2022北京數(shù)學(xué)中考試卷（含答案解析）

2022年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試

一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng),符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.（2022北京,1,2分）下面幾何體中，是圓錐的為（）

2.（2022北京,2,2分）截至2021年12月31日，長(zhǎng)江干流六座梯級(jí)水電站全年累計(jì)發(fā)電量達(dá)2

628.83億千瓦時(shí)，相當(dāng)于減排二氧化碳約2.2億噸.將262883000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為

（）

A.26,2883xlO10B.2.62883x10"

C.2.62883x1（）12D.0.262883xlO12

3.（2022北京,3,2分）如圖，利用工具測(cè)量角，則N1的大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.1500

4.（2022北京,4,2分）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

^3~~-2-10r~~2~~3

A.aV-2B.h<lC.a>hD.-a>b

5.（2022北京,5,2分）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別，從

中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸

到綠球的概率是（）

A二1B.1-C1.-3D.-

4324

6.（2022北京,6,2分）若關(guān)于x的一元二次方程/+x+加=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為

（）

11

A.-4D.4

44

7.（2022北京,7,2分）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為)

A.lB.2C.3D.5

8.（2022北京,8,2分）下面的三個(gè)問(wèn)題都有兩個(gè)變量:

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時(shí)間x;

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間尤；

③用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積y與一邊長(zhǎng)x.

其中，變量y與變量尤之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2022北京,9,2分）若仍口在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

10.（2022北京,10,2分）分解因式:孫2一4.

11.（2022北京,11,2分）方程京=：的解為.

12.（2022北京,12,2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)428）,8（5,”）在反比例函數(shù)后（心》0）的

圖象上，則yi________以填或y）

13.（2022北京,13,2分）某商場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)400雙滑冰鞋，了解了某段時(shí)間內(nèi)銷售的40雙滑冰鞋的鞋

14.（2022北京,14,2分）如圖，在△ABC中左。平分若AC=2,OE=1,則

15.（2022北京,15,2分）如圖,在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5，W="則AE的長(zhǎng)為.

FC4

4En

B325

C235

D437

E358

甲工廠準(zhǔn)備用一輛載重不超過(guò)19.5噸的貨車將部分包裹一次運(yùn)送到乙工廠.

⑴如果裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運(yùn)方案（寫

出要裝運(yùn)包裹的編號(hào)）；

（2）如果裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時(shí)裝運(yùn)的〃號(hào)產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的

裝運(yùn)方案（寫出要裝運(yùn)包裹的編號(hào)）.

三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分悌22題5分，第23-24題，每題6分，第

25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.（2022北京,17,5分）計(jì)算：OD°+4xsin45°-V8+|-3|.

18.（2022北京,18,5分）解不等式組：

（2+x>7—4x,（T）

《4+%_

19.（2022北京/9,5分）已知f+2*-2=0,求代數(shù)式x（x+2）+（x+l）2的值.

20.（2022北京,20,5分）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，

完成證明.

21.（2022北京,21,6分）如圖，在口ABCD中4c石。交于點(diǎn)。點(diǎn)民產(chǎn)在AC上

⑴求證:四邊形EBFD是平行四邊形；

⑵若求證:四邊形EBFD是菱形.

22.（2022北京,22,5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)廣依+仇原0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,3）,（-2,0）,且

與y軸交于點(diǎn)A.

⑴求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=x+n的值大于函數(shù)產(chǎn)日+優(yōu)后0）的值，直接寫出n的取值

范圍.

23.（2022北京,23,6分）某校舉辦“歌唱祖國(guó)”演唱比賽，十位評(píng)委對(duì)每位同學(xué)的演唱進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)打

分，對(duì)參加比賽的甲、乙、丙三位同學(xué)得分的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信

息.

a.甲、乙兩位同學(xué)得分的折線圖：

b.丙同學(xué)得分：

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同學(xué)得分的平均數(shù):

同學(xué)甲乙丙

平均數(shù)8.68.6m

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

⑴求表中m的值；

⑵在參加比賽的同學(xué)中，如果某同學(xué)得分的10個(gè)數(shù)據(jù)的方差越小,則認(rèn)為評(píng)委對(duì)該同學(xué)演唱的

評(píng)價(jià)越一致.據(jù)此推斷:甲、乙兩位同學(xué)中，評(píng)委對(duì)的評(píng)價(jià)更一致（填“甲”或"乙”）；

（3）如果每位同學(xué)的最后得分為去掉十位評(píng)委打分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后的平均分，最

后得分越高，則認(rèn)為該同學(xué)表現(xiàn)越優(yōu)秀.據(jù)此推斷:在甲、乙、丙三位同學(xué)中，表現(xiàn)最優(yōu)秀的是—

（填“甲皿乙”或“丙”）.

