貴州省黔東南州劍河縣第四中學2024屆數學高二上期末統考試題含解析

貴州省黔東南州劍河縣第四中學2024屆數學高二上期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在R上的函數滿足，且有，則的解集為（）A. B.C. D.2．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關系為（）A.外離 B.外切C.相交 D.內切3．若命題“對任意，使得成立”是真命題，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.4．各項均為正數的等比數列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.5．已知變量x，y具有線性相關關系，它們之間的一組數據如下表所示，若y關于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.36．已知數列的前n項和為，則“數列是等比數列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件7．把直線繞原點逆時針轉動，使它與圓相切，則直線轉動的最小正角度A. B.C. D.8．若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-29．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一個點 B.一個雙曲線的右支和一條直線C.一個橢圓一部分和一條直線 D.一個橢圓10．《張邱建算經》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問第11日到第20日這10日共織布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺11．某高校甲、乙兩位同學大學四年選修課程的考試成績等級（選修課的成績等級分為1，2，3，4，5，共五個等級）的條形圖如圖所示，則甲成績等級的中位數與乙成績等級的眾數分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，412．已知函數為偶函數，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）．若，則的取值范圍是______14．二項式的展開式中，項的系數為__________.15．已知命題，則命題的的否定是___________.16．橢圓方程為橢圓內有一點，以這一點為中點的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數；（2）從該公司員工中隨機抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內為事件，判斷事件與是否互相獨立，并說明理由；18．（12分）已知點A（，0），點C為圓B：（B為圓心）上一動點，線段AC的垂直平分線與直線BC交于點G（1）設點G的軌跡為曲線T，求曲線T的方程；（2）若過點P（m，0）（）作圓O：的一條切線l交（1）中的曲線T于M、N兩點，求△MNO面積的最大值19．（12分）已知等差數列中，，，等比數列中，，（1）求數列的通項公式；（2）記，求的最小值20．（12分）已知點是圓：上任意一點，是圓內一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設不經過坐標原點，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點，記，的斜率分別是，．當，都存在且不為時，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由21．（12分）已知為數列的前項和，且（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和（3）設，若不等式對一切恒成立，求實數取值范圍22．（10分）已知二項式的展開式中各二項式系數之和比各項系數之和小240．求：（1）n的值；（2）展開式中x項的系數；（3）展開式中所有含x的有理項

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】構造，應用導數及已知條件判斷的單調性，而題設不等式等價于即可得解.【題目詳解】設，則，∴R上單調遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.2、C【解題分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據圓心距與半徑和與差的關系，判斷圓與圓的位置關系【題目詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C3、A【解題分析】由題得對任意恒成立，求出的最大值即可.【題目詳解】解：由題得對任意恒成立，(當且僅當時等號成立)所以故選：A4、D【解題分析】根據等比數列性質可知，，，成等比數列，由等比中項特點可構造方程求得，由等比數列通項公式可求得，進而得到結果.【題目詳解】由等比數列的性質可得：，，，成等比數列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.5、A【解題分析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【題目詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A6、D【解題分析】由充分必要條件的定義，結合等比數列的通項公式和求和公式，以及利用特殊數列的分法，即可求解.【題目詳解】由題意，數列是等比數列，設等比數列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當，可得，此時數列不是等比數列，即必要性不成立，所以數列是等比數列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.7、B【解題分析】根據直線過原點且與圓相切，求出直線的斜率，再數形結合計算最小旋轉角【題目詳解】解析：由題意，設切線為，∴.∴或.∴時轉動最小∴最小正角為.故選B.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題8、B【解題分析】根據拋物線和橢圓焦點與其各自標準方程的關系即可求解.【題目詳解】由題可知拋物線焦點為，橢圓左焦點為，∴.故選：B.9、C【解題分析】由可得，或，再由方程判斷所表示的曲線.【題目詳解】由可得，或，即或，則該方程表示一個橢圓的一部分和一條直線.故選：C10、A【解題分析】由題意可知，每日的織布數構成等差數列，由等差數列的求和公式得解.【題目詳解】由題女子織布數成等差數列，設第日織布為，有，所以，故選:A.11、C【解題分析】將甲的所有選修課等級從低到高排列可得甲的中位數，由圖可知乙的選修課等級的眾數.【題目詳解】由條形圖可得，甲同學共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5，6門的成績等級分別為3，4，故中位數為，乙成績等級的眾數為5.故選：C.12、A【解題分析】根據函數是偶函數可得，可求出，求出函數在處的導數值即為切線斜率，即可求出切線方程.【題目詳解】函數為偶函數，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【題目點撥】本題考查函數奇偶性的應用，考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關系即可計算作答,【題目詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【題目點撥】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.14、80【解題分析】利用二項式的通項公式進行求解即可.【題目詳解】二項式的通項公式為：，令，所以項的系數為，故答案為：8015、【解題分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【題目詳解】因為命題是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題即，故答案為：16、【解題分析】設，利用“點差法”得到，即可求出離心率.【題目詳解】設直線與橢圓交于，則.因為AB中點,則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極差為；第25百分位數為（2）事件和相互獨立，理由見解析【解題分析】（1）根據定義直接計算極差和百分位數得到答案.（2）計算得到，，，即，得到答案.【小問1詳解】員工年齡的極差為，，故第25百分位數為.【小問2詳解】，，，故，故事件和相互獨立.18、（1）（2）1【解題分析】（1）可由題意，點G在線段AC的垂直平分線上，，可利用橢圓的定義，得到點G的軌跡為橢圓，然后利用已知的長度關系求解出橢圓方程；（2）可通過設l的方程，利用l是圓O的切線，通過點到直線的距離得到一組等量關系，然后將直線與橢圓聯立方程，計算弦長，表示出△MNO面積的表達式，將上面得到的等量關系代入利用基本不等式即可求解出最值.【小問1詳解】依題意有，，即G點軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設橢圓方程為由題意可知，，則，，所以曲線T的方程為【小問2詳解】設，，設直線l的方程為，因為直線l與圓相切，所以，即，聯立直線l與橢圓的方程，整理得，，由韋達定理可得，，所以，又點O到直線l的距離為1，所以當且僅當，即時，取等號，所以的面積的最大值為119、（1）（2）0【解題分析】（1）利用等差數列通項公式基本量的計算可求得，進而利用等比數列的基本量的計算即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可知，則，觀察分析即可解【小問1詳解】設等差數列的公差為d，所以由，，得所以，從而，，所以，，q＝3，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，當n＝1時，為正值﹐所以；當n＝2時，為負值﹐所以；當時，為正值﹐所以又綜上：當n＝3時，有最小值020、（1）；（2）是定值，.【解題分析】(1)根據給定條件探求得，再借助橢圓定義直接求得軌跡的方程.(2)設出直線的方程，再與軌跡的方程聯立，借助韋達定理計算作答.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑，因線段的垂直平分線與半徑相交于點，則，而，于是得，因此，點的軌跡是以C，A為左右焦點，長軸長為4的橢圓，短半軸長有，所以軌跡的方程為.【小問2詳解】依題意，設直線的方程為：，，由消去y并整理得：，，則且，設，則有，，因直線，的斜率，都存在且不為，因此，且，，，所以直線，的斜率，都存在且不為時，是定值，這個定值是.【題目點撥】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）利用的關系，根據等比數列的定義求通項公式.（2）由（1）可得，應用裂項相消法求.（3）應用錯位相減法求得，由題設有，討論為奇數、偶數求的取值范圍【小問1詳解】當時，，可得，當時，，可得，∴是首項、公比都為的等比數列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設，，