等比數(shù)列；(2)記，若，求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)題意，由（1）中的結(jié)論即可得到數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式代入計算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：因為數(shù)列滿足，即整理得，又所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即所以由可得，，即因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且滿足故滿足條件的最大值為10．（貴州省遵義市紅花崗區(qū)2023屆高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列滿足，，．(1)求，，，并寫出一個符合題意的的通項公式（不需要證明）；(2)設，記為數(shù)列的前項和，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出數(shù)列的周期為3，寫出通項公式；（2）在第一問的基礎上，寫出的通項公式，并分組求和.【詳解】（1），，，可看出數(shù)列為周期為3的數(shù)列，故，理由如下：為周期為3的數(shù)列，當時，，當時，，當時，；（2）由第一問可知：，則，故.11．（專題04數(shù)列求和及綜合應用之測案（理科）第一篇熱點、難點突破篇-《2022年高考文科數(shù)學二輪復習講練測》（全國課標版））已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，Sn＝.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝(－1)n＋1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求T2021.【答案】(1)an＝n(2)【分析】（1）由Sn＝，則當n≥2時，，相減求得(n－1)an＝nan－1，驗證n=1后，從而求得數(shù)列{an}的通項公式；（2）代入后利用裂項求和求得T2021的值.【詳解】（1）解：由題設，Sn＝①當n≥2時，②①－②，得，則(n－1)an＝nan－1.∴.所以an＝n.又a1適合上式，故an＝n.（2）解：..12．（青海省海東市第一中學2022屆高考模擬（一）數(shù)學（理）試題）設數(shù)列的前n項和為，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)若數(shù)列的前m項和，求m的值．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）根據(jù)與的關系式化簡證明；（2）由（1）得數(shù)列的通項公式為．所以，繼而求和計算.（1）當時，，．當時，，兩式相減得，即，，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，當時，，數(shù)列的通項公式為．，，令，得，解得．13．（甘肅省2022屆高三下學期第一次高考診斷考試理科數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足，．數(shù)列滿足，，，．(1)求數(shù)列及的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義直接求出通項公式即可；（2）利用分組求和及等差、等比數(shù)列的求和公式求解.（1）由得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，由可知數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差，所以.（2）即14．（河北省邯鄲市部分學校2023屆高三上學期11月月考數(shù)學試題）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，又數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)，建立方程，解得首項，利用等差數(shù)列的通項，整理方程，可得公差，可得答案；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用分組求和，結(jié)合等差和等比的求和公式，可得答案.【詳解】（1）公差d不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，所以，則，即，解得，在公差不為0的等差數(shù)列中，由，可得，代入，可得，整理可得，解得，所以.（2）由（1）可得，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.所以15．（山東省實驗中學2022-2023學年高三第二次診斷考試數(shù)學試題）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足的前項和為，求證:．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的定義求解即可；（2）利用裂項相消求和即可.【詳解】（1）設的首項為，公差為，根據(jù)，，成等比數(shù)列，可得，又，可得方程組，即，又，解得，故．（2），所以因為，所以．所以．16．（山西省2022屆高三第二次模擬數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前n項和為，若，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)從下面兩個條件中選一個，求數(shù)列的前n項的和．①；②．【答案】(1)證明見解析(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）根據(jù)可得，相減可得，再得到，再次相減即可證明結(jié)論；（2）若選①，則討論n的取值范圍，分段求得結(jié)果；若選②，將化為，利用（1）的結(jié)果，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式求得答案．（1）證明：因為，所以，則，兩式相減得，所以，以上兩式相減得，所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）中令得，又，所以等差數(shù)列的公差，所以，，若選①：若，，則；若，，所以；若選②：．17．（內(nèi)蒙古赤峰市2023屆高三上學期1月模擬考試理科數(shù)學試題）正項數(shù)列中，，，的前n項和為，從下面三個條件中任選一個，將序號填在橫線______上．①，；②為等差數(shù)列；③為等差數(shù)列，試完成下面兩個問題：(1)求的通項公式；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）選①，由已知分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況可得，即得答案；選②：根據(jù)為等常數(shù)列即可求得的通項公式；選③:由為等差數(shù)列可求得，繼而利用求得答案.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和可求得的表達式，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）選①：，設，則n為奇數(shù)時，，，設，則n為偶數(shù)時，，所以.選②：的第1項為，第2項，則，則.選③:為等差數(shù)列，，，則，則，，則，經(jīng)檢驗也成立，所以．（2）證明：由（1）可得，則，則18．