24.（2022北京,24,6分）如圖是。O的直徑,C。是。O的一條弦連接AC0D

⑴求證:N8OD=2NA;

⑵連接過(guò)點(diǎn)C作CELDB,交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DO；交AC于點(diǎn)F,若尸為AC的中

點(diǎn)，求證:直線CE為OO的切線.

25.（2022北京,25,5分）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳

臺(tái).運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從

起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（單位:m）與水平距離尤（單位:m）近似滿足函數(shù)關(guān)系

）=a（x-//）2+4a<0）.

示意圖

（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離X與豎直高度），的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離

02581114

x/m

豎直高度

20.0021.4022.7523.2022.7521.40

y/m

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系產(chǎn)皈9）2+網(wǎng)。<0）；

⑵第二次訓(xùn)練時(shí),該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系尸0.04X（X-9）2+23.24.

記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為九第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為由,則d\_

4（填“〉"或

26.（2022北京,26,6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,〃?）,（3,〃）在拋物線〉=加+笈+以。>0）上，設(shè)

拋物線的對(duì)稱軸為直線廣1.

（1）當(dāng)c=2,m=n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；

⑵點(diǎn)（xo,M（xorl）在拋物線上，若〃?<〃<c,求t的取值范圍及xo的取值范圍.

27.（2022北京,27,7分）在^ABC中,NACB=90。,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接8DOC,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)

瓦使得CE=DC.

⑴如圖1,延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得CF=BC,連接若A尸，EF,求證

⑵連接AE,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接C”,依題意補(bǔ)全圖2,若人"二人序+臺(tái)》,用等式表示線段

C。與C”的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.（2022北京,28,7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)知（。力）,乂對(duì)于點(diǎn)「給出如下定義:將點(diǎn)

P向右（。圳或向左（。<0）平移同個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上儂0）或向下S<0）平移I勿個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)

P',點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為。，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

⑴如圖，點(diǎn)點(diǎn)N在線段OM的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)尸（-2,0）,點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

①在圖中畫(huà)出點(diǎn)Q;

②連接P。,交線段ON于點(diǎn)T,求證:NT^OM.

(2)00的半徑為是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段0M上,且ON=t6<t<1),若P為。。外一

點(diǎn)，點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”,連接尸。.當(dāng)點(diǎn)M在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出PQ長(zhǎng)的最大值與最小

值的差(用含，的式子表示).

2022年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試

1.B通過(guò)觀察可知，選項(xiàng)A是圓柱，選項(xiàng)B是圓錐，選項(xiàng)C是三棱錐，選項(xiàng)D是球.故選B.

2.B262883000000=2.62883x10”.故選B.

3.A根據(jù)對(duì)頂角相等可得/1=30。.故選A.

4.D根據(jù)題圖可得-2<〃<-1,1。<2,所以〃<仇所以選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤.根據(jù)題圖可以判斷在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的右側(cè)，則-a>瓦故選D.

5.A列表如下：

由表可知，共有4種等可能的結(jié)果，其中第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的結(jié)果有1種，所以第一次摸到紅球、

第二次摸到綠球的概率?故選A.

6.CI?該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,.../=(),即l-4m=0,

1

解得，〃=-.故選C.

4

7.D五角星是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是每條過(guò)頂點(diǎn)與中心的直線，而圓也是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是每一條直

徑所在的直線，故圖中圖形的對(duì)稱軸就是五角星的五條對(duì)稱軸.

8.A①A、B兩地的路程一定,由于汽車是勻速行駛，那么汽車在相同時(shí)間內(nèi)走的路程也是相同的，則剩余路程的

減少值也是相同的,所以汽車的剩余路程y與行駛時(shí)間x在一定范圍內(nèi)是一次函數(shù)關(guān)系，故①對(duì)；

②由于水箱中原有的水量是固定的，而水箱的水是勻速放出,所以在相同時(shí)間內(nèi)水的減少量也是相同的，所以剩余

水量y與放水時(shí)間x在自變量的取值范圍內(nèi)是一次函數(shù)關(guān)系，故②對(duì)；

③設(shè)矩形的周長(zhǎng)為C,則由題意可知C是定值，所以矩形的另一邊長(zhǎng)為等，所以產(chǎn)x?與竺=了+宗，故y是關(guān)于x的

二次函數(shù)，所以其對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線,故③錯(cuò).故選A.

9.答案x>8

解析二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即x-8沙，解得x>8.

