高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué)(新)第九章空間角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精9。8空間角鞏固·夯實基礎(chǔ)一、自主梳理1。過空間任一點O分別作異面直線a與b的平行線a′與b′，那么直線a′與b′所成的不大于90°的角,叫做異面直線a與b所成的角.2。平面的斜線與它在平面上的射影所成的角叫做這條斜線與平面所成的角。3。過二面角α—l-β棱上任一點O作垂直于棱l的平面,與面α、β的交線分別為OA、OB,那么∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角。4。求線面角和二面角可以轉(zhuǎn)化為平面角去求解,也可以轉(zhuǎn)化為空間兩個向量的夾角去求解。(1）異面直線所成角的向量公式兩異面直線a、b的方向向量分別為m和n.當(dāng)m與n的夾角不大于90°時，異面直線a、b所成的角θ與m和n的夾角相等;當(dāng)m與n的夾角大于90°時,直線a、b所成的角θ與m和n的夾角互補.所以直線a、b所成的角θ=arccos,θ∈（0,）.(2）直線與平面所成角的向量公式直線a的方向向量和平面α的法向量分別為m和n，若m與n的夾角不大于90°時,直線a與平面α所成的角等于m與n的夾角的余角；若m與n的夾角大于90°時,直線a與平面α所成的角等于m與n的夾角的補角的余角，所以直線a的方向向量和平面α所成的角θ=-arccos或θ=arcsin,θ∈［0,］.（3）平面與平面所成角的向量公式平面α與平面β的法向量分別為m和n，則二面角與m、n的夾角θ相等或互補。θ=arccos.當(dāng)二面角α-l—β大于90°時，二面角θ=π—arccos;當(dāng)二面角α-l-β小于90°時,二面角θ=arccos。除利用上面公式計算面面角外，還可以直接在兩個平面內(nèi)分別作垂直于兩平面交線的向量m、n，通過計算向量m、n的夾角來計算兩平面的夾角。注意向量m、n的夾角與兩平面的夾角的關(guān)系。二、點擊雙基1.如果平面的一條斜線長是它在這個平面上射影長的3倍，那么這條斜線與平面所成角的余弦值為（）A。B。C.D。解析：由直線與平面所成角的定義易知，選A.答案:A2。平面α的斜線與α所成的角為30°,則此斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線所成的角的最大值為（)A.30°B。60°C。90°D。150°解析：本題易誤選D，因斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線為異面直線,故最大角為90°.答案:C3.在如圖所示的正方體A1B1C1D1—ABCD中，E是C1D1的中點,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為()A.-B。-C。D。解法一：〔供9（B)選用〕建立空間直角坐標(biāo)系如圖。不妨設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0，0),C（0，2，0），E(0，1,2)。所以=(-2，2,0)，=（0,1，2)，cos〈，〉===.解法二:取A1D1中點F,連結(jié)EF、DF，則EF∥AC。在△EFD中，由余弦定理可求得cos∠DEF=。答案:D4.在△ABC中，M、N分別是AB、AC的中點,PM⊥平面ABC,當(dāng)BC=18，PM=3時,PN和平面ABC所成的角是_________________________________.解析:∵PM⊥平面ABC，∴∠PNM為PN與平面ABC所成的角，tan∠PNM===。∴∠PNM=30°。答案：30°5.PA、PB、PC是從P點引出的三條射線，它們之間每兩條的夾角都為60°，則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為_______________________。解:構(gòu)造正四面體如圖,取AB中點D，連結(jié)PD,則∠CPD為直線PC與平面PAB所成的角.過C作CO⊥PD于O,則O為正三角形PAB的中心。設(shè)PC=a,則PO=a,在Rt△POC中,求得cos∠CPD==.或由cos60°=cos∠CPD·cos30°cos∠CPD=.