人教版初中九年級數(shù)學上冊知識點筆記總結(jié)

人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)一

知識點一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知一元，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二)的方程，叫做元二次方程。注意一下幾點：只有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式一般形式：+bx+c=≠0).中，ax

是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項b一次項系數(shù)c是常數(shù)項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解叫一元二次方程的根程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。降22.2.1配方知識點一直接開平方法解一元二次方程(1)如果方程的一邊可以化成含知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x=a(a≥的程，根據(jù)平方根定義可解得a,x=a.(2)直接開平方法適用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)式的方程，如果p≥，可以利用直接開平方法。(3)用直接開平方法求一元二次程的根正確運用平方根的性質(zhì)即數(shù)的平方根有兩個它互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。(4)直接開平方法解一元二次方的步驟是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)1③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法做方法配的目的是降次把個一元次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。(1)把常數(shù)項移到等號的右邊(2)程兩邊都除以二次項系數(shù)；(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)半的平方，把左邊配成完全平方式；(4)若等號右邊為非負數(shù)，直接平方求出方程的解。22.2.2公式知識點一公式法解一元二次方程(1)一般地于元二次方程ax+bx+c=0(a0)果b-4ac0么方程的兩個根為x=

b

ac

，2這個公式叫做一元二次方程的求根公式用求根公式們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。(2)一元二次方程求根公式的推過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程a+bx+c=0(a0)的過程。(3)公式法解一元二次方程的具步驟：①方程化為一般形式ax+bx+c=0(a≠0)一般化為值；②確定公式中a,b,c的值注意符號；③求出的值；④若b-4ac≥，把a,b,c和b-4ac的值入公式即可求解，若b-4ac＜0，則方程無實數(shù)根。知識點二一元二次方程根的判別式式子b叫方程ax+bx+c=0(a0)的判別式，通常用希臘字母eq\o\ac(△,表)eq\o\ac(△,)示，即eq\o\ac(△,=b)eq\o\ac(△,)△＞0，方程+bx+c=0(a≠有兩個不相等的實數(shù)根一元二次方程eq\o\ac(△,=0)eq\o\ac(△,)，程ax+bx+c=0(a0)有兩個相等的實數(shù)根根的判別式△＜0，方程+bx+c=0(a≠無實數(shù)根

-4ac.22.2．因分解法知識點一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一邊化為，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉(zhuǎn)化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。第1頁

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人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)(2)因式分解法的詳細步驟：①移，將所有的項都移到左邊，右邊化為0②把程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令一個因式分別為零，得到一元一次方程；④解元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據(jù)

適用范圍直接開平方法平根的意義形如x=p或mx+n)=p(p≥配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法

所有一元二次方程因式分解法當ab=0，則或b=0一為，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元次方程。22.2.4一元次方程的根與系的關(guān)系若一元二次方程x+px+q=0的個根為,有x+x=-p,xx=q.若一元二次方程a≠0)兩個實數(shù)根,x,則有x+x=

bc,xa實知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：(1)審：是指讀懂題目，弄清題，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。(2)設：是指設元，也就是設出知數(shù)。(3)列就列方程這關(guān)鍵步一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義后代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。(4)解：就是解方程，求出未知的值。(5)驗：是指檢驗方程的解是否證實際問題有意義，符合題意。(6)答：寫出答案。知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型(1)數(shù)字問題三個連續(xù)整數(shù)：若設中間的一個數(shù)為，則另兩個數(shù)分別為x-1x+1。三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))：若中間的個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個三位數(shù)是100a+10b+c.(2)增長率問題設初始量為a量b增長率或平均降低率為x過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系)=b。(3)利潤問題利潤問題常用的相等關(guān)系式有①總利=總銷售-總成本②總利潤單位利潤×總銷售量③成本×利潤率(4)圖形的面積問題根據(jù)圖形的面積與圖形的邊高相關(guān)元素的關(guān)系將形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來立元二次方程。二函知點納1.表達式：①一般式：