10.答案x(y+l)(y-l)

解析冷2*=*()2-1)=》()4l)(y-l).

11.答案x=5

解析方程兩邊同乘x(x+5),得2x=x+5,解得戶5.當(dāng)x=5時(shí),x(x+5)和，故x=5是原方程的解.

12.答案>

解析???Q0,.?.反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限,當(dāng)x>0時(shí),)，隨x的增大而減小

13.答案120

12

解析由題表可知需求最多的是39碼滑冰鞋，有12雙，所以估計(jì)該商場(chǎng)進(jìn)39碼滑冰鞋的數(shù)量為400x^=120（雙）.

40

14.答案1

解析過(guò)點(diǎn)。作DFLACF.VADABAC,DEA.AB,DFA.AC,：.DF=DE=1./.ACD=^ACDF=^X2X1=].

過(guò)點(diǎn)D作AC邊上的高,從而能夠巧妙地應(yīng)用角平分線的性質(zhì)得到高的值，再通過(guò)三角形面積公式求解.

15.答案1

解析???四邊形ABC。是矩形,

ZABC=90°AD=BC,AD//BC.

在RIAABC4,^4C=5,AB=3,/.BC^AC2-AB2=4.：.AD=BC=4.

"AD//BC,：.ZEAF=ZBCF,/AEF=/CBF,

：.AAEF^ACBF.

AEAF1AE1.

..—=—=-,uHnP—=-,..AE=].

BCFC444

16.答案（l）ABC（答案不唯一）（2）ACE

解析（1）根據(jù)包裹的質(zhì)量數(shù)據(jù)分析,若要滿足載重不超過(guò)19.5噸的條件,則包裹數(shù)量不能超過(guò)3個(gè)，根據(jù)/號(hào)產(chǎn)品

質(zhì)量的數(shù)據(jù)分析，若要裝運(yùn)的/號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，則滿足條件的裝運(yùn)方案可以為

AD,ABC,ABE,ACD,ACE,BCD.

（2）在滿足/號(hào)產(chǎn)品的裝運(yùn)條件下，要求〃號(hào)產(chǎn)品最多，首先選擇E.由于載重不超過(guò)19.5噸，所以在〃號(hào)產(chǎn)品次多的

C和D中選擇C,由于/號(hào)產(chǎn)品不少于9噸，故第三個(gè)包裹選擇A.所以滿足條件的裝運(yùn)方案是ACE.

17.解析原式=1+2近-2魚(yú)+3

=1+3

=4.

18.解析解不等式①，得x>l,

解不等式②，得x<4.

二原不等式組的解集為l<x<4.

19.解析x(x+2)+(x+l)2

=xz+2x+x2+2x+1

=2x2+4x+L

???/+2x-2=0,

/.2x2+4x=4,

原式=4+1=5.

20.證明選擇方法一：

過(guò)點(diǎn)A作。E〃BC,

則NB=NDAB,NC=NEAC.

?點(diǎn)A在OE上，

，ZDAB+ZBAC+ZEAC=\^°,

：.ZB+ZBAC+ZC=180°.

選擇方法二：

過(guò)點(diǎn)C作CD//AB,

則Zfi+ZBCD=180。,NA=NAC。，

N8+NACB+NACO=180°,

...N8+NACB+NA=180。.

21.證明(I].?四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AO=CO,BO=DO.

'：AE=CF,

：.AO-AE=CO-CF,d]lOE=OF.

"：BO=DO,

四邊形EBF■。是平行四邊形.

(2)V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//DC,

：.ZBAC=ZDCA.

'：ZBAC^ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.DA=DC,

四邊形ABC。是菱形.

：.BD±AC,

又???四邊形EBFD是平行四邊形，

四邊形EBFD是菱形.

第(2)問(wèn)通過(guò)分析法從結(jié)論出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)要證的四邊形若是菱形，則對(duì)角線應(yīng)該是互相垂直的,而這組對(duì)角線

的位置關(guān)系與原平行四邊形是一致的，故只需證原平行四邊形是菱形即可.

22.解析⑴：函數(shù)產(chǎn)奴+僅原0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),(-2,0),

噌江片。解得k=\-

b=1.

函數(shù)解析式為J=|x+1.

當(dāng)x=0時(shí)，產(chǎn)L

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1).

(2)H>1.