答案:誘思·實例點撥【例1】如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1.（1)求B1C1與平面AB1C所成角的正切值；(2)求二面角B—B1D—C1的平面角的大小.(1）解：設(shè)AB1∩A1B=O，∵BC∥B1C1，∴BC與面AB1C所成的角即為所求?！摺螦CB=∠BCB1，∴BC在面AB1C上的射影在OC上,∠BCO即BC與面AB1C所成的角,tan∠BCO=.(2)解法一:∵BO⊥AB1,C1B1⊥BO，∴BO⊥平面AB1C1D。作OE⊥DB1于點E，連結(jié)EB,則EB⊥DB1,∠BEO為所求二面角的平面角的補角，∵OE=B1Osin∠EB1O=·=,BO=,∴tan∠BEO=3，∠BEO=60°.∴所求二面角的平面角為120°。解法二:取D1A、D1C1、D1D為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系,則B(1,1，1）、D（0,0,1）、C1(0，1,0)、B1（1，1,0），AB1、D1B1的中點分別為O（1,,）、O1（,,0），∵·=(—1，,-)·(1,1，-1）=0,·=（,,1)·（1，1，—1）=0,∴OC1⊥DB1,O1B⊥DB1.∴cosθ==—.∴所求二面角的平面角為120°。鏈接·提示高考重視二面角的考查，重點是三垂線法作二面角的平面角：首先要找到從二面角的一個面到另一面的一條垂線,再用三垂線定理作出二面角的平面角。對于新教材而言,三垂線定理的意義主要在這里。也可通過求二面角兩個面的兩個法向量的夾角，求得相應(yīng)二面角?！纠?】在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=2AD.求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值.剖析:顯然,本題中的二面角只有一個公共頂點,屬“無棱二面角"，若從定義法入手，必須再找一個公共點，容易發(fā)現(xiàn)BA、CD相交,可得交點E，則SE為二面角的棱.解法一:(定義法)如圖,延長BA、CD交于E,連結(jié)SE，則SE為所求二面角的棱.∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA。∴△ESB是直角三角形,且SE⊥SB。又BC⊥AB,BC⊥SA,∴BC⊥平面SBE?！郤B是SC在面SBE上的射影.∴SE⊥SC?！螧SC是所求二面角的平面角。在Rt△SAB中,易得SB=AB.在Rt△SBC中，SC==AB。cos∠BSC==，即面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值為.解法二：(射影法）如上圖，∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥BC。又AB⊥BC，∴BC⊥面SAB，而AD∥BC，∴AD⊥面SAB。∴△SDC在面SAB上的射影是△SAB。于是cosθ=。∵SA=AB=BC=2AD，∴SB=AB，SC=AB。SD=DC=AB,易求得△SDC中SC邊上的高為，∴S△SDC=AB2,S△SAB=AB2?！郼osθ=.故所求二面角的余弦值是.解法三:(向量法）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.設(shè)AD=1，則SA=AB=BC=2,于是A(0,0，0),D（0,1，0)，C(-2,2，0)，S（0，0,2),=(0,1，0)為面SAB的一個法向量，=（0,1,-2),=(—2，2,2）.設(shè)n=（a,b,1）是面SDC的一個法向量,由n·=0和n·=0得∴a=1,b=2?！鄋=(1，2，1）。∴cos〈n,〉==.由圖可知,所求二面角的余弦值為.講評:本題是一個沒給出棱的二面角求解問題,分別采用三種方法求解.值得認(rèn)真體會,優(yōu)化解題思想方法?！纠?】已知異面直線a、b所成的角為70°,則過空間任意一點M可作多少條不同的直線與a、b所成的角都是55°。解:過M作a′∥a,b′∥b，分直線與a′、b′共面和異面兩種情況討論.(1)當(dāng)所作直線與a′、b′共面時,只有平分110°角的直線l符合題意.（2）當(dāng)所作直線l與a′、b′不在同一平面內(nèi)時（如圖），在l上取一點P，作PO⊥α于O,由于PM與a′、b′所成的角相等（55°),因此，P在α上的射影O在70°角的平分線l1上.