2023屆全國(guó)甲卷+全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專題5 立體幾何（理科）解答題30題含答案

2023屆全國(guó)甲卷+全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資專題5立體幾何（理科）解答題30題1．（青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設(shè)P是棱的中點(diǎn)，求AC與平面所成角的正弦值．2．（陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.3．（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期1月月考（期末）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱柱ABCD—的側(cè)棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，AA1的中點(diǎn).(1)證明：B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.4．（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三階段性測(cè)試（四）理科數(shù)學(xué)試題）如圖所示，四棱臺(tái)的上?下底面均為正方形，且底面ABCD.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.5．（貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級(jí)診斷性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分別為CD，PD的中點(diǎn)，K為PA上一點(diǎn)，.(1)證明：B，M，N，K四點(diǎn)共面；(2)若PC與平面ABCD所成的角為，求平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.6．（貴陽(yáng)省銅仁市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖（1），在梯形中，，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)沿將折起，如圖（2），其中分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.7．（湖北省武漢市2022屆高三下學(xué)期2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）在如圖所示的多面體中，點(diǎn)在矩形的同側(cè)，直線平面，平面平面，且為等邊三角形，.(1)證明：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.8．（甘肅省蘭州市第五十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形，，AB⊥AD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M為線段BD的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．9．（甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題）在直角梯形(如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點(diǎn)．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．(1)求證：CD⊥平面ABC；(2)求AB與平面BCM所成角的正弦值．10．（陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，滿足.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.11．（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，底面，，，且．(1)求證：；(2)若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求與底面所成的角的正切值．12．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題）已知三角形PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，現(xiàn)將菱形ABCD沿AD折疊，所成二面角的大小為，此時(shí)恰有.(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求二面角的余弦值.13．（山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側(cè)面是矩形，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)在線段上，若，求二面角的余弦值.14．（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點(diǎn).(1)證明：∥平面；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，平面平面？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)直線與平面所成角的大小.15．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市部分校2022屆高考模擬數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在四棱錐中，PA平面ABCD，，，AD=2.(1)求證：平面PCD⊥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.16．（內(nèi)蒙古呼和浩特市2022屆高三第二次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，D、E分別是，的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)已知，求直線與平面所成角的正弦值．17．（內(nèi)蒙古包頭市2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，D，E分別為AC和上的點(diǎn)，且，，F(xiàn)為棱上的點(diǎn)，.(1)證明：，且；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最小？18．（浙江省金華十校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.19．（慕華優(yōu)策聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.(1)求證：為直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.20．（新疆部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考（全國(guó)乙卷）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，平面平面ABCD，，E為CD的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，，求平面PBC與平面PAE所成銳二面角的余弦值.21．（江西省金溪縣第一中學(xué)2023屆高三一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明；(2)求平面與平面夾角的余弦值.22．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱，頂點(diǎn)在平面上的射影為邊的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.23．（江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，已知直角梯形與，，，，，，G是線段上一點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面上平面，設(shè)平面與平面所成角為，求的取值范圍.24．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（理）試題）在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的射影為棱的中點(diǎn)，且與底面所成角為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”

