第11講圖形思想課-圖形的相似-2022年八升九數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)精講精練（蘇科版）（解析版）

圖形思想課--圖形的相似知識(shí)梳理（一）比例的性質(zhì)1.比例中項(xiàng)；2.合分比性質(zhì)；3.等比性質(zhì)（二）平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理1.兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的線(xiàn)段成比例。2.如右圖所示，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例的有：EQ\F(AB,BC)=eq\f(DE,EF)，EQ\F(AB,AC)=\F(DE,DF)，\F(AB,DE)=\F(AC,DF)，等等。3.所得的線(xiàn)段必須是對(duì)應(yīng)的，否則不成比例。4.平行線(xiàn)段分線(xiàn)段成比例定理的常見(jiàn)變形如下圖所示： （三）平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。1.一定要注意三邊的對(duì)應(yīng)的關(guān)系，不要寫(xiě)錯(cuò)2.平行于三角形的一邊的直線(xiàn)可以與三角形的兩邊相交，也可以與三角形的兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，如下圖所示，若DE∥BC，則有EQ\F(ＡＤ,ＡＢ)＝\F(ＡＥ,ＡＣ)，\F(ＡＤ,ＤＢ)＝\F(ＡＥ,ＥＣ)，\F(ＤＢ,ＡＢ)＝\F(ＥＣ,ＡＣ)（四）相似三角的判定方法1、如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．2、如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．3、如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．（五）相似三角形基本類(lèi)型1、平行線(xiàn)型：常見(jiàn)的有如下兩種，DE∥BC，則△ADE∽△ABC2、相交線(xiàn)型：常見(jiàn)的有如下四種情形（1）如圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADE∽△ABC（2）如下左圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADC∽△ACB（3）如下右圖，已知∠B=∠D，則由對(duì)頂角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC3、旋轉(zhuǎn)型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，下圖為常見(jiàn)的基本圖形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，則△CBD∽△ABC∽△ACD．5、斜交型：如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱(chēng)為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）6、垂直型：有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱(chēng)“射影定理型”）”“三垂直型”）（六）黃金分割（七）相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比.3、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.4、相似三角形面積的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似測(cè)量高度方法1、利用陽(yáng)光下的影子測(cè)量物高根據(jù)太陽(yáng)光線(xiàn)是平行的，尋找相似三角形.在同一時(shí)刻，EQ\F(被測(cè)量物體的實(shí)際高度,被測(cè)量物體的影長(zhǎng))=\F(某物體的實(shí)際高度,某物體的影長(zhǎng))2、利用標(biāo)桿測(cè)量物高3、利用鏡子原理測(cè)量物高（九）圖形的位似1、位似圖形的定義2、圖形位似的性質(zhì)01.成比例線(xiàn)段與平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例01.成比例線(xiàn)段與平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例例題精講 例題精講例1、已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【解析】（1）∵==，∴令===k，則x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3（舍去），∴x=﹣2．例2、如圖，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求證：+=．【解析】∵AC∥BD，EF∥BD，∴，，∴==1，∴+=．02.三角形相似的條件02.三角形相似的條件例題精講 例題精講例1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】有三對(duì)相似三角形，Rt△ABE∽R(shí)t△DEF，Rt△ABE∽R(shí)t△EBF，Rt△EBF∽R(shí)t△DEF．理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，在Rt△BCF中，BF==5a，在Rt△ABE中，BE==2a，在Rt△DEF中，EF==a，∵BE2+EF2=BF2，∴△BEF為直角三角形，∠BEF=90°，∵==2，==2，∴=，∴Rt△ABE∽R(shí)t△DEF，同理得=，∴Rt△ABE∽R(shí)t△EBF，∴Rt△EBF∽R(shí)t△DEF．故選：C．例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0≤t≤6），那么當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABD相似？說(shuō)明理由．【解析】設(shè)AP=2tcm，DQ=tcm，∵AB=12cm，AD=6cm，∴AQ=（6﹣t）cm，∵∠A=∠A，∴①當(dāng)=時(shí)，△APQ∽△ABD，∴=，解得：t=3；②當(dāng)=時(shí)，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2．∴當(dāng)t=3或1.2時(shí)，△APQ與△ABD相似．03.利用三角形相似測(cè)高距03.