既約子集決定的拓?fù)淇臻g

既約子集決定的拓?fù)淇臻g羅淑珍;徐曉泉【期刊名稱】《《高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯》》年(卷),期】2019(034)004【總頁(yè)數(shù)】6頁(yè)(P481-486)【關(guān)鍵詞】既約子集;RD-空間;MD-空間作者】羅淑珍;徐曉泉【作者單位】江西理工大學(xué)理學(xué)院江西贛州341000;閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院福建漳州363000【正文語(yǔ)種】中文中圖分類】O153.1§1引言在拓?fù)淇臻g中,U是(X,t)的開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)任意網(wǎng)(xi)iWTjxwUn(xi)iWT終在U中.在文［1］中,Ern?利用單調(diào)網(wǎng)定義了monotonedetermined空間(簡(jiǎn)稱MD-空間),并證明了局部超緊空間和Scott拓?fù)淇臻g都是MD-空間?而后，在文［2沖，俞月和寇輝利用定向子集定義了定向空間,證明了由定向空間和連續(xù)映射構(gòu)成的范疇是卡式閉的?易知定向集與單調(diào)網(wǎng)是等價(jià)的,從而定向空間等價(jià)于MD-空間.對(duì)于拓扌卜空間(X,t),AgX稱為既約子集，若對(duì)于閉集B,C,AcBUC,則AcB或者AcC.眾所周知，定向子集一定是既約子集，但反之不然(在Alexandroff拓?fù)淇臻g中,D是定向集當(dāng)且僅當(dāng)D是既約子集)?沿用Erne的思路，一個(gè)很自然的想法是討論由既約子集決定的拓?fù)淇臻g的性質(zhì).本文給出了由既約子集決定的拓?fù)淇臻g的定義，簡(jiǎn)稱RD-空間,得到了它的一些基本性質(zhì),證明了:⑴若IrrT(X)=Irrrd(T)(X),則(X,rd(T))是RD-空間;(2)若拓?fù)淇臻g(X,t)具有性質(zhì)N,則(X,rd(T))是MD-空間,進(jìn)而是RD-空間，并通過(guò)例子說(shuō)明存在非MD-空間的RD-空間，從而RD-空間確實(shí)是MD-空間的推廣.§2預(yù)備知識(shí)設(shè)P是偏序集,xeP,AcP,記對(duì)偶地定義fx和fA.若A=TA(A=!A),則稱A是上集(下集).Af和AJ分別表示A的所有上界和所有的下界?記A8=(AT)l,即A8=T{lx:Aclx}.UcP稱為Scott開(kāi)集，若U=fU且對(duì)定向集D,若vD存在且DAU6=0，有WDWU.P上所有的Scott開(kāi)集形成的拓?fù)浞Q為Scott拓?fù)?，記為o(P).偏序集P上以{P\lx:xeP}為開(kāi)子基生成的拓?fù)浞Q為上拓?fù)?，記為u(P);由所有上集構(gòu)成的拓?fù)浞Q為Alexandroff拓?fù)?，記為a(P)?設(shè)G,HcP,定義GsHoHcfG.稱集族G是定向的，若對(duì)任意G,HwG,存在FwG使得FcfGAfH.記P(V3)={FgP:F是有限集},FinP={fF:FEP(<w)}.設(shè)(X,t)為拓扌卜空間.記cItY和intTY分別表示Y在(X,t)中閉包和內(nèi)部?拓扌卜空間(X,t)稱為局部超緊空間，若VxgUgt,則mFgX(vw)使得xeintTfFcfFcU.AcX稱為既約子集，若對(duì)于任意閉集B,C,AcBUC,則AcB或者AcC.(X,t)中既約子集的全體記為IrrT(X)，即IrrT(X)二{AcX:A是(X,t)的既約子集}?由既約子集的定義易知,AEIrrT(X)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于U1,U1ET,若U1AA6=0,U2AA6=0，則有UinU2AA6=0.定義x"yoxwclT{y},稱為特殊化序?在不引起混淆的情況下"簡(jiǎn)記為s.本文中的拓?fù)淇臻g均設(shè)為TO空間,且在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下所涉及到的序都為特殊化序.定義2.1(見(jiàn)［1,p2068］)設(shè)P是偏序集.UcP稱為弱Scott開(kāi)的，若滿足：⑴U=TU;(2)對(duì)定向集DcP,DSnU6=0nDOU6=0.P上弱Scott開(kāi)集的全體形成了一個(gè)拓?fù)?