吉林大學(xué)大一高數(shù)第五章第一節(jié)不定積分概念與性質(zhì)

第五章微分法:積分法:互逆運(yùn)算不定積分二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)第五章一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng),因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知求在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)牛頓第二定律,加速度定義1.若在區(qū)間I上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數(shù)有問(wèn)題:1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?定理1.

存在原函數(shù).(下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故即屬于函數(shù)族機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即定義2.在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為上的不定積分,其中—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;(P184)若則(C為任意常數(shù))C稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的積分曲線.例1.

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

質(zhì)點(diǎn)在距地面處以初速力,求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸,原點(diǎn)在地面,指向朝上,質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為初速為設(shè)時(shí)刻t

質(zhì)點(diǎn)所在位置為則(運(yùn)動(dòng)速度)(加速度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束垂直上拋,不計(jì)阻先由此求再由此求先求由知再求于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為由知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k為常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求解:原式=例4.求解:原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、不定積分的性質(zhì)推論:若則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.求解:原式=機(jī)動(dòng)禿目顆錄挑上頁(yè)影下粗頁(yè)咐返回價(jià)結(jié)撤束例6.求解:原式=例7.求解:原式=機(jī)動(dòng)蠅目爺錄絞上頁(yè)暗下父頁(yè)悔返回捏結(jié)郊束例8.求解:原式=機(jī)動(dòng)浴目鄰錄年上頁(yè)宴下協(xié)頁(yè)常返回狂結(jié)速束內(nèi)容汗小結(jié)1.不定壺積分使的概蕩念?原函邁數(shù)與運(yùn)不定秩積分炸的定更義?不定潮積分局的性燒質(zhì)?基本忍積分棉表(見(jiàn)P想18擇6)2.直接聽(tīng)積分甚法:利用恒等膚變形,及基本拆積分搏公式進(jìn)行士積分.常用羽恒等童變形笨方法分項(xiàng)殊積分加項(xiàng)系減項(xiàng)利用固三角勢(shì)公式,代數(shù)煤公式,積分信性質(zhì)機(jī)動(dòng)艇目債錄灶上頁(yè)游下茫頁(yè)獄返回角結(jié)抄束思考繩與練滾習(xí)1.證明2.若提示:機(jī)動(dòng)脖目悟錄地上頁(yè)應(yīng)下沖頁(yè)板返回路結(jié)予束提示:3.若是的原函擴(kuò)數(shù),則提示:已知機(jī)動(dòng)獲目褲錄袖上頁(yè)唐下疑頁(yè)離返回庸結(jié)從束4.若的導(dǎo)函呈數(shù)為則的一個(gè)策原函怒數(shù)是(杠)沖.提示:已知求即B??或由題意其原函屈數(shù)為機(jī)動(dòng)劉目廣錄必上頁(yè)頂下股頁(yè)枝返回用結(jié)貨束5.求下宅列積失分:提示:機(jī)動(dòng)宅目估錄旋上頁(yè)唇下佳頁(yè)圍返回欠結(jié)造束6.求不綁定積仁分解：機(jī)動(dòng)心目禁錄己上頁(yè)風(fēng)下降頁(yè)蟻返回疲結(jié)抬束作跡業(yè)P1收881(2暈),(6屈),(9隙),(1展3),(1差6),(1告8),(1酷9);2荷