(如圖2)。(1)若O是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角的大小為求平面與平面夾角的余弦值.26．（江西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在正三棱柱中，，，分別是棱，的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面．(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．27．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三下學(xué)期2月入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)（理科）試題）如圖，四邊形是菱形，，平面，，，設(shè)，連接，交于點(diǎn)，連接，.(1)試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面?若存在，請(qǐng)求出的值，并寫(xiě)出求解過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.28．（河南省濮陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在如圖所示的六面體中，平面平面，，，.(1)求證：平面；(2)若兩兩互相垂直，，，求二面角的余弦值．29．（吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且.(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，求與平面所成角的正弦值.30．（廣東省廣州市天河區(qū)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，E是的中點(diǎn)．(1)若的中點(diǎn)是M，求證：平面；(2)若，求平面與平面所成二面角的正弦值．專題5立體幾何（理科）解答題30題1．（青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設(shè)P是棱的中點(diǎn)，求AC與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)，由余弦定理求出，從而由勾股定理得到，，進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值.（1）設(shè)．在四邊形中，∵，，連接，∴由余弦定理得，即，∵，∴．又∵，∴，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）取AB中點(diǎn)D，連接CD，∵，∴，由（1）易知平面，且．如圖，以B為原點(diǎn)，分別以射線BA，為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則，，，，，．，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則取，，，AC與平面所成角的正弦值為．2．（陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后利用線面垂直證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?又，所以.又，所以為正三角形，所以.因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)相交，所以平面.又平面，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由題可知，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則.3．（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期1月月考（期末）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱柱ABCD—的側(cè)棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，AA1的中點(diǎn).(1)證明：B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明來(lái)證明B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為G，連接AG，GE，由E，G分別為，的中點(diǎn)，∴EG∥DC∥AB，且，∴四邊形ABEG為平行四邊形，故.又F是的中點(diǎn)，即，∴，故B，F(xiàn)，，E四點(diǎn)共面.（2）連接AC、BD交于點(diǎn)O，取上底面的中心為，以O(shè)為原點(diǎn)，、、分別為x、y、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A（，0，0），B（0，1，0），，F(xiàn)（，0，1），∴設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即，取，設(shè)直線AE與平面BED1F所成角為θ，故，∴直線AE與平面BED1F所成角的正弦值為.4．（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三階段性測(cè)試（四）理科數(shù)學(xué)試題）如圖所示，四棱臺(tái)的上?下底面均為正方形，且底面ABCD.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明線線垂直；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求面面角.【詳解】（1）平面平面，如圖，連接四邊形為正方形，，又平面，平面，平面.（2）由題意知直線兩兩互相垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，.設(shè)平面與平面的法向量分別為.則令，則，令，則，，故二面角的正弦值為.5．（貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級(jí)診斷性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分別為CD，PD的中點(diǎn)，K為PA上一點(diǎn)，.(1)證明：B，M，N，K四點(diǎn)共面；(2)若PC與平面ABCD所成的角為，求平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明線線平行，再利用基本事實(shí)判定四點(diǎn)共面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求解兩個(gè)平面的法向量，然后利用向量法求解二面角平面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接AC交BM于E，連接KE，∵四邊形ABCD是矩形，M為CD的中點(diǎn)，且，，，，，，∵M(jìn)，N分別是CD，PD的中點(diǎn)，，，K，E，M，N四點(diǎn)共面，，B，M，N，K四點(diǎn)共面.（2），，∴，平面ABCD，∴PC與平面ABCD所成的角為，在中，，∴，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，，設(shè)平面BMNK的一個(gè)法向量為，則，令，得平面BMNK的一個(gè)法向量為，又平面PAD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的大小為，，平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為.6．（貴陽(yáng)省銅仁市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖（1），在梯形中，，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)沿將折起，如圖（2），其中分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，易證得四邊形為平行四邊形，從而得到，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)可分別得到，結(jié)合平行關(guān)系和線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可證得兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，為中點(diǎn)，，，又，四邊形為平行四邊形，，，分別為中點(diǎn)，，，又為中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，；，為中點(diǎn)，，；，，，四邊形為正方形，，，又，平面，平面.（2）由（1）知：，，又，；，為中點(diǎn)，，，，，，又，平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，；平面，平面的一個(gè)法向量為，，由圖形知：二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.7．（湖北省武漢市2022屆高三下學(xué)期2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）在如圖所示的多面體中，點(diǎn)在矩形的同側(cè)，直線平面，平面平面，且為等邊三角形，.