提示:首先清楚函數(shù)產(chǎn)x+〃的圖象是與直線尸x平行的一系列直線，通過(guò)題目中給定的范圍QO,可以找到臨界點(diǎn)

A(O,1),由產(chǎn)什九過(guò)點(diǎn)A可以求出〃=1.當(dāng)x=O時(shí)，函數(shù)y=x+l的值等于函數(shù))=彳+1的值,將直線向上平移能

1

夠保證當(dāng)x>0時(shí)，直線y=x+l在直線y=y+l的上方，所以當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù))=x+l的值大于函數(shù)

y=^x+1的值.故論1.

23.解析(l)w=(10+10+l0+9+9+8+3+9+8+10)+10=8.6.

⑵甲.

詳解:從得分的折線圖可以看出甲同學(xué)得分的波動(dòng)明顯小于乙同學(xué)，故甲同學(xué)得分的方差小于乙同學(xué)得分的方差.

⑶丙.

詳解:三位同學(xué)的平均分相同,最高分也相同，但是丙的最低分3分遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于甲、乙的最低分7分，所以去掉一個(gè)最

高分和一個(gè)最低分后丙的平均分會(huì)高于甲、乙.

24.證明(1)連接4￡>,

?rAB是。0的直徑4B1C。，

.,.BC=BD,

：.NBAC=NBAD.

"：BD=BD,：.NBOD=2NBAD,

：.ZB0D=2ZBAC.

(2)連接OC,

是直徑4B_LC￡>,

:.AC=AD,:.AC=AD,

：O是圓心尸是AC的中點(diǎn),；.OFLAC,

：.DA=DC,.,./\ACD是等邊三角形，

ZADC=60°,：.NODC=30。,

?：AB是直徑,；.ZBDA=90°,：.NBOC=30。，

，NODC=NBDC,

"OC=OD,：.ZOCD=ZODC,：.ZOCD=ZBDC,

OC//DE,

又YCELDE,

：.OCLCE,：OC是。O的半徑,...CE是。。的切線.

25.解析(1)通過(guò)題中表格可以得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,23.20),豎直高度的最大值是23.20米，

則解析式為y=a(x-S)2+23.2.

?.?拋物線過(guò)點(diǎn)(11,22.75),.??22.75=9“+23.2,

解得o=-0.05.

解析式為y=-0.05(x-8)2+23.2.

(2)<

提示:二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小與同有關(guān)，同越大拋物線開(kāi)口越小，間越小拋物線開(kāi)口越大.第一次訓(xùn)練kl=0.05,第二

次訓(xùn)練|羽=0.04,所以第二次訓(xùn)練的拋物線開(kāi)口更大，同時(shí)第二次訓(xùn)練的拋物線頂點(diǎn)相對(duì)于第一次訓(xùn)練的拋物線頂

點(diǎn)向右平移，再向上平移，所以第二次的著陸點(diǎn)的水平距離比第一次著陸點(diǎn)的水平距離更遠(yuǎn).所以a<6/2.

26.解析(1)：c=2,：.拋物線的解析式為y=ax1+bx+2.

令尸0,則產(chǎn)2,

.?.拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,2).

?.?點(diǎn)(1㈤,(3㈤在拋物線上,9=”,

對(duì)稱軸為直線JC=/=-^-=2.

(2)解法一:?.拋物線開(kāi)口向上，

?.?拋物線的表達(dá)式為y^+bx+c,

.?.點(diǎn)(0,c)在拋物線上，

?.?點(diǎn)(1四),(3,“)在拋物線上,

...可得到三個(gè)點(diǎn)的示意圖.

(?！?\/

\/(3,n)

1+3

^―,即z<2,

Vn<c,t>^y

3

I(沏㈤,(1,m)都在拋物線上,

xo+1=2/,/.xo=2/-l,

!<r<2,/.3<2/<4,.,.2<2t-1<3,即2<x0<3.

解法二:?點(diǎn)(1,〃7),(3,〃)在拋物線y^ctr+bx+c上,

m=a+b+c,n=9a+3b^-c,

tn<n<c,

(a+b+c<9a+3b+c,(T)

(9a+3b+c<cf(2)

由①得b>-4a,@

由②得b<-3?④

??Z>0,

?.?由③得!<者即*2,

；?由④得金鷺即9今

22a2

丁點(diǎn)(沏,m),(1,m)在拋物線上，

x()+1=2%xo=2t-1,

3

???『<2,.??3<2/<4,

A2<2r-1<3,BP2<xo<3.

(2)解法二:將橫坐標(biāo)代入解析式,用含參數(shù)的式子表示函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)值的大小列出不等式組，通過(guò)不等式的

性質(zhì)對(duì)式子進(jìn)行變形，將不等式化為-二的形式，從而得到f的取值范圍.

27.解析⑴證明:在4BCD和4FCE中,