（寧夏育才中學2023屆高三上學期第四次月考數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前項和為，且.在數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求通項公式；（2）先求出，再用錯位相減法求和.【詳解】（1）由題意數(shù)列的前項和為，且，當時，；當時，，所以，經(jīng)檢驗：也適合上式.故.（2）在數(shù)列中，，若，則，與矛盾，故所以，則，其中，所以，所以.故.所以，故，兩式相減得：，即，所以.19．（寧夏青銅峽市寧朔中學2023屆高三上學期線上期末考試數(shù)學（理）試題）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若設的前項和為，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接根據(jù)題意列出關于和的方程組，解出結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式即可得結(jié)果；（2）先求出，再將分組求和與裂項相消法相結(jié)合即可得結(jié)果.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，或是正項等比數(shù)列，，．（2）由（1）知，，．20．（寧夏銀川市第一中學2023屆高三上學期第四次月考數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前項和為，且，________________．請在①；②，，成等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）確定數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列公式分別計算三種情況得到答案.（2）確定，再利用錯位相減法計算得到答案.【詳解】（1），所以，即，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．若選①：由，得，即，所以，解得．所以，即數(shù)列的通項公式為．若選②：由，，成等比數(shù)列，得，則，所以，所以．若選③：因為，所以，所以，所以．（2），則，則，，兩式相減得：，故．21．（新疆兵團地州學校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學（文）試題）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．(1)求，的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量結(jié)合題意求得首項和公差，即可求得；利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式，即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用錯位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，由題可得，解得，故；因為滿足，，故當時，，故，符合該式，所以；（2）由題可得，設的前項和為，則，故，則即，故.故數(shù)列的前項和為.22．（江蘇省金陵中學、海安中學2022-2023學年高三上學期10月第二次聯(lián)考數(shù)學試題）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列出方程組，求得首項和公比，即得答案；（2）根據(jù)，可得的表達式，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式和裂項求和法，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，故，，即；（2）由已知，得n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，，則．23．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）已知為數(shù)列的瞐項和.且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，兩式相減后得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求解即可;（2）由（1）可得的通項公式，利用裂項相消法可得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）①當時，②，①-②得，即，又當時，，得，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）得，24．（江西省萍鄉(xiāng)市2023屆高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題）記為數(shù)列的前n項和，已知(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得到，將換成，然后兩式相減并化簡可得，由累乘法可得答案.（2）先代出，由錯位相減法可得出答案.【詳解】（1）由可得

（1）當時，

（2）由（1）（2）得，化簡得當時，，也滿足上式所以（2）設，則則兩式相減得所以25．（廣西梧州市2023屆高三第一次模擬測試數(shù)學（文）試題）已知為數(shù)列的前n項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求前項的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進而得；（2）結(jié)合（1）得，進而分組求和即可.【詳解】（1）解：因為，所以，當時，，解得，當時，，，所以，即，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）知，所以，記前項的和為，所以，.26．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列的前n項和為(1)證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；(2)，求λ的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由得的遞推關系，變形后由等差數(shù)列的定義得證；（2）由（1）求得，從而代入已知等式后求得得，然后化簡不等式并分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得結(jié)論．【詳解】（1），∴，∴，∴，又∵，∴，所以數(shù)列是以為首項和公差的等差數(shù)；（2）由(1)知：，所以，∴，∴，又滿足上式，∴，因為，所以，所以，記，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以，所以的最大值為．27．（貴陽省銅仁市2023屆高三下學期適應性考試（一）數(shù)學（理）試題）已知等比數(shù)列的前項和為，，且成等差數(shù)列.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意得到關于、的方程組，求出、，再根據(jù)求和公式得到，再證明即可；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）∵是等比數(shù)列，且①，又、、成等差數(shù)列，∴，∴②，聯(lián)立①②解得，∴，∴，∴，∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，∴①，②，①②得，，整理得.28．（青海省2022屆高三五月大聯(lián)考理科數(shù)學試