(1)證明：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，則由平面平面，可得平面，再由平面，可得，，再由已知條件可證得，由線面垂直的判定定理可得平面，然后由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論，（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，.由平面平面，且交線為，平面.又平面，有，四點(diǎn)共面.平面平面，.又在矩形中，，∴∽，∴,∵,∴，.又∵，平面.平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有：.設(shè)平面的法向量.，令，則.設(shè)平面ECF的法向量.，令，則.所平面與平面所成銳二面角的余弦值為.8．（甘肅省蘭州市第五十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形，，AB⊥AD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M為線段BD的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)證明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求證BD⊥AM；(2)在點(diǎn)A處建立空間坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面AFM與平面ACE的法向量，結(jié)合空間角與向量角的聯(lián)系計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛DEF為正方形，所以AF⊥AD．又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因?yàn)锳B＝AD，M線段BD的中點(diǎn)，所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AF兩兩垂直．分別以為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz（如圖）．設(shè)AB＝1，則A，B，C，D，E，所以，，，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則

即，令y＝1，則，則．由（1）知，為平面AFM的一個(gè)法向量．設(shè)平面AFM與平面ACE所成的銳二面角為，則．所以平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值為．9．（甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題）在直角梯形(如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點(diǎn)．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．(1)求證：CD⊥平面ABC；(2)求AB與平面BCM所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證CD⊥平面ABC；（2）取AC的中點(diǎn)O，連接OB，先證明兩兩垂直，再以為原點(diǎn)，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，∴CD⊥平面ABC．（2）取AC的中點(diǎn)O，連接OB，由題設(shè)可知△ABC為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，所以平面,連接OM，因?yàn)槠矫?所以，因?yàn)镸、O分別為AD和AC的中點(diǎn)，所以，所以O(shè)M⊥AC，故以為原點(diǎn)，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，∴，，，設(shè)平面BCM的一個(gè)法向量為，則，得，令，得，∴．所以AB與平面BCM所成角的正弦值為.10．（陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，滿足.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面ABCD,所以,又因?yàn)?，平面，所以平?（2）過(guò)A作的垂線交于點(diǎn)M,因?yàn)槠矫?，平?所以,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則,因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以,因?yàn)镕在上，設(shè),則,故,因?yàn)?，所以，即，即，即，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，令，則，故；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，令，則，故，故，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.11．（陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，底面，，，且．(1)求證：；(2)若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求與底面所成的角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由已知結(jié)合勾股定理可推得，.進(jìn)而證得平面，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得出；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量法得出平面與平面的法向量，結(jié)合已知可得，求出點(diǎn)坐標(biāo).在中，求出即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)E，連接，則由已知得且，所以．由已知可得，，.又，所以，所以.又底面，平面，所以.又，平面，平面.所以平面.因?yàn)槠矫?，所以．?）如圖，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由題知，，，，.則，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量.所以有，令，則，，則是平面的一個(gè)法向量.由已知得，是平面的一個(gè)法向量.又平面與平面所成的二面角的余弦值為，則，整理可得，.因?yàn)?，所以，即．由直線與平面所成角定義知與底面所成的角為，在中，有，所以．所以，與底面所成的角的正切值為.12．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題）已知三角形PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，現(xiàn)將菱形ABCD沿AD折疊，所成二面角的大小為，此時(shí)恰有.(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，即可得到，再由，從而得到平面，即可得解，從而求出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】（1）解：取中點(diǎn)，連接，，∵是正三角形，∴，又∴，，平面∴平面，平面，∴，∴在菱形中，，則，∴（2）解：取為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，∵∴，令，則，，∴，設(shè)平面PCB的法向量為∵∴，令，則，，所以所以，又二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為；13．（山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側(cè)面是矩形，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)在線段上，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而即得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法即得.(1)因?yàn)榫匦沃?，為的中點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平?(2)由（1）知兩兩相互垂直，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，令，連接，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得，所以，令，得，所以，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，所以，故二面角的余弦值為.14．（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點(diǎn).(1)證明：∥平面；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，平面平面？