2021屆湖南省長(zhǎng)沙市某中學(xué)高三上學(xué)期月考(一)數(shù)學(xué)試題(解析版)

絕密★啟用前數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．已知集合，.則（）A． B． C． D．答案：C解：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)，再利用交集的運(yùn)算求解即可.解：由題意得，，因?yàn)?，所以，故選：C.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及集合交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D解：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.解：，則，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，在第四象限，故選：D.點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的確定，考查了復(fù)數(shù)的除法法則以及共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．已知且，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．答案：C解：∵且，∴．∴．選C．4．在中，，，則（）A． B．C． D．答案：A解：直接利用平面向量線性運(yùn)算法則求解即可,解：，故選：A.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量線性運(yùn)算法則，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．設(shè)函數(shù)，則“函數(shù)在上存在零點(diǎn)”是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B解：由函數(shù)基本初等函數(shù)的單調(diào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則，，即可求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；解：解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則，，解得，故“函數(shù)在上存在零點(diǎn)”是“”的必要不分條件.故選：B.點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)及充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（）A． B． C． D．答案：D解：設(shè)，分別表示出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象比較大小.解：設(shè)，，則，，，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)，，的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選:D.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的圖象比較大小，構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象是關(guān)鍵.7．已知，則函數(shù)的最小值為（）A．-5 B．-3 C． D．-1答案：A解：由可求出值，再將化為關(guān)于的二次函數(shù)，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.解：由，有，解得，故，故當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：A.點(diǎn)評(píng)：本題考查分式型三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及關(guān)于二次型三角函數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.8．設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在，上的值域?yàn)?，，則的取值范圍是A． B． C． D．答案：C解：判斷的單調(diào)性得出在，上有兩解，作出函數(shù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)的意義求出的范圍．解：解：，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，在，上單調(diào)遞增，，，，在，上單調(diào)遞增，在，上的值域?yàn)?，，，方程在，上有兩解，．作出與直線的函數(shù)圖象，則兩圖象有兩交點(diǎn)．若直線過點(diǎn)，，則，若直線與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得．，故選：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．二、多選題9．下列命題中正確的是（）A．， B．，C．， D．，答案：BD解：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用換底公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；取可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，恒成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，D正確.故選：BD.點(diǎn)評(píng)：本題考查全稱命題和特稱命題正誤的判斷，考查了指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.10．已知數(shù)列前項(xiàng)和為.且，（為非零常數(shù)）測(cè)下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．答案：AC解：由和等比數(shù)列的定義，判斷出A正確；利用等比數(shù)列的求和公式判斷B錯(cuò)誤；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算得出C正確，D不正確．解：由，得.時(shí)，，相減可得，又，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故A正確；由A可得時(shí)，，故B錯(cuò)誤；由A可得等價(jià)為，可得，故C正確；，，則，即D不正確；故選：AC.點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．11．已知函數(shù)滿足：對(duì)于定義域中任意，在定義城中總存在，使得成立.下列函數(shù)中，滿足上述條件的函數(shù)是（）A． B． C． D．答案：ACD解：由題意轉(zhuǎn)化條件為函數(shù)的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，逐項(xiàng)判斷即可得解.解：由題意可得函數(shù)的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于A，函數(shù)的值域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的值域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的值域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的值域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意；故選：ACD.點(diǎn)評(píng)：本題考查了常見函數(shù)值域的求解，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.12．下圖是函數(shù)（其中，，）的部分圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為答案：ABD解：根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)正誤.解：由已知，，，因此，∴，所以，過點(diǎn)，因此，，又，所以，∴，對(duì)A，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)C，由，有，故C不正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，所以與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)令橫坐標(biāo)為，，，，，故D正確.故選：ABD.點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式，以及分析正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題13．已知向量、滿足，，若，則向量與的夾角為______.答案：解：設(shè)向量與的夾角為，由已知條件得出，可求得的取值范圍，結(jié)合角的取值范圍可得出的值.解：，，可得，則，又，故.故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用平面向量的數(shù)量積求向量的夾角，同時(shí)也考查了平面向量垂直的數(shù)量積表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．若，則的最小值是___________.答案：解：根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式利用1的代換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．解：解：，，得，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的應(yīng)用，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得到等式條件，結(jié)合1的代換是解決本題的關(guān)鍵．15．