，稱為弱Scott拓?fù)?，記為o2(P)?顯然o2(P)co(P),且若P是dcpo,則o2(P)=o(P).定義2.2(見(jiàn)［1,p2068］)拓?fù)淇臻g(X,t)稱為monotonedetermined空間，簡(jiǎn)稱MD-空間，若Uet當(dāng)且僅當(dāng)UnclTD6=0aUnD6=0.此時(shí),t稱為monotonedetermined拓?fù)?，?jiǎn)稱MD-拓?fù)?定義2.3(見(jiàn)［2,p218］)設(shè)(X,t)是拓扌卜空間,UcX,U稱為MD-開(kāi)集,若對(duì)于定向集DcX,UnclTD6=0，有DnU6=0.拓扌卜空間(X,t)中所有的MD-開(kāi)集記為md(T).文獻(xiàn)［2］中,md(T)記為d(T).顯然,tcmd(T).若(X,t)是MD-空間，則T=md(T).引理2.1(見(jiàn)［3,p66］)設(shè)D是拓扌卜空間(X,t)的定向集.則cItD二clmd(T)D且st=smd(t).引理2.2(見(jiàn)［4,p221］)設(shè)P是偏序集,C=!C.若F是由P中非空有限集生成的上集構(gòu)成的定向集族且對(duì)任意FeF,有CnF6=0貝U存在定向集DcJC使得對(duì)任意FeF,DnF6=0.本文中未涉及到的記號(hào)和概念參看文獻(xiàn)［5-7］.§3主要結(jié)果定義3.1設(shè)(X,t)是拓?fù)淇臻g，記tR={UcX：vAElrrT(X),UnclTA6=0=UnA6=0}?以tR為子基生成的拓?fù)溆洖閞d(T).因定向集是既約子集，所以tctRcrd(T)cmd(T).引理3.1設(shè)(X,t)是拓扌卜空間，則對(duì)任意AwIrrrd(T)(X),clTA二clrd(T)A.證vAwIrrrd(T)(X)，因tgrd(T),所以cItArclrd(T)A;另一方面，設(shè)xwcItA,下證xwclrd(T)A?對(duì)任意Uwrd(T),xwU,則存在{U1,U2,…,Un}匸tR使得從而因此，對(duì)viw{1,2,…,付口“比人6=0?由A是rd(t)中既約子集且tgrd(t)可知,A是t中既約子集?由tR的定義知UiAA6=0，推出UiAA6=0.從而UAA6=0，即xwclrd(t)A.所以cItA二clrd(T)A.推論3.1設(shè)(X,t)和(X,t')是拓?fù)淇臻g?則有⑴對(duì)任意定向集DgX,cItD二clrd^D.⑵"二Srd^).⑶若tgt',則rd(t)Grd?.證(1)因任一定向集都是rd(t)的既約子集,由引理3.1可得.⑵由⑴知,對(duì)任意xwX,cIt{x}二clrd(T){x},所以"二Srd^)成立.⑶設(shè)tgt',UwtR,下證Uw.設(shè)AwIrrTO(X),UHcItOA6=0.由于tgt',則AwIrpX)且cItArcItOA.從而UHcItA6=0.又因UwtR,有UHA6=0，所以Uw.故rd(pGrd^').定義3.2設(shè)(X,t)是拓?fù)淇臻g若工=9仃),則稱t為既約子集決定的拓?fù)浜?jiǎn)稱RD-拓?fù)?此時(shí),(X,t)稱為既約子集決定的拓扌卜空間簡(jiǎn)稱RD-空間.容易看出，若(X,t)是MD-空間，則(X,t)是RD-空間?下面給出例子說(shuō)明存在非MD-空間的RD-空間，從而RD-空間確實(shí)是MD-空間的推廣.例3.1令P二{a0}U{bn:nwN}.定義P上的偏序如下：⑴vnwN,bnvaO;(2)vn,mwN,bn與bm不可比.則(P,u(P))不是MD-空間.事實(shí)上{aO}6wu(P).設(shè)D為定向集，若{a0}Aclu(p)D6=0假設(shè)a06wD,則miwN使得D二{bi},則{a0}Aclu(p){bi}=0,矛盾?所以aO^D.故{aO}wmd(u(P)),從而u(P)6=md(u(P)).所以(P,u(P))不是MD-空間?下證(P,u(P))是RD-空間,只需證u(P)Rcu(P).⑴(P,u(P))的閉集有：0,P和不含aO的有限集.(2)(P,u(P))的既約子集有:單點(diǎn)集，含aO的子集和不含aO的無(wú)限子集.⑶設(shè)06=UcP,則1。 若a06eU.因clu(P){aO}=P,所以Unclu(P){aO}6=0，但UA{aO}=0.故U6eu(P)R;2。 