解三角形-2-高考真題復(fù)習(xí)-高考復(fù)習(xí)課件

§4.4解三角形高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?考點一正、余弦定理1.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,7,5分)在△ABC中,cos

=

,BC=1,AC=5,則AB=

()A.4

B.

C.

D.2

五年高考A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組答案

A本題考查半角公式和余弦定理.∵cosC=2cos2

-1=2×

-1=-

,BC=1,AC=5,∴AB=

=

=4

.故選A.易錯警示利用余弦定理求解時,誤認(rèn)為cosC的值為

而錯選D.2.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=

,c=2,cosA=

,則b=

()A.

B.

C.2

D.3答案

D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA,∵cosA=

,∴3b2-8b-3=0,∴b=3

.故選D.評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了方程的思想方法.3.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cos

C)=0,a=2,c=

,則C=

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式.在△ABC中,sinB=sin(A+C),則sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=

π.由

=

得

=

,∴sinC=

,又0<C<

,∴C=

,故選B.方法總結(jié)解三角形問題首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次還要注意應(yīng)用三角形內(nèi)角和

定理,以達(dá)到求解三角函數(shù)值時消元的目的,例如本題中sinB=sin(A+C)的應(yīng)用.4.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin

BsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為

.答案

解析本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用以及三角形面積的求解.由已知條件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinA·sinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=

,又b2+c2-a2=8,∴cosA=

=

,∴cosA>0,∴cosA=

,即

=

,∴bc=

,∴△ABC的面積S=

bcsinA=

×

×

=

.解題關(guān)鍵正確利用正弦定理將“邊”轉(zhuǎn)化為“角”,求出sinA是解決本題的關(guān)鍵.5.(2017課標(biāo)全國Ⅲ,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=

,c=3,則A=

.答案75°解析由正弦定理得

=

,∴sinB=

,又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.易錯警示本題求得sinB=

后,要注意利用b<c確定B=45°,從而求得A=75°.6.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=

,cosC=

,a=1,則b=

.答案

解析由cosC=

,0<C<π,得sinC=

.由cosA=

,0<A<π,得sinA=

.所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=

,根據(jù)正弦定理得b=

=

.評析本題考查了正弦定理的應(yīng)用及運算求解能力.7.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,

則B=

.答案

解析由正弦定理及三角形的內(nèi)角和定理或余弦定理可得.解法一:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB?cosB=

?B=

.解法二:由余弦定理可得2b·cosB=a·

+c·

,所以2bcosB=b,故cosB=

.又B為△ABC的內(nèi)角,故B=

.名師點睛解三角形問題,多為邊或角的求值問題,這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件

靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟:第一步:定條件,即確定三角形中的已知和所求,在圖形中標(biāo)出來,然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步:定工具,即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實現(xiàn)邊角之間的互化.第三步:求結(jié)果.8.(2014大綱全國,18,12分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acosC=2ccosA,

tanA=

,求B.解析由題設(shè)和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA.故3tanAcosC=2sinC,因為tanA=

,所以cosC=2sinC,tanC=

.

(6分)所以tanB=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=

(10分)=-1,即B=135°.

(12分)評析本題著重考查正弦定理及運用三角公式進(jìn)行三角恒等變換等知識,要求有較強(qiáng)的運算

變形能力.9.(2015課標(biāo)Ⅰ,17,12分,0.452)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)設(shè)B=90°,且a=

,求△ABC的面積.解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=

=

.

(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因為B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=

.所以△ABC的面積為1.

(12分)評析本題考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,屬容易題.考點二解三角形及其應(yīng)用1.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為

,則C=

()A.

B.

C.

D.

答案

C因為a2+b2-c2=2abcosC,且S△ABC=

,所以S△ABC=

=

absinC,所以tanC=1,又C∈(0,π),所以C=

.故選C.2.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=

,BC邊上的高等于

BC,則sinA=

()A.

B.

C.

D.

答案

D解法一:過A作AD⊥BC于D,設(shè)BC=a,由已知得AD=

,∵B=

,∴AD=BD,∠BAD=

,∴BD=

,DC=

a,tan∠DAC=

=2.

∴tan∠BAC=tan

=

=

=-3.cos2∠BAC=

=

,sin∠BAC=

=

.故選D.解法二:過A作AD⊥BC于D,設(shè)BC=a,由已知得AD=

,∵B=

,∴AD=BD,∴BD=AD=

,DC=

a,∴AC=

=

a,在△ABC中,由正弦定理得

=

,∴sin∠BAC=

.故選D.評析本題考查了三角函數(shù)和解三角形的能力,正確地畫圖對解題很有幫助.屬中檔題.3.(2014課標(biāo)Ⅰ,16,5分,0.372)如圖,為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從

A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=6

0°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=

m.

