高數(shù)1概念性質(zhì)課件

無(wú)窮級(jí)數(shù)0=0+0+0+=(11)+(11)+=11+11+=1+(1+1)+(1+1)+=1例1例2（芝諾悖論）一個(gè)人和烏龜賽跑，烏龜在人前面1000米開(kāi)始，并規(guī)定人的速度是烏龜?shù)?0倍。

人跑了1000米時(shí)，烏龜跑了100米；人再跑100米時(shí)，烏龜跑了10米;以此類(lèi)推....結(jié)論是：人永遠(yuǎn)追不上烏龜.....

“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，解設(shè)龜速V0，則人速10V0，人跑1000米用時(shí)100/V0，這時(shí)龜走了100米，人跑100米用時(shí)10/V0，這時(shí)龜走了10米，這10米人又用時(shí)10/V0，。。?？傊?，人追上龜用時(shí)：級(jí)數(shù)

數(shù)列極限的另一種表現(xiàn)形式；是表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具；傅氏級(jí)數(shù)是通信科學(xué)中重要工具。內(nèi)容

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)與三角級(jí)數(shù)的問(wèn)題。一、問(wèn)題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形面積正形的面積2.小球從1米高處自由落下,每次跳起的高度減少一半,問(wèn)小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)?說(shuō)明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程知

則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(s)設(shè)tk

表示第

k

次小球落地的時(shí)間

,二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列

s1,s2,,

sn,級(jí)數(shù)的部分和問(wèn)題：這樣的無(wú)窮和是如何相加的？結(jié)果又怎樣？項(xiàng)2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:余項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的N定義：例寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，并以的形式表示。解將上述級(jí)數(shù)寫(xiě)成更有規(guī)律的形式故原級(jí)數(shù)可寫(xiě)成一般項(xiàng)為解級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散

綜上解技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和(2).判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:所以級(jí)數(shù)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和

例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為注：我們可以用數(shù)列極限研究級(jí)數(shù)的斂散性，即級(jí)數(shù)是數(shù)列極限研究的新形式。反之，任取一個(gè)數(shù)列u1，u2，，un，，則其極限可以化為

u1+(u2-u1)++(un-un-1)+這樣一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散問(wèn)題，即可以用級(jí)數(shù)斂散的方法來(lái)研究數(shù)列的極限。三、基本性質(zhì)三、基本性質(zhì)

注意：

作為一種新的運(yùn)算，級(jí)數(shù)是一個(gè)極限過(guò)程，所以應(yīng)與有限和的運(yùn)算性質(zhì)有所區(qū)別結(jié)論:一般的，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.三、基本性質(zhì)證:令則這說(shuō)明收斂,其和為kS.結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.證:

令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為注釋1兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加所得的新級(jí)數(shù)并不一定發(fā)散,例如,與都發(fā)散,但是收斂的.

2然而一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)逐項(xiàng)和所得的級(jí)數(shù)必是發(fā)散的．只證：去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.即，去掉、增加或者改變前有限項(xiàng)所得級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的斂散性(當(dāng)然,在收斂時(shí),其和數(shù)一般是不同的.)證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)只證：去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.證明即：收斂的級(jí)數(shù)在求和過(guò)程中滿(mǎn)足結(jié)合律設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,因此必有例如收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后斂散性不確定．例如常用此方法判斷級(jí)數(shù)發(fā)散性．收斂，但原級(jí)數(shù)發(fā)散．又如收斂，原級(jí)數(shù)收斂．即：收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但如果去括弧后所成的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)（含有括號(hào)）收斂。性質(zhì)4的另一種說(shuō)法。0=0+0+0+=(11)+(11)+=11+11+=1+(1+1)+(1+1)+=1有限和的運(yùn)算律不一定適用于無(wú)窮和。例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.四、收斂的必要條件證明級(jí)數(shù)收斂的必要條件:可見(jiàn):

若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

常用來(lái)判別級(jí)數(shù)發(fā)散。

發(fā)散2.必要條件不充分.假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.例5.

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說(shuō)明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.(3)五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法思考題思考題解答能．由柯西審斂原理即知．無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱(chēng)的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/3的小正三角形．如此類(lèi)推在每條凸邊上都做類(lèi)似的操作，我們就得到了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限的圖形——“Koch雪花