（a②點式：

y

（）③交點式：=x–)(–)（≠）2.頂點坐標：①（

b4，）②hk2

）3.頂點意義：①當

x

b2

44ac時，a，有小值為；a，有最大值為4aa

2②當時ay有小值為k

；a，有大為k4.的義：

a

，圖象開口向上；

a0

，圖象開口向下；1

2

兩函數(shù)圖象大小形狀相同.（即

相等的拋物線為全等型拋物線）第2頁

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112人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)1125.對稱軸：①

x

b；②x；12

（其中x、x為拋線上對稱點的橫坐標）6.對稱軸位置分析：①b，稱軸為y

軸；②ab，即a、b異號，對稱軸在

軸的右側(cè)；③

，即、同，對稱軸在y

軸的左側(cè)左同異）7.增減性：①

，

x

bb（或x＞），隨x的大而增大；x2a

（或＜），

y

隨

的增大而減小；②a，而增大

bb（或x＞）時，隨x的大而減小；（＜）時，y隨的大2a8.拋線

y

bx

與的交點為0，

值為物線在y軸上的截距9.拋物線與x軸交點：

2ac時拋物線與x軸有一個交；②

時，拋物線與x軸有兩個交點；③

2ac

時，拋物線與沒有交.10.圖象的平移：化成頂點式

，上加下減：k；左加右減：11．設拋物線與x軸交A、兩，則AB

a

或

ABx()21

x12．拋物線上重要的點：拋物線x軸軸交點坐標，以及點坐標解題中經(jīng)常會用到，所以同學們應能熟練地由解析式求這些點的坐標.13．二次函數(shù)與一元二次方程根分布：①若拋物線與x軸的兩個交點在正半軸上，則1xa②若拋物線與x軸的兩個交點在負半軸上，則1xa

；；ac③若拋物線與x軸的兩個交點分別在正、負兩半軸上，則cxa④若拋物線與x軸的兩個交點只有一個點在<<n范圍內(nèi)，則f)·()<014．拋物線的變換：第3頁

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人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)①關(guān)于x軸對：

y

2代入x,–）y2

②關(guān)于y軸對：

y代入–x,）③關(guān)于原點對稱：

y

2代入–x,–）y2

④關(guān)于頂點對稱：

關(guān)于（,）對稱

15．拋物線

y

2

與直線y=+的置關(guān)系：兩式消掉，

ax2x，)(c

，①

＞相，兩解析式組成的方程組的解即為圖象交點坐標；②0離；③相切16．二次函數(shù)與二次不等式：若拋物線

y

2

bx

與x軸交（,0＞0時

ax

2

bx

解集為x＜或＞；

ax

2

bx

時，解集為＜＜；①＜，

ax

2

解集為x＜＜；2

時，解集為x＜x＞

y17．二次函數(shù)與一次函數(shù)值的比：如圖：＜或＞時二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值；x＜＜時，二次函數(shù)小于一次函數(shù)值.

x

1

O

x2

x知識點一旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，O叫旋中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識點二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的特征：(1)對應點到旋轉(zhuǎn)心的距離相等(2)應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點：（）圖中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度對點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等應線段相等，對應角相等(3)圖的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)任一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角對點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角作旋轉(zhuǎn))③截即在角的另一邊上截取關(guān)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離到點的對應點；④即連接到連接的各點。中知識點一中心對稱的定義中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點：中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)1°個圖形能夠全重合。知識點二作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱中心的對點后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點三中心對稱的性質(zhì)第4頁

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人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)有以下幾點：(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形上對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形能互相重合，是全等形；(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，應線段平或共)且相等。知識點四中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五關(guān)于原點對稱的點的坐標在平面直角坐標系中果個關(guān)于原點對稱們的坐標符號相反點p(x,y)關(guān)原點對點(-x,-y)圓24.1.1圓知識點一圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)周，另一個端點A所形的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線叫作徑。第二種：圓心為O，半徑為r的可以看成是所有到定點的距離等于定長r的點集合。比較圓的兩種定義可知第一種義是圓的形成進行描述的二種是運用集合的觀點下的定義但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關(guān)概念(1)弦：連接圓上任意兩點的線叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。(2)?。簣A上任意兩點間的部分做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。(3)等圓：等夠重合的兩個圓叫等圓。(4)等弧：在同圓或等圓中，能互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2垂直弦的直徑知識點一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二垂徑定理(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑C，是弦且⊥AB，AM=BM垂足為MAC=BCAD=BD垂徑定理的推論：平分弦(不是的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑與非徑AB相于點MCD⊥AM=BMAC=BCAD=BD