利用三角形相似測(cè)高距例題精講 例題精講例1、如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹(shù)的樹(shù)高，下午課外活動(dòng)時(shí)她測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.8m，但當(dāng)她馬上測(cè)量樹(shù)高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），他先測(cè)得留在墻壁上的影高為1.2m，又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m，請(qǐng)你幫她算一下，樹(shù)高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m【解析】如圖，設(shè)BD是BC在地面的影子，樹(shù)高為x，根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹(shù)高與其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴樹(shù)在地面的實(shí)際影子長(zhǎng)是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高與其影子的比值和樹(shù)高與其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴樹(shù)高是4.45m．故選C．例2、如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處，在G處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線(xiàn)上；從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處，在H處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線(xiàn)上，求建筑物的高．【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴=，=，∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，F(xiàn)H=4m，∴=，=，∴=，解得BD=52，∴=，解得AB=54．答：建筑物的高為54米．04.相似三角形的性質(zhì)及位似04.相似三角形的性質(zhì)及位似例題精講 例題精講例1、一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．且矩形的長(zhǎng)與寬的比為3：2，求這個(gè)矩形零件的邊長(zhǎng)．【解析】如圖所示∵四邊形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，∴，由于矩形長(zhǎng)與寬的比為3：2，∴分兩種情況：①若PQ為長(zhǎng)，PN為寬，設(shè)PQ=3k，PN=2k，則，解得：k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN為6，PQ為寬，設(shè)PN=3k，PQ=2k，則，解得：k=，∴PN=cm，PQ=cm；綜上所述：矩形的長(zhǎng)為6cm，寬為4cm；或長(zhǎng)為cm，寬為cm．例2、△ABC經(jīng)過(guò)一定的運(yùn)動(dòng)得到△A1B1C1，然后以點(diǎn)A1為位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大為△A1B2C2，如果△ABC上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），那么這個(gè)點(diǎn)在△A1B2C2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（）A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）【解析】△A1B1C1是由△ABC通過(guò)平移得到的，其平移規(guī)律是右移三個(gè)單位后，再上移2個(gè)單位，所以點(diǎn)P移到P1的坐標(biāo)為（a+3，b+2）．△A1B2C2是由三角線(xiàn)A1B1C1通過(guò)位似變換得到的，所以在△A1B2C2上的各點(diǎn)坐標(biāo)，都做了相應(yīng)的位似變換，即乘以了2．∴點(diǎn)P1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2a+6，2b+4）．故選C．舉一反三 舉一反三1、已知，則的值是（）A． B． C． D．【解析】D．2、如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E，使得ED=EC，ED與AC交于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．【解析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交EB于點(diǎn)G，連接AD，如圖所示：∵D為BC中點(diǎn)，DG∥AC，∴G為AB的中點(diǎn)，∠EAC=∠DGE，∴DG是△ABC的中位線(xiàn)，∴AC=2DG，∵AB=AC，ED=EC，∴∠B=∠ACB，∠EDC=∠ECD，∵∠EDC=∠B+∠DEG，∠ECD=∠ACB+∠ACE，∴∠ACE=∠EDG，在△ACE和△GED中，，∴△ACE≌△GED（AAS），∴AE=DG，∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴DG=AB=AG=BG，∴AE=AG，∵DG∥AC，∴AF：DG=AE：GE=1：2，即DG=2AF，∴AC=4AF，∴=；故選：B．3、如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】設(shè)AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，當(dāng)△PDA∽△CPB時(shí)，=，即=，解得：x=1或x=6，當(dāng)△PDA∽△PCB時(shí)，=，即=，解得：x=，則這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)，故選C．4、如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【解析】B．5、已知，如圖所示的一張三角形紙片ABC，邊AB的長(zhǎng)為20cm，AB邊上的高為25cm，在三角形紙片ABC中從下往上依次裁剪去寬為4cm的矩形紙條，若剪得的其中一張紙條是正方形，那么這張正方形紙條是（）A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張【解析】正方形中平行于底邊的邊是4，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設(shè)從頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的線(xiàn)段為x，則=，解得x=5，所以另一段長(zhǎng)為25﹣5=20，因?yàn)?0÷4=5，所以是第5張．