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）取線段的中點(diǎn)，連接，利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形為平行四邊形，則∥，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）當(dāng)時(shí)，由已知條件可證得平面，從而可得平面平面，分別取線段，的中點(diǎn)，，連接，，則可證得兩兩垂直，所以分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解(1)證明：取線段的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，∥，，∵∥，，∥，，∴四邊形為平行四邊形.∥，平面，平面，∥平面.(2)當(dāng)時(shí)，平面平面.理由如下：在中，，，.又，，平面，又平面，∴平面平面.分別取線段，的中點(diǎn)，，連接，，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，即平面，.因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又，所以.分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，..所以直線與平面所成角的正弦值為，所成的角為.15．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市部分校2022屆高考模擬數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在四棱錐中，PA平面ABCD，，，AD=2.(1)求證：平面PCD⊥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，，由線面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.(1)取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)锳D//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，

因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)過(guò)點(diǎn)作于，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，令，則，

設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，令，則，

所以.16．（內(nèi)蒙古呼和浩特市2022屆高三第二次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，D、E分別是，的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)已知，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，證得，再根據(jù)題意證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，即可證得平面平面.（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，在平面內(nèi)，過(guò)D且平行與直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得到和平面的法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.(1)證明：由題意知，，可得，，所以，所以，所以，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)閭?cè)棱底面，且底面，所以，又由，所以，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，在平面內(nèi)，過(guò)D且平行與直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，可得，設(shè)，可得，，，則，，由平面，所以平面的法向量為，設(shè)與平面ADE所成角為，則.17．（內(nèi)蒙古包頭市2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，D，E分別為AC和上的點(diǎn)，且，，F(xiàn)為棱上的點(diǎn)，.(1)證明：，且；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最?。俊敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證以及即可證得平面，即可證得，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，由即可證得；（2）直接寫(xiě)出平面的一個(gè)法向量，求出平面DEF的法向量，由夾角公式表示出余弦值，由平方關(guān)系求出二面角的正弦值，結(jié)合二次函數(shù)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又，且，所以平面，又平面，所?因?yàn)?，所以在中，，又，所以，由，且，得，取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA，BC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.則，，，，設(shè)，則，于是，所以，即.（2）因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，又由（1）知，，設(shè)平面DEF的法向量為，則，所以有取，得，，于是平面DEF的法向量為，所以，設(shè)平面與平面DEF所成的二面角為，則，故當(dāng)時(shí)，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值為.所以當(dāng)時(shí)，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最小.18．（浙江省金華十校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得；利用線面垂直判定可證得平面，由面面垂直的判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1），為中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，過(guò)作垂直于的直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量；二面角的大小為，，解得：；，.19．（慕華優(yōu)策聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.(1)求證：為直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）由平面平面證平面、，由幾何關(guān)系證，即可證平面、；（2）以P為原點(diǎn)PC，PD分別為x，y軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由向量法求得平面PAB及平面的法向量，即可求二面角的余弦值，最后求正弦值即可【詳解】（1）證明：在等腰梯形中，，，作，且為垂足，∴，，∴，∴，∴.又∵，面面，面面，面，∴面，又平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，∴，即△為直角三角形.（2）由（1）知，平面，平面，∴，∵，∴，，過(guò)A作于，面面，面面，面，則平面.在中，.以P為原點(diǎn)PC，PD分別為x，y軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.在平面PAB中，設(shè)其法向量為，，，則，令，解得，則，在平面中，設(shè)其法向量為，，.則，令，得，故，則，故求二面角的正弦值為.20．（新疆部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考（全國(guó)乙卷）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，平面平面ABCD，，E為CD的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，，求平面PBC與平面PAE所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取AD的中點(diǎn)F，連接PF，EF，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面ABCD，得，根據(jù)四邊形ABCD為菱形以及是三角形的中位線，推出，再根據(jù)線面垂直的判定推出平面PEF，從而可得；（2）記，過(guò)點(diǎn)O作，以O(shè)A，OB，OQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取AD的中點(diǎn)F，連接PF，EF.∵，∴.∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵四邊形ABCD為菱形，∴.∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點(diǎn)，∴，∴.∵，，，PF，平面PEF，∴平面PEF.