閩粵贛三省十校2024學年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

閩粵贛三省十校2024學年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，，（）A. B.C. D.2．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，3．已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.4．已知三個觀測點，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點定位測試中，兩個觀測點同時聽到爆炸聲，觀測點晚聽到，已知聲速為，則爆炸點與觀測點的距離是（）A. B.C. D.5．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓上的A，B兩點關(guān)于原點對稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)6．直線的傾斜角為（）A B.C. D.7．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.48．已知空間三點，，在一條直線上，則實數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-29．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，10．下列命題中，正確的是（）A.若a>b，c>d，則ac>bd B.若ac>bc，則a<bC.若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D.若，則a<b11．復數(shù)，且z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.012．在平面直角坐標系xOy中，過x軸上的點P分別向圓和圓引切線，記切線長分別為．則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.14．已知圓C：和點，若點N為圓C上一動點，點Q為平面上一點且，則Q點縱坐標的最大值為______15．已知方程的兩根為和5，則不等式的解集是______16．圓與圓的位置關(guān)系為______(填相交，相切或相離).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.18．（12分）已知等比數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若，設(shè)（），記數(shù)列的前n項和為，求.19．（12分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍.20．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程21．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據(jù)每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生的人數(shù)及圖中的值；（2）估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù).22．（10分）年月日，中國選手楊倩在東京奧運會女子米氣步槍決賽由本得冠軍，為中國代表團攬入本屆奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若采用分層抽樣的方法，從得分高于分的射擊愛好者中隨機抽取人調(diào)查射擊技能情況，再從這人中隨機選取人進行射擊訓練，求這人中至少有人的分數(shù)高于分的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【題目詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C2、C【解題分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【題目詳解】因為命題“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C3、D【解題分析】設(shè)點，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【題目詳解】設(shè)點，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.4、D【解題分析】根據(jù)題意作出示意圖，然后結(jié)合余弦定理解三角形即可求出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)爆炸點為，由于兩個觀測點同時聽到爆炸聲，則點位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點晚聽到，則點位于的左側(cè)，，,，設(shè)，則，解得，則爆炸點與觀測點的距離為，故選：D.5、B【解題分析】如圖設(shè)橢圓的左焦點為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計算即可.【題目詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點為E，則，因為點A、B關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B6、C【解題分析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C7、A【解題分析】延長交延長線于N,則選:A.【題目點撥】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.8、C【解題分析】根據(jù)三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數(shù)的值.【題目詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【題目點撥】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【題目詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.10、D【解題分析】運用不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，對選項注逐一判斷正誤即可.【題目詳解】選項A中，若，時，則成立，否則，若，則，顯然錯誤，故選項A錯誤；選項B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯誤，故選項B錯誤；選項C中，若，則，顯然錯誤，故選項C錯誤；選項D中，若，顯然，由不等式性質(zhì)知不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等式不變號，即.故選：D11、B【解題分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【題目詳解】解：當z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限時，則有，可得，結(jié)合選項可知，B正確故選：B12、D【解題分析】利用兩點間的距離公式，將切線長的和轉(zhuǎn)化為到兩圓心的距離和，利用三點共線距離最小即可求解.詳解】，圓心，半徑，圓心，半徑設(shè)點P，則，即到與兩點距離之和的最小值，當、、三點共線時，的和最小，即的和最小值為.故選：D【題目點撥】本題考查了兩點間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用的導函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得上單調(diào)遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【題目詳解】，，為偶函數(shù)，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.要使成立，即.故答案為：.14、【解題分析】設(shè)出點N的坐標，探求出點Q的軌跡，再求出軌跡上在x軸上方且距離x軸最遠的點的縱坐標表達式，借助函數(shù)最值計算作答.【題目詳解】圓C：的圓心，半徑，圓C與x軸相切，依題意，點M在圓C上，設(shè)點，則，線段MN中點，因，則點Q的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除點M，N外)，這個軌跡在x軸上方，于是得這個軌跡上的點到x軸的最大距離為：令，于是得，當，即時，，所以Q點縱坐標的最大值為.故答案為：【題目點撥】結(jié)論點睛：圓上的點到定直線距離的最大值等于圓心到該直線距離加半徑.15、【解題分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次不等式的解法即可解出【題目詳解】由題意可知，，解得，所以即為，解得或，所以不等式的解集是故答案為：16、相交【解題分析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對值比較即可.【題目詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標系，先求出面與面的法向量，再計算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.18、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解題分析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知建立方程組，求得數(shù)列的首項和公比，從而求得數(shù)列的通項；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），運用錯位相減法可求得數(shù)列的和【題目詳解】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，可得，記為①又因為，可得，即記為②，由①②可得或，故的通項公式為或（Ⅱ）由（Ⅰ）及可知，所以（），所以③④③－④得，所以【題目點撥】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.（2）錯位相減法：若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求.（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，相消剩下首尾的若干項.常見的裂頂有，，等.（4）分組求和法：把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和.（5）倒序相加法.19、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義進行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個不同的實數(shù)解問題，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個交點問題，利用導數(shù)進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)曲線的切點坐標為，由，所以過該切點的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因為直線與函數(shù)的圖象相切，所以，因為直線與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過原點，所以曲線的切點為，于是有，即；【小問2詳解】由可得：，當時，顯然不成立，當時，由，設(shè)函數(shù)，，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，因此當時，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當時，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當時，有兩個不同的交點，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【題目點撥】關(guān)鍵點睛：利用常變量分離法，結(jié)合轉(zhuǎn)化法進行求解是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）或【解題分析】（1）將橢圓化為標準方程，求得，進而求得離心率；（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理及弦長公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設(shè)直線，，聯(lián)立，化簡得，則，解得，，由弦長公式知，，解得，故直線或21、（1）樣本中高一年級學生的人數(shù)為，；（2）；（3）【解題分析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù).【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數(shù)為.，解得.【小問2詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù)約為.22、（1），平均分為；（2）.【解題分析】（1）利用頻率直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全部相加可得平均成績；（2）分析可知所抽取的人中，成績在內(nèi)的有