CMABD注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，則結(jié)論不成立。24.1.3弧、、圓心角知識點弦、、圓心角的關(guān)系(1)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。(2)在同圓或等圓中，如果兩個心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。(3)注意不能忽略同圓或等圓這前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24.1.4圓周知識點一圓周角定理(1)圓周角定理：在同圓或等圓，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。(2)圓周角定理的推論：半(或所對的圓周角是直角90°的圓周角所對弦是直徑。(3)圓周角定理揭示了同弧或等所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系弧或等弧”是不能改為同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。第5頁

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人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)知識點二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形這圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。點24.2.1點和的位置關(guān)系知識點一點與圓的位置關(guān)系(1)點與圓的位置關(guān)系有：點在外，點在圓上，點在圓內(nèi)三種。(2)用數(shù)量關(guān)系表示：若設O的徑是，點圓的距離OP=d，有：點P在外d＞；點p在上d=r點在內(nèi)d＜。知識點二過已知點作圓(1)經(jīng)過一個點的圓(如點A)以的任意一如點O)為圓心，以OA為徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。·

A··(2)經(jīng)過兩點的圓(如點A、以段AB的垂直平分線上的任意一(如點O)為圓心，以OA(或OB)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。AB(3)經(jīng)過三點的圓①經(jīng)在同一條直線上的三個點不能作圓②不同一條直線上的三個點確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只作一個圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個點AC作作法連ABBC(或ABAC或BCAC)并作它們垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，點O為圓，以或OB的長為半徑作圓即可，如圖，這樣圓只能作一個。③

AOB

C知識點三三角形的外接圓與外心(1)經(jīng)過三角形三個頂點可以作個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。(2)外接圓的圓心是三角形三條的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四反證法(1)反證法：假設命題的結(jié)論不立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。(2)反證法的一般步驟：①假命題的結(jié)論不成立；②從設出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)；③由盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。24.2.2直線圓的位置關(guān)系知識點一直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系有：相、相切、相離三種。第6頁

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正人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)正(2)直線與圓的位置關(guān)系可以用量關(guān)系表示若設⊙的徑是r，直線l與心0的離為d則有：直線l和⊙相d＜r直線l和O相切d；直線l和O相d＞r。知識點二切線的判定和性質(zhì)(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線直于過切點的半徑。(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識點三切線長定理(1)切線長的定義：經(jīng)過園外一作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。(2)切線長定理：從圓外一點可引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。(3)注意：切線和切線長是兩個全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角形叫做圓的切三角形。(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內(nèi)心已知時，過三角形頂點和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。24.2.3圓和的位置關(guān)系知識點一圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種：①如兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；②如兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；③如兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。(2)圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)關(guān)系來表示：若設兩圓圓心之間的距離為d，圓的半徑分別是r且＜，則兩圓外離d＞+r；圓外切d=r+r；兩相交r-r＜＜+r；兩圓內(nèi)切d=r-r；圓內(nèi)含＜r知識點一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n(n大于自然數(shù)等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二正多邊形的性質(zhì)(1)正n邊的徑和邊心距把正多邊形分成2n個全的直角三角形。(2)所有的正多邊形都是軸對稱形，每個正n邊共有條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形中心；當正n邊的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n形也是中心對稱圖形，正n邊的中心就是對稱中心。(3)正n邊的一個內(nèi)角等于

(n2)n

360，中心角和外角相等，等于。n弧n

知識點一弧長公式l=180在半徑為R的中360°的圓角所對的弧長就是圓的周長πR，所以n°的心角所對的弧長的計算公式l=

n×πR=。360180知識點二扇形面積公式第7頁

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人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結(jié)在半徑為R的中360°的圓角所對的扇形面積就是圓的面積S=R，以心角為n°的扇形的面積為

=

n2360

。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：S=

nn111所lR36018022扇形2知識點三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面沿著圓錐一條母線將圓錐的側(cè)面展開容易得到圓錐的側(cè)面展開圖是一扇形圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，么這個扇形的半徑為，扇形的弧長為2r因此圓錐的側(cè)面積

圓錐側(cè)

12

。圓錐的全面積為

s圓錐圓錐

。隨25.1.1隨機件知識點一必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下，有些事件必