若aOEU且P\U是無(wú)限集，由(2)知,P\U是既約子集，且clu(P)(P\U)=P,所以u(píng)nclu(P)(P\u)6=0，但un(p\u)二0.故u6wu(p)r；3。 若Ueu(P)R,則aOeU且P\U是有限集?令P\U二{bi1,bi2,…,bin},故Ueu(P).綜上可知,u(P)Rcu(P).所以(P,u(P))是RD-空間.定義3.3設(shè)(X,t)是拓?fù)淇臻g，記tS={UcX：vAeIrrT(X),UnA86=0=UnA6=0}.以tS為子基生成的拓?fù)溆洖镾(t).引理3.2設(shè)P是偏序集,A為(P,u(P))的既約子集?則clu(P)A=AS.證設(shè)A為(P,u(P))中的既約子集?由AcAS和AS=T{lw:Aclw}是u(P))的閉集知,clu(P)AcAS;另一方面存在有限集Fi使得clu(P)A=!Fi,故viwI,clu(P)AcIFi.因A是既約子集，所以meieFi,使vieI,clu(P)Aclei,從而所以clu(P)A=leinAS,故clu(P)A=AS.命題3.1設(shè)(X,t)是拓扌卜空間，令P=(X,“),則有⑴u(P)匸S(t)co2(P).(2)S(t)crd(T).⑶若t=u(P),則S(T)=rd(T).證(1)顯然.⑵設(shè)AwIrrT(X).由引理3.2和u(P)匸t知,cItAgAS.下證tSctR.設(shè)UetS,若U^cItA6=0，因cItAcAS,從而UAAS6=0.由UetS知,UAA6=0.所以UetR.故S(t)crd(t)成立.⑶當(dāng)t=u(P)時(shí),由引理3.2知tS=tR.故S(t)二rd(t).推論3.2設(shè)(X,t)是拓?fù)淇臻g，若t'是X上包含t的RD-拓?fù)?，則S(t)ct'.證由推論3.1和命題3.1知S(t)crd(pcrd?二t'.推論3.3設(shè)P是偏序集，若t'是P上包含u(P)的RD-拓?fù)?，則rd(u(P))ct'.接下來(lái)我們討論在什么條件下,(人也仃))是RD-空間.定理3.1設(shè)(X,t)是拓扌卜空間.若IrpX^Irrrd^XX),則(X"(t))是RD-空間.證顯然,rd(t)crd(rd(T)).只需證rd(rd(t))crd(t).vUErd(t)R,AEIrpX),若UDcItA6=0.由引理3.12化問(wèn)仃)人6=0.由UeP(t)R知UDA6=0，所以,UErd(p.故rd(rd(T))二rd(p,即(X“(t))是RD-空間.設(shè)(X,t)是拓?fù)淇臻g,a是序數(shù)，記因?qū)θ我釶s,tc9(0)仃)crd(a)(t),則有IrpX)n1「問(wèn)(0)仃)底)n1「問(wèn)?)仃)底),故存在最小的序數(shù)入使得Irrrd(入)(T)(X)=Irrrd(入+1)(t)(X).記入為k(X).由定理3.1得出以下結(jié)論.定理3.2設(shè)(X,t)是拓?fù)淇臻g，則(XR(k(X))(t))是RD-空間.引理3.3設(shè)(X,t)局部超緊空間?若A是(X,t)的既約子集，則有定向集DcIA使得DT=AT,從而DS二A'cItA二cItD.證設(shè)AwIrpX).令P=(X,“).考慮集族F二{fFwFinP:AClintTfF6=0}?設(shè)H,GwF.因A是既約的，則intT(TH)AintT(TG)nA6=0取xeintT(TH)AintT(TG)nA?因?yàn)?X,t)是局部超緊的,則存在EeX(<3)使得xeintT(fE)匸TEcintT(TH)AintT(fG).從而TEeF且TEcTHATG.因此,F是定向的.由引理2.2,存在定向集DcJA使得對(duì)任意TFeF,DATF6=0.顯然,ATcDT因DcJA.另一方面，設(shè)y是D的上界?假設(shè)y6eAT,則存在xeA使得x?y.因?yàn)?X,t)是局部超緊空間且xeX'Jyej則存在有限集F使得xeintTTFcTFcX\ly.因此TFeF.所以DATF6=0.故DA(X\Jy)6=0，即存在deD使得d?y,矛盾.因此DTcAT?故DT=AT.從而DS=AS.下證cItA=cItD.顯然,cItDccItA.設(shè)xecItA,vUejxeU.因(X,t)局部超緊的，故存在GeP(vw)使得xeintTTGcTGcu.由xeckA知,AAintTTG6=0.故TGeF,所以DATG6=0.從而,DAU6=0，故xecItD.所以cItD=cItA.