2019年新課堂高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文科第八章2講空間幾何體表面積和體積配套課件

第2講

空間幾何體的表面積和體積考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)2011

年新課標(biāo)第16

題考查球內(nèi)接圓錐問題；2011

年新課標(biāo)第18

題(2)以四棱錐為背景，求三棱錐從近幾年的高考試題的高；來(lái)看，本部分內(nèi)容是高1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單2012

年新課標(biāo)第8

題考查求球的體積；2012

年新課標(biāo)第19

題(2)以三棱柱為背景，求幾何體考的必考內(nèi)容，考查形式可以直接求幾何體組合體的結(jié)構(gòu)的體積；的面積和體積，也可以特征，并能運(yùn)用2013

年新課標(biāo)Ⅰ第15

題考查求球的表面積；根據(jù)幾何體的體積、面這些特征描述2013

年新課標(biāo)Ⅰ第19

題(2)考查線面位置判定定理及積求某些元素的量，與現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)求三棱柱體積；三視圖相結(jié)合求幾何單物體的結(jié)構(gòu).2015

年新課標(biāo)Ⅰ第6

題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用；體的面積、體積是課改2.

了解球、棱

2015

年新課標(biāo)Ⅰ第11

題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖、圓以來(lái)高考的熱點(diǎn)，在備柱、棱錐、臺(tái)的柱的側(cè)面積公式及球的表面積公式；考時(shí)應(yīng)予以重視.同時(shí)表面積和體積2015

年新課標(biāo)Ⅰ第18

題(2)已知三棱錐體積，求三棱要特別注意有關(guān)球的的計(jì)算公式錐的側(cè)面積；內(nèi)接或外切幾何體的2016

年新課標(biāo)Ⅰ第7

題考查三視圖及體積、表面積的計(jì)算，全國(guó)卷多年都有運(yùn)算；考查2017

年新課標(biāo)Ⅰ第7

題考查三視圖及面積的運(yùn)算1.柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積幾何體側(cè)面積體積圓柱S

側(cè)＝

2πrh

V＝Sh＝πr2h圓錐S

側(cè)＝πrlV

1

1

2＝3Sh＝3πr

h1＝3πr2

l2－r2圓臺(tái)S

側(cè)＝π(r1＋r2)lV

1＝3(S

上＋S

下＋S上S下)h1＝3π(r2＋r2＋r

r

)h1

2

1

2(續(xù)表)幾何體側(cè)面積體積直棱柱S

側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S

1

′側(cè)＝2ChV

1＝3Sh正棱臺(tái)S

1

C＋C′)h′側(cè)＝2(V

1

S

＋S

＋

S

S

)h＝3(

上

下

上

下球S

球面＝

4πR2V

4

3＝3πR2.幾何體的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和.3.等積法的應(yīng)用等積法：包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是求三角形的高和三棱錐的高.這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值.1.以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于(

A

)A.2π

B.π

C.2

D.1解析：由已知得，圓柱的底面半徑和高均為1，其側(cè)面積S＝2π×1×1＝2π.2.若兩個(gè)球的表面積之比為1∶4，則這兩個(gè)球的體積之比為(

C

)A.1∶2

B.1∶4

C.1∶8

D.1∶16解析：因?yàn)榍虻谋砻娣eS＝4πR2，兩個(gè)球的表面積之比為41∶4，所以兩個(gè)球的半徑之比為1∶2.又因?yàn)榍虻捏w積V＝3πR所以這兩個(gè)球的體積之比為1∶8.3，2VV2圖8-2-13πrV1

πr2·2r

3解析：設(shè)球的半徑為

r，則V2＝

4

3

＝2.3.(2017

年江蘇)如圖8-2-1，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2

的體積為V1，3球

O的體積為

V

，則

1

的值是

2

.4.(2016年新課標(biāo)Ⅱ)體積為8

的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(

A

)2π

32

C.8π

D.4π3

π解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，所以a＝2.所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2

