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黑龍江省綏化市海城中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則這個(gè)四棱錐的體積是()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖及題設(shè)條件知,此幾何體為一個(gè)四棱錐,其較長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)已知,底面是一個(gè)正方形,對(duì)角線長(zhǎng)度已知,故先求出底面積,再求出此四棱錐的高,由體積公式求解其體積即可【解答】解:由題設(shè)及圖知,此幾何體為一個(gè)四棱錐,其底面為一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形,故其底面積為=2由三視圖知其中一個(gè)側(cè)棱為棱錐的高,其相對(duì)的側(cè)棱與高及底面正方形的對(duì)角線組成一個(gè)直角三角形由于此側(cè)棱長(zhǎng)為,對(duì)角線長(zhǎng)為2,故棱錐的高為=3此棱錐的體積為=2故選B.2.設(shè)偶函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x3﹣8,則{x|f(x﹣2)>0}=(
)A.{x|x<﹣2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<﹣2或x>2}參考答案:B【考點(diǎn)】其他不等式的解法;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).【專(zhuān)題】計(jì)算題.【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)解出函數(shù)的解析式,然后再解分段不等式,分段不等式特點(diǎn)是分段求解,再求并集.解:當(dāng)x<0時(shí),則﹣x>0,由偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=x3﹣8(x≥0)可得,f(x)=f(﹣x)=﹣x3﹣8,則f(x)=,∴f(x﹣2)=,當(dāng)x≥3時(shí),(x﹣2)3﹣8>0,解得x>4;當(dāng)x<3時(shí),﹣(x﹣2)3﹣8>0,解得x<0;綜上:x>4或x<0,故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題以函數(shù)為載體,主要考查偶函數(shù)性質(zhì)、不等式的解法以及相應(yīng)的運(yùn)算能力,考查分段函數(shù)的性質(zhì).3.己知函數(shù)在(0,1)上為減函數(shù),函數(shù)的(1,2)上為增函數(shù),則a的值等于 A.1 B.2 C. D.0參考答案:B4.如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).直線BD的方程為,四邊形BDFE為正方形.若在五邊形ABEFD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自三角形BCD(陰影部分)的概率為A. B. C. D.參考答案:D在中,令,得,即,則,所以,,由幾何概型概率公式,得在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),該點(diǎn)取自三角形(陰影部分)的概率.故選D.5.函數(shù)f(x)=1+log2x與g(x)=2x+1在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是(
)
參考答案:C6.設(shè)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12,則的最小值為A.
B.
C.
D.參考答案:B7.已知為的導(dǎo)函數(shù),則的圖像是(
)參考答案:A8.設(shè)A,B是橢圓C:長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是A.
B.C.
D.參考答案:A當(dāng)時(shí),焦點(diǎn)在軸上,要使C上存在點(diǎn)M滿足,則,即,得;當(dāng)時(shí),焦點(diǎn)在軸上,要使C上存在點(diǎn)M滿足,則,即,得,故的取值范圍為,選A.點(diǎn)睛:本題設(shè)置的是一道以橢圓知識(shí)為背景的求參數(shù)范圍的問(wèn)題.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是利用條件確定的關(guān)系,求解時(shí)充分借助題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為,這是簡(jiǎn)化本題求解過(guò)程的一個(gè)重要措施,同時(shí)本題需要對(duì)方程中的焦點(diǎn)位置進(jìn)行逐一討論.9..函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
(
) A. B. C. D.參考答案:B略10.若方程屬于以下區(qū)間
(
)
A.
B.
C.
D.(1,2)參考答案:答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子,他提出了一條原理:“冪勢(shì)既同冪,則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積,“勢(shì)”指高.這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體體積相等.一般大型熱電廠的冷卻塔大都采用雙曲線型.設(shè)某雙曲線型冷卻塔是曲線與直線,和所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得,如圖所示.試應(yīng)用祖暅原理類(lèi)比求球體體積公式的方法,求出此冷卻塔的體積為
.
參考答案:設(shè)點(diǎn),則,所以圓環(huán)的面積為.因?yàn)椋?,所以圓環(huán)的面積為.