《易經(jīng)》中記載著一種幾何圖形一一八封圖，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，去測(cè)量當(dāng)?shù)匕素蕴锏拿娣e如圖，現(xiàn)測(cè)得正八邊形的邊長(zhǎng)為，代表陰陽(yáng)太極圖的圓的半徑為，則每塊八卦田的面積為___________.答案：解：由圖可知，正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形，頂角為，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，利用正弦定理可求出的值，再利用三角形的面積公式求解即可.解：由圖可知，正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形，頂角為，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積，則每塊八卦田的面積為.故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和三角形的面積公式.屬于較易題.16．已知數(shù)列滿足，則前48項(xiàng)之和為___________.答案：1176解：先寫出前幾項(xiàng)與的關(guān)系，觀察找規(guī)律發(fā)現(xiàn)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和為2，偶數(shù)項(xiàng)中，每隔一項(xiàng)構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求值，代入求解前48項(xiàng)之和即可.解：由，則，，，，，，，…可知相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和為2，偶數(shù)項(xiàng)中，每隔一項(xiàng)構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求值.因，，而，，所以數(shù)列前48項(xiàng)之和為.故答案為：1176.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列求和的問題.屬于中檔題.四、解答題17．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題①；②的面積為；③.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.在已知，為鈍角，.（1）求邊的長(zhǎng)；（2）求的值.答案：選擇條件見解析；（1）；（2）.解：（1）方案一：選擇條件①，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)可求，進(jìn)而可求，，然后結(jié)合余弦定理可求；方案二：選擇條件②：由已知即可直接求出，，然后結(jié)合余弦定理可求；方案三：選擇條件③，由已知結(jié)合三角形的面積公式可求，進(jìn)而可求，，然后結(jié)合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求，然后結(jié)合同角平方關(guān)系及二倍角公式，和差角公式即可求解．解：方案一：選擇條件①（1）由，解得，為鈍角，，，則，故；（2），∴，∴，，∴；方案二：選擇條件②（1），，∴，由，解得，則，故；（2），∴，∴，，∴；方案三：選擇條件③：（1）為鈍角，，，，，由，解得，，則，故；（2），∴，∴，，∴.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔試題．18．已知是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）解不等式；（3）記，若對(duì)任意的成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：（1）；（2）或；（3）.解：（1）利用偶函數(shù)的定義求解；（2）先分析原函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合奇偶性解不等式；（3）先寫出函數(shù)，然后將轉(zhuǎn)化為，即恒成立，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題求解.解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則；（2），，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，∴，兩邊平方可得，解得或；故不等式的解集為或；（3），問題即為恒成立，顯然，首先對(duì)任意成立，即，因?yàn)椋瑒t，所以，其次，，即為，即成立，亦即成立，因?yàn)?，所以?duì)于任意成立，即所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題，其中函數(shù)與不等式的結(jié)合求參問題是難點(diǎn)，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力.19．已知正項(xiàng)等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍.答案：（1），；（2）.解：（1）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由得，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解；（2）由（1）可得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和“裂項(xiàng)法”求得，得到，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求解.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或，由已知，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由得，，可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以，因?yàn)椋?，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，則，則的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用、以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“裂項(xiàng)”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)數(shù)列剩余的項(xiàng)數(shù)導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.20．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且相鄰?fù)瑢?duì)稱軸間的距離為.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.解：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)條件，可求出周期和，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，求出，再用整體代入法求出內(nèi)的遞減區(qū)間；（2）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求出的解析式，再利用正弦函數(shù)定義域，即可求出時(shí)的值域.解：（1），因?yàn)橄噜弮蓪?duì)稱軸間的距離為，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，，，因?yàn)?，所以，函?shù)為，時(shí)，，單調(diào)遞減，需滿足，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由題意可得：，∵，∴，∴，，即函數(shù)的值域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性和值域，包括周期性，奇偶性，單調(diào)性和最值，還涉及三角函數(shù)圖像的平移伸縮和三角恒等變換中的輔助角公式.21．節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境是中國(guó)的基本國(guó)策．某化工企業(yè)，積極響應(yīng)國(guó)家要求，探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為．設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，則第次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量，可由函數(shù)模型給出，其中是指改良工藝的次數(shù)．（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型；（2）依據(jù)國(guó)家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過，試問至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)．（參考數(shù)據(jù)：取答案：（1）；（2）6次.解：（1）由題意得，，所以當(dāng)時(shí)，，解得，所以，（2）由題意可得，，即，解不等式，即可解，所以至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)．解：解：（1）由題意得，，所以當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以，故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為；（2）由題意可得，，整理得，，即，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，整理得，將代入，得，又因?yàn)?，所以，綜上，至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，屬于中檔題．22．已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）.解：（1）由題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得