高中數(shù)學北師大版選修2-3課件：第一章+5.2+二項式系數(shù)的性質-【公開課教學PPT課件】

5.2二項式系數(shù)的性質第一章

§5二項式定理學習目標1.了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項式乘方次數(shù)不大時的各項的二項式系數(shù).2.理解二項式系數(shù)的性質并靈活運用.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)21112113311464115101051(a+b)61615201561二項式系數(shù)的性質

這樣的二項式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似下面的表：

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一

表中除“1”以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和楊輝三角:11121133114641151010511615201561

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等性質1：對稱性性質2：增減性與最大值當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；先增后減當n是奇數(shù)時，中間的兩項和相等，且同時取得最大值。(1)在同一行中，每行兩端都是1.(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩數(shù)的和.即二項式系數(shù)滿足組合數(shù)的性質.(3)與首末兩端“

”的兩個二項式系數(shù)相等，即二項式系數(shù)具有對稱性，即＝

.“楊輝三角”蘊含的規(guī)律梳理等距離特別提醒：1.二項式系數(shù)性質類似于組合數(shù)的兩個性質2.從二項式系數(shù)表中可以看出(a＋b)n的展開式中二項式系數(shù)先增加，后減少，各二項式系數(shù)的和等于2n，即

＝2n.

題型探究解答類型一與楊輝三角有關的問題例1

如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項和為Sn，求S21的值.解決與楊輝三角有關的問題的一般思路反思與感悟跟蹤訓練1

如圖所示，在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角中，第____行中從左至右的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為2∶3.答案解析34解析由題意設第n行的第14個數(shù)與第15個數(shù)的比為2∶3，它等于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數(shù)的比，解得n＝34，所以在第34行中，從左至右第14個數(shù)與第15個數(shù)的比是2∶3.解答類型二求展開式的系數(shù)和例2

設(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值.(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；解令x＝0，則展開式為a0＝2100.(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；解答(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解答∴a2k－1<0(k∈N＋).二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，反思與感悟跟蹤訓練2

在二項式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；解設(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.解答解各項系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和.解答解令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，解答類型三二項式系數(shù)性質的應用例3

已知f(x)＝(＋3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；解令x＝1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間的項，它們分別為(2)求展開式中系數(shù)最大的項.解答∵r∈N，∴r＝4，(1)二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質對(a＋b)n中的n進行討論.①當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大.②當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)展開式中系數(shù)的最大項的求法求展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需要根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況進行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項，一般采用待定系數(shù)法.設展開式中各項系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第r＋1項最大，應用解出r，即得出系數(shù)的最大項.反思與感悟當r＝4時，展開式中的系數(shù)最大，即T5＝70x4為展開式中的系數(shù)最大的項；當r＝3或5時，展開式中的系數(shù)最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x為展開式中的系數(shù)最小的項.跟蹤訓練3

已知(x2－)n展開式中的二項式系數(shù)的和比(3a＋2b)7展開式的二項式系數(shù)的和大128，求(x2－)n展開式中的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項.解2n－27＝128，n＝8，解答當堂訓練234511.(1＋2x)10的展開式中各項系數(shù)的和為A.310

B.210

C.－1 D.1解析解析設f(x)＝(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1得各項系數(shù)的和為a0＋a1＋a2＋…＋a10＝310.√答案234512.在(1＋x)n(n∈N＋)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n等于A.8 B.9C.10 D.11√答案解析解析由題意知(1＋x)n的二項展開式中，x5的系數(shù)就是第6項的系數(shù)，因為只有x5的系數(shù)最大，所以n＝10.234513.觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是A.8 B.6C.4 D.2

答案解析解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6.√解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. ①又Tr＋1＝(2x)4－r(－1)r3r，∴當r＝0時，x4的系數(shù)a4＝16. ②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.234514.設(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為____.解析答案－15解二項展開式系數(shù)的最小值應在各負項中確定.由題意知第4項和第6項系數(shù)相等且最小，分別為T4＝(－x)3＝－56x3，T6＝(－x)5＝－56x5.5.已知(1－x)8的展開式，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；解答解因為(1－x)8的冪指數(shù)8是偶數(shù)，所以由二項式系數(shù)的性質知，中間一項(即第5項)的二項式系數(shù)最大，該項為T5＝(－