答案150解析在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100

m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,從而∠AMC=45°,由正弦定理得,

=

,因此AM=100

m.在Rt△MNA中,AM=100

m,∠MAN=60°,由

=sin60°得MN=100

×

=150m,故填150.4.(2015課標(biāo)Ⅱ,17,12分,0.139)△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求

;(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得

=

,

=

.因為AD平分∠BAC,BD=2DC,所以

=

=

.(2)因為∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=

cos∠B+

sin∠B.由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=

,即∠B=30°.評析本題考查了正弦定理;考查了解三角形的能力.屬中檔題.5.(2014課標(biāo)Ⅱ,17,12分,0.154)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四邊形ABCD的面積.解析(1)由題設(shè)及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,

①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.

②由①,②得cosC=

,故C=60°,BD=

.(2)四邊形ABCD的面積S=

AB·DAsinA+

BC·CDsinC=

sin60°=2

.評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用和四邊形面積的計算,考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化的思想,

把四邊形分割成兩個三角形是求面積的常用方法.考點一正、余弦定理1.(2016山東,8,5分)△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).則A=

()A.

B.

C.

D.

B組自主命題·?。▍^(qū)、市）卷題組答案

C在△ABC中,由b=c,得cosA=

=

,又a2=2b2(1-sinA),所以cosA=sinA,即tanA=1,又知A∈(0,π),所以A=

,故選C.評析恰當(dāng)運用余弦定理的變形形式是求解本題的關(guān)鍵.2.(2015廣東,5,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=2

,cosA=

且b<c,則b=

()A.3

B.2

C.2

D.

答案

C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2

,∴b=2.選C.3.(2014江西,5,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則

的值為

()A.-

B.

C.1

D.

答案

D由正弦定理知,

=

=

-1,又知3a=2b,所以a=

b,故

-1=

-1=

,故選D.評析本題考查正弦定理等解三角形的基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生對知識的應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力和運算求

解能力,運用正弦定理進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.4.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=

,b=2,A=60°,則sinB=

,c=

.答案

;3解析本小題考查正弦定理、余弦定理.由

=

得sinB=

sinA=

,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍負(fù)).5.(2015北京,11,5分)在△ABC中,a=3,b=

,∠A=

,則∠B=

.答案

解析由正弦定理知sinB=

=

=

,又因為a>b,所以∠A>∠B,所以∠B=

.6.(2015重慶,13,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-

,3sinA=2sinB,則c=

.答案4解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×

=16,所以c=4.7.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)若cosB=

,求cosC的值.解析(1)證明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由cosB=

得sinB=

,cos2B=2cos2B-1=-

,故cosA=-

,sinA=

,cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

.評析本題主要考查正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.8.(2014陜西,16,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比數(shù)列,且c=2a,求cosB的值.解析(1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)由題設(shè)有b2=ac,c=2a,∴b=

a,由余弦定理得cosB=

=

=

.考點二解三角形及其應(yīng)用1.(2018北京,14,5分)若△ABC的面積為

(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=

;

的取值范圍是

.答案

;(2,+∞)解析本題主要考查正弦、余弦定理,三角形面積公式,三角恒等變換.依題意有

acsinB=

(a2+c2-b2)=

×2accosB,則tanB=

,∵0<∠B<π,∴∠B=

.

=

=

=

+

=

+

·

,∵∠C為鈍角,∴

-∠A>

,又∠A>0,∴0<∠A<

,則0<tanA<

,∴

>

,故

>

+

×

=2.故

的取值范圍為(2,+∞).2.(2015湖北,15,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一

山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為

30°,則此山的高度CD=

m.

答案100

解析在△ABC中,因為∠CAB=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°.由正弦定理得

=

,則BC=300

m.在Rt△BCD中,CD=BCtan∠DBC=300

×

=100

m.3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△

BDC的面積是

,cos∠BDC=

.答案

;

解析本題考查余弦定理,同角三角函數(shù)關(guān)系式,二倍角公式,三角形面積公式,考查運算求解

能力.∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC=

=

,∵∠ABC為三角形的內(nèi)角,∴sin∠ABC=

,∴sin∠CBD=

,故S△CBD=

×2×2×

=

.∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC=

,∴2cos2∠BDC-1=

,得cos2∠BDC=

,又∠BDC為銳角,∴cos∠BDC=

.4.(2018天津,16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acos

.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與

余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.(1)在△ABC中,由正弦定理

=

,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos

,得asinB=a-cos

,即sinB=cos

,可得tanB=

.又因為B∈(0,π),可得B=

.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=

,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=

.由bsinA=acos

,可得sinA=

.因為a<c,故cosA=

.因此sin2A=2sinAcosA=

,cos2A=2cos2A-1=

.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=

×

-

×

=

.方法總結(jié)在三角關(guān)系式中,有邊有角時,要利用正弦定理進(jìn)行邊角互化.5.(2017山東,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,