又平面PEF，∴.（2）記，則.由（1）知，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，則，.過(guò)點(diǎn)O作，則OA，OB，OQ兩兩垂直.如圖，以O(shè)A，OB，OQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，，所以，所以，，所以，∴，，?設(shè)平面PAE的法向量為，由，令，則，，所以.設(shè)平面PBC的法向量為，由，令，則，，所以.設(shè)平面PBC與平面PAE所成銳二面角為，則，所以平面PBC與平面PAE所成銳二面角的余弦值為.21．（江西省金溪縣第一中學(xué)2023屆高三一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）先利用線面垂直判定定理證明平面，進(jìn)而證得；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法即可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又均為銳角，所以，因?yàn)?，所以，所以，又在長(zhǎng)方體中，平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有得，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，取，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.22．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱，頂點(diǎn)在平面上的射影為邊的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）先證明出面，利用面面垂直的判定定理即可證明；（2）以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解.【詳解】（1）因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正三角形，邊的中點(diǎn)，所以.因?yàn)轫旤c(diǎn)在平面上的射影為，所以平面,.因?yàn)槊?，面?所以面.所以面，所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正三角形，為邊的中點(diǎn)，所以.在直角三角形中，.所以，，，，.所以,.在三棱柱中，由，可求得：.同理求得：.所以，,.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量.因?yàn)椋?，不妨設(shè)，則.同理可求：.設(shè)為二面角的平面角，由圖可知：為銳角，所以.即二面角的余弦值為.23．（江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，已知直角梯形與，，，，，，G是線段上一點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面上平面，設(shè)平面與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)連接，連接，根據(jù)比例關(guān)系可以找到平面內(nèi)一條直線平行于平面外的一條直線.(2)根據(jù)已知條件可以建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，代入公式求出夾角的余弦值，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題即可求解.【詳解】（1）連接，連接，可知，即，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由題意可知，平面，平面，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，平面的法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，取，故，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.綜上，24．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（理）試題）在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的射影為棱的中點(diǎn)，且與底面所成角為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，且點(diǎn)為的中點(diǎn)【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：連接，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，則平面，平面，，，、平面，平面，平面，.（2）解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，所以，與底面所成的角為，則、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由已知可得，可得，，解得，即點(diǎn).因此，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為．25．（山東省青島市青島第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”

(如圖2)。(1)若O是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角的大小為求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取線段中點(diǎn)，連接、，可得四邊形是平行四邊形，然后線面平行的判定定理即得；（2）由題可得即為二面角的平面角，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面ABE和平面OAB的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角公式即得．【詳解】（1）取線段CF中點(diǎn)H，連接OH、GH，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點(diǎn)，∴且，在圖1中且，且．所以在圖2中，且，∴且，∴四邊形AOHG是平行四邊形，則，

由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．（2）由圖1，，，折起后在圖2中仍有，，∴即為二面角的平面角．∴，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則、、，∴，，易知平面ABE的一個(gè)法向量，設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量，由，得，取，則，，于是平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面ABE與平面OAB夾角的余弦值為．26．（江西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在正三棱柱中，，，分別是棱，的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面．(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)法向量垂直，即可求證，（2）根據(jù)平面法向量的夾角即可求解面面角.【詳解】（1）設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，，則，是等邊三角形，，又根據(jù)題意可得：平面平面，且交線為，又平面，平面，又平面，．又根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知：平面，平面，，平面，，，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，，設(shè)平面，平面的法向量分別為，所以取，則，取，則，所以，故，所以平面平面．（2）設(shè)平面的法向量分別為,則，取，則，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為27．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三下學(xué)期2月入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)（理科）試題）如圖，四邊形是菱形，，平面，，，設(shè)，連接，交于點(diǎn)，連接，.(1)試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面?若存在，請(qǐng)求出的值，并寫(xiě)出求解過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）依題意，可得平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，設(shè)，求出，，，欲使平面，只需，再列方程求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.【詳解】