3.所以正方體外接球半徑為3.所以球的表面積為4π·(

3)2＝12π.故選A.考點(diǎn)1幾何體的面積答案：14π例1：(1)(2017年新課標(biāo)Ⅱ)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球

O的球面上，則球

O

的表面積為

.解析：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球

O

的直徑，即

32＋22＋12＝214＝2r，r＝

2

.則球O

的表面積為4πr

＝4π

14

1422＝14π.(2)(2017

年廣東揭陽(yáng)一模)如圖

8-2-2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為

1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(

)A.96C.96＋4(2－1)π圖8-2-2B.80＋4

2πD.96＋4(2

2－1)π答案：C解析：由三視圖可知幾何體為邊長(zhǎng)為4

的正方體挖去一個(gè)圓錐得到.圓錐的底面半徑為2，高為2，∴圓錐的母線長(zhǎng)為2

2.∴幾何體的平面部分面積為6×42－π×22＝96－4π.圓錐的側(cè)面積為

π×2×2

2＝4∴幾何體的表面積為96－4π＋42π.2π.故選C.(3)一個(gè)六棱錐的體積為

2 3

，其底面是邊長(zhǎng)為

2

的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為

.答案：123解析：設(shè)六棱錐的高為

h，體積為

V＝1Sh＝2 3，所以1

13×6×2×2×

3h＝23.解得h＝1.設(shè)六棱錐的斜高為h′，則h′＝

12＋(

3)2＝2.1則該六棱錐的側(cè)面積為2×2×2×6＝12.(4)(2015

年福建)某幾何體的三視圖如圖8-2-3，則該幾何體的表面積等于(

)A.8＋2

2C.14＋2

2圖8-2-3B.11＋2

2D.15解析：由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為2

的直四棱柱，且底面直角梯形的兩底分別為1,2，直角腰1長(zhǎng)為1，斜腰為2.底面積為2×2×3＝3，側(cè)面積為2＋2＋4＋2

2＝8＋2

2.所以該幾何體的表面積為

11＋2

2.故選

B.答案：B(5)(2017

年河北定州中學(xué)統(tǒng)測(cè))如圖8-2-4

為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為(

)圖8-2-427A.

2

πB.27πC.27

3πD.27

3π2解析：由已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為3

的正方形，且高為3，其外接球等同于棱長(zhǎng)為3

的正方體的外接球，

所以外接球半徑R

滿足：2R＝

32＋32＋32＝

27.所以外接球的表面積為S＝4πR2＝27π.故選B.答案：B【規(guī)律方法】第(1)(3)小題是求實(shí)體的面積；第(2)(4)小題是只給出幾何體的三視圖，求該幾何體的表面積，先要根據(jù)三視圖畫出直觀圖，再確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，最后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.注意表面積包括底面的面積.考點(diǎn)2幾何體的體積例

2：(1)(2017

年新課標(biāo)Ⅲ)已知圓柱的高為

1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為

2

的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為

(

)A.π B.4

C.3π

π2D.π4答案：B解析：設(shè)圓柱底面的圓周的半徑為r，r＝22121

－

＝

32，則圓柱的體積為π

322×1＝3π4.故選B.(2)(2016

年山東)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖

8-2-5.則該幾何體的體積為(

)圖8-2-52A.1

π3＋3B

1

2.3＋

3

πC.1

23＋

6

π

2D.1＋

6

π答案：C解析：由已知，半球的直徑為2，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，高為113，所以其體積為×1×1×1

42

31＋

×

π×

231

22

3

6＝

＋

π.A.3

B.3

C.1

D.2解析：如圖D52，顯然AD⊥平面BCC1B1，答案：C圖D52(3)(2014

年新課標(biāo)Ⅱ)正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為

3

，D

為

BC

中點(diǎn)，則三棱錐

A-B1DC1的體積為(

)32A-

B1DC1即AD

為三棱錐A-B1DC1

的高，V31＝

×

B1DC1S

×AD＝1

1

2×

3×3×2×3＝1.【規(guī)律方法】求幾何體的體積時(shí)，若所給的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體、臺(tái)體或球，可直接利用公式求解；若是給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積時(shí)，先要根據(jù)三視圖畫出直觀圖，再確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，最后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.另外不要忘了錐體體積公式中的1

