直線交點(diǎn)與距離公式

直線交點(diǎn)與距離公式第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三考綱要求1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.熱點(diǎn)提示1.高考卷中小題、大題均有涉及對本節(jié)內(nèi)容的考查，難度多為中檔．2．考查的重點(diǎn)是求兩直線的交點(diǎn)、求點(diǎn)線距離、線線距離及與圓相結(jié)合解決點(diǎn)到直線的距離等問題．3．考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用.第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三1．兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，兩條直線的

就是方程組

的解；交點(diǎn)坐標(biāo)第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三若方程組有唯一解，則兩條直線

，此解就是

；若方程組

，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線

；反之，亦成立．相交交點(diǎn)的坐標(biāo)無解平行第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三2．幾種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝

特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝

第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三(3)兩條平行線間的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝

第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么問題？

提示：(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式；(2)求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算.

第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三答案：C第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三答案：D第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三3．與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱的直線方程是__________．答案：2x＋3y＋8＝0第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三5．k為何值時(shí)，直線l1：y＝kx＋3k－2與直線l2：x＋4y－4＝0的交點(diǎn)在第一象限．第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三【例1】求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三解法二：∵l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(diǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三

運(yùn)用直線系方程，有時(shí)會(huì)給解題帶來方便，常見的直線系方程有：(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三變式遷移1

過兩直線x＋2y－3＝0與2x－y－1＝0的交點(diǎn)，且與點(diǎn)P(0,0)的距離為1的直線方程為__________．答案：x＝1或y＝1第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三【例2】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程．第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三由直線l1：x＋y＋1＝0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°.又由直線l過點(diǎn)P(3,1)，故直線l的方程為x＝3或y＝1.第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三解法二：設(shè)直線l與l1、l2分別相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，兩式相減得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5，①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三(1)本題也可以按題目的自然順序要求設(shè)出l的方程，求出l與l1及l(fā)2的交點(diǎn)A、B，使|AB|＝5，求l.這種方法思路自然，但求解整理較難，而解法一采用數(shù)形結(jié)合，先求夾角再求直線的斜率和傾斜角，從方法上看較為簡單．解法二技巧性較強(qiáng)，采用設(shè)而不求，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用整體思想處理問題，在一定程度上簡化了運(yùn)算過程．

第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三(2)這類題一般有下列三種情況，被兩已知平行直線截得的線段為定長a的直線，當(dāng)a小于兩平行線間的距離時(shí)無解，當(dāng)a等于兩平行線間的距離時(shí)有唯一解，當(dāng)a大于兩平行線間的距離時(shí)，有且只有兩解.

第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三變式遷移2

(2009·全國卷Ⅰ)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為則m的傾斜角可以是 ()①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號(hào)是__________．(寫出所有正確答案的序號(hào))第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三答案：①⑤第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三【例3】(1)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最?。诙彭?，共五十一頁，編輯于2023年，星期三甲第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三乙第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三已知兩點(diǎn)A，B在直線l的異側(cè)，可在l上找一點(diǎn)M使|MA|－|MB|為最大．方法是可先求出點(diǎn)A(或B)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′(或B′)，連結(jié)A′B或(AB′)，設(shè)它與l的交點(diǎn)為M，則M即為所求．在直線l上找一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和最小，則P必在線段AB上，故將l同側(cè)的點(diǎn)利用對稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)的點(diǎn)；若到兩定點(diǎn)A、B的距離之差最大，則P必定在AB的延長線上，或BA的延長線上，故將l異側(cè)上的點(diǎn)利用對稱性變?yōu)橥瑐?cè)的點(diǎn)第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三變式遷移3

直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是 ()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三答案：D第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三【例4】求證：任意△ABC中，垂心H、重心G和外心I三點(diǎn)共線，并且HG＝2GI.證明：如下圖，以直線AB為x軸，過點(diǎn)C且垂直于直線AB的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三本題充分利用直線方程、直線與直線的位置關(guān)系等知識(shí)，通過運(yùn)算證明了平面幾何中一個(gè)重要定理．在上述解答過程中，先根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)用有序數(shù)對(坐標(biāo))表示，直線用方程表示．點(diǎn)是否在同一直線上等價(jià)于點(diǎn)的坐標(biāo)是否都滿足于同一個(gè)二元一次方程，求兩條直線的交點(diǎn)等價(jià)于求兩條直線的方程所組成的方程組的解等等．這些都充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法思想的本質(zhì)，即通過數(shù)量關(guān)系去刻畫幾何關(guān)系.

第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三變式遷移4如右圖所示，已知P是等腰△ABC的底邊BC上一點(diǎn)，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法證明：|PM|＋|PN|為定值．第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三證明：過點(diǎn)A作AO⊥BC，垂足為O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，A(0，b)，P(x1,0)，a，b為定值，x1為參數(shù)，－a≤x1≤a，∴AB的方程是bx－ay＋ab＝0，AC的方程是bx＋ay－ab＝0，第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三1．用解析法研究平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有平行、相交、重合三種．從方程的角度來說，對于兩條直線的方程組成的方程組若有唯一解，則兩直線相交；若無解，則兩直線平行；若有無窮多個(gè)解，則兩直線重合，反之亦然．第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三2．距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解析幾何中的兩個(gè)重要工具，應(yīng)用廣泛．(1)通過距離與長度的計(jì)算可以解決三點(diǎn)共線問題、三角形面積計(jì)算問題、四邊形形狀判斷問題，以及距離最值問題．(2)通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式與其他知識(shí)的有機(jī)結(jié)合，可以解決一系列的對稱問題．第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三①點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于Q(a，b)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2a－x0,2b－y0)．②點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0的對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，l⊥PP′且PP′的中點(diǎn)在直線l上，所以x′，y′滿足的方程組為第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三由此可解得P′的坐標(biāo)為(x′，y′)．③代點(diǎn)轉(zhuǎn)移法是求已知直線關(guān)于軸l對稱的直線方程的有效方法，應(yīng)通過解題把握實(shí)質(zhì)．第四十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三3．直線系方程具有某一個(gè)共同性質(zhì)的一組直線叫做直線系，它的方程叫做直線系方程．(1)平行直線系：與Ax＋By＋C＝0平行的直線可以表示為Ax＋By＋m＝0(C≠m)(其中m為參數(shù))；(2)垂直直線系：與Ax＋By＋C＝0垂直的直線可以表示為Bx－Ay＋m＝0(其中m為參數(shù))；

第四十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三(3)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l