·?=-6,S△ABC=3,求A和a.解析本題考查向量數(shù)量積的運算及解三角形.因為

·?=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=

.又b=3,所以c=2

.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×2

×

=29,所以a=

.6.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan

=2.(1)求

的值;(2)若B=

,a=3,求△ABC的面積.解析(1)由tan

=2,得tanA=

,所以

=

=

.(2)由tanA=

,A∈(0,π),得sinA=

,cosA=

.又由a=3,B=

及正弦定理

=

,得b=3

.由sinC=sin(A+B)=sin

得sinC=

.設(shè)△ABC的面積為S,則S=

absinC=9.評析本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.7.(2015陜西,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,

b)與n=(cosA,sin

B)平行.(1)求A;(2)若a=

,b=2,求△ABC的面積.解析(1)因為m∥n,所以asinB-

bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-

sinBcosA=0,又sinB≠0,從而tanA=

,由于0<A<π,所以A=

.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=

,b=2,A=

,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因為c>0,所以c=3.故△ABC的面積為

bcsinA=

.解法二:由正弦定理,得

=

,從而sinB=

,又由a>b,知A>B,所以cosB=

.故sinC=sin(A+B)=sin

=sinBcos

+cosBsin

=

.所以△ABC的面積為

absinC=

.考點一正、余弦定理1.(2013課標(biāo)Ⅰ,10,5分,0.574)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=

0,a=7,c=6,則b=

()A.10

B.9

C.8

D.5C組教師專用題組答案

D由23cos2A+cos2A=0得25cos2A=1,因為A為銳角,所以cosA=

.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-

b,整理得5b2-12b-65=0,解得b=-

(舍)或b=5,故選D.思路分析由23cos2A+cos2A=0及A為銳角,利用二倍角公式,可求得cosA的值,再利用余弦定

理構(gòu)建關(guān)于b的方程即可求得b的值.2.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=

,a=

c,則

=

.答案1解析在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,將∠A=

,a=

c代入,可得(

c)2=b2+c2-2bc·

,整理得2c2=b2+bc.∵c≠0,∴等式兩邊同時除以c2,得2=

+

,即2=

+

.令t=

(t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),故

=1.思路分析本題先由余弦定理列出關(guān)于b、c的方程,再將方程轉(zhuǎn)化為以

為變元的方程求解.評析本題考查余弦定理的應(yīng)用及換元思想的應(yīng)用,屬中檔題.3.(2015福建,14,4分)若△ABC中,AC=

,A=45°,C=75°,則BC=

.答案

解析

B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得

=

,可得BC=

.4.(2015安徽,12,5分)在△ABC中,AB=

,∠A=75°,∠B=45°,則AC=

.答案2解析由已知及三角形內(nèi)角和定理得∠C=60°,由

=

知AC=

=

=2.5.(2014湖北,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知A=

,a=1,b=

,則B=

.答案

或

解析由

=

得

=

,∴sinB=

.又∵b>a,∴B=

或

.6.(2014北京,12,5分)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=

,則c=

;sinA=

.答案2;

解析由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×

=4,故c=2;由sin2C+cos2C=1,cosC=

,sin

C>0知sinC=

=

,由

=

知sinA=

=

=

.評析

本題考查正弦定理、余弦定理等解三角形的基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的知識應(yīng)用能力和運

算求解能力.7.(2014福建,14,4分)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=

,則AB等于

.答案1解析由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,即3=4+AB2-2AB,即AB2-2AB+1=0.∴AB=1.評析

本題考查了余弦定理,考查了方程的思想方法.8.(2010課標(biāo),16,5分)在△ABC中,D為BC邊上一點,BC=3BD,AD=

,∠ADB=135°.若AC=

AB,則BD=

.答案2+

解析設(shè)BD=x,在△ABD中,由余弦定理有AB2=x2+2x+2,

由題意得∠ADC=45°,DC=2x,AC2=2(x2+2x+2),在△ADC中,有AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos45°,即

x2-4x-1=0,解得x=2±

.∵x>0,∴BD=2+

.評析本題考查解斜三角形問題,考查運算能力以及函數(shù)與方程思想.9.(2014安徽,16,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面積

為

,求cosA與a的值.解析由三角形面積公式,得

×3×1·sinA=

,故sinA=

.因為sin2A+cos2A=1,所以cosA=±

=±

=±

.①當(dāng)cosA=

時,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×

=8,所以a=2

.②當(dāng)cosA=-

時,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×

=12,所以a=2

.評析

本題考查解三角形,解題時要注意已知sinA求cosA時有兩解,防止漏解.考點二解三角形及其應(yīng)用1.(2011課標(biāo)全國,15,5分)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為