根據(jù)祖暅原理可知,該雙曲線型冷卻塔挖出一個(gè)以漸近線為母線的圓錐后的幾何的體積等于底面半徑為、高為的圓柱的體積,所以冷卻塔的體積為:.12.已知六棱錐P-ABCDEF的七個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,若,PA⊥底面ABCDEF,且六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)為1的正六邊形,則球O的體積為_(kāi)___________________.參考答案:【分析】根據(jù)底面為正六邊形,可知底面外接圓的半徑為,由勾股定理可求外接球的半徑,即可求出體積.【詳解】解:在六棱錐中,由于底面正六邊形邊長(zhǎng)為1,故底面外接圓半徑,,底面,設(shè)外接球的半徑為則解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查錐體的外接球的體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則a的值為
.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】由已知直線y=2a與函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象特點(diǎn)分析一個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩個(gè)圖象的位置,確定a.【解答】解:由已知直線y=2a是平行于x軸的直線,函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象是折線,所以直線y=2a過(guò)折線頂點(diǎn)時(shí)滿足題意,所以2a=﹣1,解得a=﹣;故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象;考查利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù).14.已知函數(shù)若,則
.參考答案:15.已知函數(shù)f(x)=,若m>0,n>0,且m+n=f[f(ln2)],則的最小值為
.參考答案:3+2【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義.【分析】運(yùn)用分段函數(shù)求得m+n=1,再由乘1法和基本不等式,即可得到所求最小值.【解答】解:函數(shù)f(x)=,m+n=f[f(ln2)]=f(eln2﹣1)=f(2﹣1)=log33=1,則=(m+n)()=3++≥3+2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí),取得最小值3+2.故答案為:3+2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用:求最值,注意運(yùn)用乘1法,考查分段函數(shù)值的計(jì)算,屬于中檔題.16.高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考,已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)的概率分別為、、,這三門(mén)科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響,則這位考生至少得個(gè)的概率是
.參考答案:17.已知向量,滿足,,,則
.參考答案:
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1]上的最大值.參考答案:略19.(本小題滿分13分)已知點(diǎn),橢圓:的離心率為,是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于,兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求的方程.參考答案:(Ⅰ)解:設(shè),由條件知,,得.又,所以,.故的方程為.…………5分(Ⅱ)解:當(dāng)軸時(shí)不合題意,故可設(shè):,,.將代入得,當(dāng),即,又點(diǎn)O到直線l的距離d=.所以△OPQ的面積S△OPQ=d·|PQ|=.設(shè),則t>0,.因?yàn)閠+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=時(shí)等號(hào)成立,滿足Δ>0,所以,當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),k=,l的方程為y=-2.…………13分20.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)
(I)當(dāng)a=3時(shí),求不等式f(x)≤4的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集為空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,參考答案:(Ⅰ)[0,4](Ⅱ)[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1]
【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法.N4解析:(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí),f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|,即有f(x)=,不等式f(x)≤4即為或或,即有0≤x<1或3≤x≤4或1≤x<3,則為0≤x≤4,則解集為[0,4];(Ⅱ)依題意知,f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立,∴2≤f(x)min;由絕對(duì)值三角不等式得:f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a)+(1﹣x)|=|1﹣a|,即f(x)min=|1﹣a|,∴|1﹣a|≥2,即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2,解得a≥3或a≤﹣1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1].【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)求出當(dāng)a=3時(shí),f(x)的分段函數(shù)式,原不等式即化為一次不等式組,分別解得它們,再求并集即可;(Ⅱ)利用絕對(duì)值三角不等式可得f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a)+(1﹣x)|=|1﹣a|,依題意可得|1﹣a|≥2,解之即可.21.(本小題滿分14分)已知函數(shù).(1)若對(duì)都成立,求的取值范圍;(2)已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),證明:N,.參考答案:(1);(2)證明見(jiàn)解析.試題分析:(1)先求函數(shù)的定義域,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而對(duì)的取值范圍討論確定函數(shù)在上的單調(diào)性,即可得的取值范圍;(2)先結(jié)合(1),可知當(dāng)時(shí),對(duì)都成立,進(jìn)而可證,化簡(jiǎn),即可證,再結(jié)合(1),可知當(dāng)時(shí),對(duì)都成立,進(jìn)而可證,化簡(jiǎn),即可證.試題解析:(1)解:∵,其定義域?yàn)?∴.
…………1分①當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則在區(qū)間上單調(diào)遞減,此時(shí),,不符合題意.…2分②當(dāng)時(shí),令,得,,當(dāng)時(shí),,則在區(qū)間上單調(diào)遞減,此時(shí),,不符合題意. …………3分③當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時(shí),,符合題意.……4分④當(dāng)時(shí),令,得,,當(dāng)時(shí),,則在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時(shí),,符合題意.……5分綜上所述,的取值范圍為.
…………6分(2)證明:由(1)可知,當(dāng)時(shí),對(duì)都成立,即對(duì)都成立.
…………7分∴.………………8分即.由于N,則.
…………9分∴.
∴.
…………10分由(1)可知,當(dāng)時(shí),對(duì)都成立,即對(duì)都成立.
…………11分∴.
…………12分即.得由于N,則.…………13分∴.∴
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