.3考點(diǎn)3立體幾何中的折疊與展開例3：(2017

年新課標(biāo)Ⅰ)如圖8-2-6，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC

的中心為O.D，E，F(xiàn)

為圓

O

上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB

分別是以

BC，CA，AB

為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以

BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB

，使得

D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐

當(dāng).ABC

的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為

.圖8-2-6圖D53解析：如圖

D53，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為

x，則

OG＝1

33×

2

x3＝

6

x.6∴

SG

＝

DG

＝

5

－

3

x

，

SO

＝

h

＝SG2－OG2

＝5－

3

6x2—

3

62

3

x

＝

55－

3

x.13∴三棱錐的體積V＝

S△ABC·h＝

×1

33

42x

×

3

55－

3

x＝

1512355x4－

3

x

.3令

n(x)＝5x4－

3

，則

n′(x)＝20x

－x5

35

334x

.3x4令

n′(x)＝0,4x

－

3＝0，解得

x＝4

3.當(dāng)

n′(x)≥0

時(shí)，x≤4

3；當(dāng)

n′(x)≤0

時(shí)，x≥4

3，則max12＝

15×48×5－4＝4

15.當(dāng)

x＝4

3時(shí)，n(x)最大.故

V答案：4

15

cm3【互動(dòng)探究】1.一塊正方形薄鐵片的邊長(zhǎng)為4cm，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，沿弧剪下一個(gè)扇形(如圖8-2-7)，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的容積等于

cm3

.圖8-2-7解析：扇形的弧長(zhǎng)和圓錐的底面周長(zhǎng)相等，根據(jù)公式即可算出底面半徑r，則容積易得.即

2πr

1

2π·4，則

r＝1.＝4×又母線長(zhǎng)為4

cm，所以h＝42－12＝

15.1

12

2則V＝3πr

h＝3·π·1

·

1515＝

3

π.15答案：

3

π難點(diǎn)突破⊙組合體的相關(guān)運(yùn)算例題：Rt△ABC

的角A，B，C

所對(duì)的邊分別是a，b，c(其中

c

為斜邊)，分別以

a，b，c

邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積分別是

V1，V2，V3，則(

)1

2

3A.V

＋V

＝V

B.

11

1V1＋V2＝V3C.V2＋V2＝V21

2

3V1V2

22D.

1

＋

＝1

1V23答案：D1132解析：以a

邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸的幾何體的體積V

＝

b

πa，2132以b

邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸的幾何體的體積V

＝

a

πb，以c

邊所3在直線為旋轉(zhuǎn)軸的幾何體的體積V

＝

3

cπc＝1ab2

a2b2π3c，所以1V12＋V21

9

22(b

πa)＝

2＋

9

2(a

πb)2＝9(a2＋b2)a4b4π2

＝

4

429c2

1a

b

π

V23＝

.故選D.【互動(dòng)探究】2.如圖

8-2-8(單位：cm)，則圖中的陰影部分繞

AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為

.圖8-2-8答案：140π

cm33解析：由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺(tái)和球的體積公式，得V

圓臺(tái)12

2

2

21＝

3

×(π×AD

＋

π×AD

×π×BC

＋

π×BC

)×AB

＝

3

×π×1(AD2

＋

AD×BC

＋

BC2)×AB

＝

3

×π×(22

＋

2×5

＋

52)×4

＝52π(cm3)，V半球＝4π×AD3×

＝3

2

31

14π×23×＝16π(cm3)，所以旋2

3圓臺(tái)

半球3轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積

V

＝

V

－

V

＝

52π

－

16

π＝3140π(cm3).1.長(zhǎng)方體的外接球：長(zhǎng)、寬、高分別為