.答案

解析由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,及已知條件得49=a2+25-2×5×acos120°.整理得a2+5a-24=0,解得a=3或a=-8(舍).∴S△ABC=

acsinB=

×3×5sin120°=

.評析本題考查余弦定理、解三角形等知識,根據(jù)余弦定理正確求出a的值是解答本題的關(guān)

鍵.2.(2014山東,17,12分)△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=3,cosA=

,B=A+

.(1)求b的值;(2)求△ABC的面積.解析(1)在△ABC中,由題意知,sinA=

=

,因為B=A+

,所以sinB=sin

=cosA=

.由正弦定理可得b=

=

=3

.(2)由B=A+

得cosB=cos

=-sinA=-

.由A+B+C=π,得C=π-(A+B).所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

×

+

×

=

.因此△ABC的面積S=

absinC=

×3×3

×

=

.3.(2017天津,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=

(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式、兩角差的正

弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力.(1)由asinA=4bsinB,及

=

,得a=2b.由ac=

(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=

=

=-

.(2)由(1),可得sinA=

,代入asinA=4bsinB,得sinB=

=

.由(1)知,A為鈍角,所以cosB=

=

.于是sin2B=2sinBcosB=

,cos2B=1-2sin2B=

,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=

×

-

×

=-

.規(guī)律總結(jié)解有關(guān)三角形問題時應(yīng)注意:(1)在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更適合或兩個定理都要用,要抓住能

夠利用某個定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;

如果式子中含有角的正弦或邊的一次式,要考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮到

兩個定理都有可能用到.(2)解三角形問題時應(yīng)注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍.4.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高

均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10

cm,容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為

40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計)(1)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;(2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.

解析本小題主要考查正棱柱、正棱臺的概念,考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查空

間想象能力和運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.(1)由正棱柱的定義,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.記玻璃棒的另一端落在CC1上點M處.因為AC=10

,AM=40,所以MC=?=30,從而sin∠MAC=

.記AM與水面的交點為P1,過P1作P1Q1⊥AC,Q1為垂足,則P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1=

=16.答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24cm)

(2)如圖,O,O1是正棱臺的兩底面中心.

由正棱臺的定義,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處.過G作GK⊥E1G1,K為垂足,則GK=OO1=32.因為EG=14,E1G1=62,所以KG1=

=24,從而GG1=

=

=40.設(shè)∠EGG1=α,∠ENG=β,則sinα=sin

=cos∠KGG1=

.因為

<α<π,所以cosα=-

.在△ENG中,由正弦定理可得

=

,解得sinβ=

.因為0<β<

,所以cosβ=

.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

×

+

×

=

.記EN與水面的交點為P2,過P2作P2Q2⊥EG,Q2為垂足,則P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,從而EP2=

=20.答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20cm)考點一正、余弦定理1.(2018海南二模)在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,已知a=

,(b2+c2-3)tanA=

bc,2cos2

=(

-1)cosC,則△ABC的面積為

()A.

B.

C.

D.

三年模擬A組2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組答案

A∵a=

,(b2+c2-3)tanA=

bc,∴

tanA=

,即cosAtanA=

,亦即sinA=

,又A∈

,∴A=

,∵2cos2

=(

-1)cosC,∴1+cos(A+B)=(

-1)cosC,∴1-cosC=(

-1)cosC,∴cosC=

,C∈

,∴C=

,由正弦定理可得

=

,解得c=

,∴S△ABC=

acsinB=

×

×

×

=

.故選A.2.(2017陜西渭南二模)已知△ABC的三邊長為a,b,c,滿足直線ax+by+2c=0與圓x2+y2=4相離,則△

ABC是

()A.直角三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形

D.以上情況都有可能答案

C易知圓心到直線的距離d=

>2,故c2>a2+b2,在△ABC中,cosC=

<0,所以∠C為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形.選C.3.(2017吉林長春普通高中一模)在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

bcosA=sinB,且a=2

,b+c=6,則△ABC的面積為

.答案2

解析由題意及正弦定理可知

=

=

,得tanA==

,∵A∈(0,π),∴A=

,再由余弦定理得,12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,得bc=8,從而△ABC的面積為2

.考點二解三角形及其應(yīng)用1.(2017黑龍江大慶一中考前沖刺)已知△ABC中,A=

,B=

,a=1,則b等于

()A.

B.1

C.

D.2答案

A由正弦定理有

=

,將已知代入公式,求得b=

,選A.2.(2017吉林梅河口五中一模)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對邊長分別是a,b,c,若

=

,則角B的大小為()A.

B.

C.

D.

答案

D由已知及正弦定理得

=

,b2-a2=

ac+c2,∴

=-

=cosB,故B=

.故選D.3.(2018甘肅一診)在△ABC