定義3.4設(shè)(X,t)是拓?fù)淇臻g稱(X,t)具有性質(zhì)N,若vAelrrT(X),存在定向集DcJA使得cItD=cItA.由引理3.3知，局部超緊空間具有性質(zhì)N.引理3.4設(shè)拓?fù)淇臻g(X,t)具有性質(zhì)N.則rd(T)=md(T).證顯然,rd(T)cmd(T).下證md(T)crd(T).設(shè)AeIrrT(X),Uemd(T).若cItAAU6=0，因(X,t)具有性質(zhì)N,則存在定向集DcIA使得cItD=cItA.故cItDAU6=0,由Uemd(p知DAU6=0，從而IAAU6=0，因此AAU6=0，故Uerd(p.所以,rd(p二md(p.下面的例子說(shuō)明引理3.4的逆命題不成立.例3.2(見(jiàn)［8,p281］)設(shè)P=Nx(NU{8})且賦予偏序如下:(m,n)$),若m=,n<或者=8,ns.則P是dcpo且(Pq(P))是MD-空間,從而是RD-空間.故滿足rd(o(P))=md(o(P))=o(P),但不滿足性質(zhì)N.因?yàn)檎缥模?］中指出,P是既約閉集，但對(duì)于任意定向集D/P=cla(P)D=lvD不成立.推論3.4若拓?fù)淇臻g(X,t)具有性質(zhì)N,則對(duì)任意AElrrT(X)/clTA=clrd(T)A.證VAelrrT(X),由性質(zhì)N存在定向集DeIA使得cItD=cItA?從而由引理2.1和弓I理3.4知,cItD二clmd(T)D二clrd(T)Declrd(T)AecItA=cItD.所以clTA=clrd(T)A.推論3.5若拓?fù)淇臻g(X,t)具有性質(zhì)N,則(X,rd(T))是MD-空間,從而是RD-空間.證只需證md(rd(T))erd(T).vUemd(rd(T))/AeIrrT(X)，若UAcItA6=0，由條件知存在定向集DeJA使得UAcItD6=0.又由推論3.4,cItD二clrd(T)D,從而UAclrd(T)D6=0.因Uwmd(rd(T)),故UAD6=0，從而UAA6=0.所以Uerd(T).故(X,rd(T))是MD-空間,從而是RD-空間.命題3.2設(shè)(X,t)和(Y,t‘)是拓?fù)淇臻g.若f:(X,T)-(Y/t,)連續(xù)，則f:(X,rd(T))f(Y,rd(T'))連續(xù).證VUet'R,下證f-1(U)ETR.設(shè)AwIrrT(X).若f-1(U)ncItA6=0，則有f(clTA)nU6=0.由f連續(xù),f(clTA)eclTOf(A)且彳(人)wIrrTO(X),故clTOf(A)nU6=0.由Uw知f(A)nU6=0.因此f-1(U)nA6=0，從而f-1(U)WTR.故f:(X,rd(T))-(Y,rd(T'))連續(xù).命題3.3設(shè)(X,t)是RD-空間,(Y/t')拓扌卜空間,f:(X,T)j(Y,T').則下列條件等價(jià).f是連續(xù)映射.VAwIrrT(X),f(clTA)eclTOf(A).證(1R⑵顯然.⑵n(1)vUwt：下證f-1(U)WT.設(shè)AwIrrT(X),f-1(U)nclTA6=0.取XWf-1(U)nclTA,從而f(x)wU且f(x)Wf(clTA).由(2)知,f(x)wclTOf(A).由f(x)wUWT可知Unf(A)6=0，從而Anf-1(U)6=0.所以f-1(U)wrd(T)=t.故f是連續(xù)映射.命題3.4RD-空間的連續(xù)收縮是RD-空間.證設(shè)(X,t)是RD-空間,(Y,t')是一拓?fù)淇臻g,f:(X,T)j(Y,t')和g:(Y,T')j(X,t)是連續(xù)映射且fy二idY.下證Y是RD-空間?設(shè)U已A是X的既約子集且f-1(U)ClclTA6=0，則f(f-1(U)AclTA)6=0UAclT0f(A)6=0?因f連續(xù)，所以f(A)是Y中既約子集?由UW可知UAf(A)6=0，從而f-1(U)AA6=0.所以f-1(U)WTR.又因(X,t)是RD-空間，得f-1(U)ET?注意到fy二idY,故g-1(f-1(U))=(fog)-1(U)二U是Y中開(kāi)集?所以，丫是RD-空間.類似于MD-空間，對(duì)于RD-空間,有如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}3.1⑴對(duì)給定的TO空間(X,t)(特別地，對(duì)偏序集P上的上拓?fù)鋟(P)),是否存在細(xì)于T的最小RD-拓?fù)洌?2)RD-空間范疇是否為TO空