故選：B．6、如圖，直線(xiàn)l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于點(diǎn)D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則的值為（）A． B． C． D．【解析】如圖，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故選A．7、如圖所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá)點(diǎn)B，C），過(guò)點(diǎn)D作∠ADE=45°，DE交AC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【解析】（1）∠B=∠C=45°．∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）討論：①若AD=AE時(shí)，∠DAE=90°，此時(shí)D點(diǎn)與點(diǎn)B重合，不合題意．②若AD=DE時(shí)，△ABD與△DCE的相似比為1，此時(shí)△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此時(shí)∠DAE=∠ADE=45°，如下圖所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三線(xiàn)合一可知：AE=CE=AC=1．8、如圖，為了測(cè)量路燈S的高度，把一根1.5m長(zhǎng)的竹竿AB豎立在地面上，測(cè)得竹竿的影長(zhǎng)BC為1m，然后拿著竹竿沿DB方向遠(yuǎn)離路燈方向走了4米到B′，再把竹竿豎立在地面上（即A′B′），測(cè)得竹竿的影長(zhǎng)為1.8m，求路燈的高度．【解析】∵AB⊥DC′，DS⊥DC′，∴SD∥AB，∴△ABC∽△SDC，∴=，即=，解得DB=h﹣1①，同理，∵A′B′⊥DC′，∴△A′B′C′∽△SDC′，∴=，=②，把①代入②得，=，解得：h=9．答：路燈離地面的高度是9米．課后鞏固 課后鞏固1、如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）【解析】∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2），故選：A．2、如圖，AC∥BD，AD與BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)F，則下列各式錯(cuò)誤的是（）A．= B．= C．+=1 D．=【解析】D．3、為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，小明要在書(shū)房里掛一張視力表．由于書(shū)房空間狹小，他想根據(jù)測(cè)試距離為5m的大視力表制作一個(gè)測(cè)試距離為3m的小視力表．如圖，如果大視力表中“E”的高度是3.5cm，那么小視力表中相應(yīng)“E”的高度是（）A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm【解析】D．4、如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿(mǎn)足下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=【解析】C．5、2015年6月27日，四川共青圖雨城區(qū)委在中里鎮(zhèn)文化館舉辦了第二期青年剪紙培訓(xùn)，參加培訓(xùn)的小王想把一塊Rt△ABC廢紙片剪去一塊矩形BDEF紙片，如圖所示，若∠C=30°，AB=10cm，則該矩形BDEF的面積最大為（）A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3【解析】∵Rt△ABC中，∠C=30°，AB=10cm，∴BC==10cm．∵EF∥BC，∴∠AEF=∠C=30°，設(shè)EF=x，則AF=x，∴BF=10﹣x，∴S矩形BDEF=BD?BF=x?（10﹣x）=﹣x2+10x（0＜x＜10），∴當(dāng)x=﹣=5時(shí)，S最大==25cm2．故選D．6、興趣小組的同學(xué)要測(cè)量樹(shù)的高度．在陽(yáng)光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為l米的竹竿的影長(zhǎng)為0.5米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹(shù)的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長(zhǎng)為0.2米，一級(jí)臺(tái)階高為0.3米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為4.4米，則樹(shù)高為（）A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米【解析】根據(jù)題意可構(gòu)造相似三角形模型如圖：延長(zhǎng)FE交AB于G，則Rt△ABC∽R(shí)t△AGF，∴AG：GF=AB：BC=物高：影長(zhǎng)=1：0.5∴GF=0.5AG又∵GF=GE+EF，BD=GE∴GF=4.6∴AG=9.2∴AB=AG+GB=9.5，即樹(shù)高為9.5米．故選A．7、如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，以△QBC與△ABC相似，則AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，∵∠PBQ=∠ABC，∴當(dāng)=時(shí)，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；當(dāng)=時(shí)，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；即經(jīng)過(guò)2秒或0.8秒時(shí)，△QBC與△ABC相似．8、如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線(xiàn)上，已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹(shù)高AB．【解析】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即樹(shù)高5.5m．直擊中考 直擊中考1、如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（）A． B． C． D．【