黑龍江省綏化市海倫第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

黑龍江省綏化市海倫第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在

平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離的平方差等于1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是

（

）（A）圓

（B）拋物線

（C）雙曲線

（D）直線

參考答案：B略2.數(shù)列中，a1=1，Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想當(dāng)n≥1時(shí)，Sn= （

） A． B． C． D．1－參考答案：B略3.如下程序框圖是由直角三角形兩條直角邊a，b求斜邊的算法，其中正確的是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】根據(jù)流程圖的定義和直角三角形斜邊的公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)直角三角形斜邊的公式可知，先利用輸入輸出框輸入兩個(gè)直角邊a，b，再利用矩形框（處理框），根據(jù)勾股定理可得斜邊c=，利用輸入輸出框，即可輸出c的值．則滿足條件的流程圖只有A滿足條件．故選：A．4.設(shè)a，b∈R，則“a=0”是“ab=0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：設(shè)a，b∈R，則由“a=0”能推出“ab=0”，是充分條件，由ab=0推不出a=0，不是必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，是一道基礎(chǔ)題．5.已知，若在上的極值點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．1

B．2

C．3

D．6參考答案：C略6.復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為

(

)A．（0，2）

B．

C．

D．

參考答案：A8.圓的圓心到直線的距離是（

）(A)

0

（B）1

(C)

(D)參考答案：D試題分析：因圓心為,直線,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,故應(yīng)選D.考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式.9.A．

B．

C．

D.參考答案：C10.已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在處的切線方程是

．參考答案：函數(shù)，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，即在處的切線斜率為2.又時(shí)，，所以切線為：，整理得：.

12.右下圖是某縣參加2013年噶考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形圖表示的學(xué)生人數(shù)一次記為(如表示身高（單位：），內(nèi)的學(xué)生人數(shù)），右圖是統(tǒng)計(jì)作圖中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖，現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160（含不含）的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)的條件是

參考答案：i<813.已知在上是的減函數(shù)，則的取值范圍是__________.參考答案：(1，2)14.使不等式恒成立的m的取值范圍是區(qū)間（a,b），則b－a=

.參考答案：815.已知，且，則m等于________．參考答案：16.定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b（a，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．給出如下命題：①函數(shù)g（x）=﹣2是函數(shù)f（x）=的一個(gè)承托函數(shù)；②函數(shù)g（x）=x﹣1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個(gè)承托函數(shù)；③若函數(shù)g（x）=ax是函數(shù)f（x）=ex的一個(gè)承托函數(shù)，則a的取值范圍是[0，e]；④值域是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；其中，所有正確命題的序號(hào)是．參考答案：②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，由f（x）=知，x＞0時(shí)，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），不滿足f（x）≥g（x）=﹣2對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，可判斷①；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），易證t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，可判斷②；③，令h（x）=ex﹣ax，通過(guò)對(duì)a=0，a≠0的討論，利用h′（x）=ex﹣a，易求x=lna時(shí)，函數(shù)取得最小值a﹣alna，依題意即可求得a的取值范圍，可判斷③；④，舉例說(shuō)明，f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，則f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，可判斷④．【解答】解：①，∵x＞0時(shí)，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），∴不能使得f（x）≥g（x）=﹣2對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，故①錯(cuò)誤；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），則t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，故函數(shù)g（x）=x﹣1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個(gè)承托函數(shù)，②正確；③，令h（x）=ex﹣ax，則h′（x）=ex﹣a，由題意，a=0時(shí)，結(jié)論成立；a≠0時(shí)，令h′（x）=ex﹣a=0，則x=lna，∴函數(shù)h（x）在（﹣∞，lna）上為減函數(shù)，在（lna，+∞）上為增函數(shù)，∴x=lna時(shí)，函數(shù)取得最小值a﹣alna；∵g（x）=ax是函數(shù)f（x）=ex的一個(gè)承托函數(shù)，∴a﹣alna≥0，∴l(xiāng)na≤1，∴0＜a≤e，綜上，0≤a≤e，故③正確；④，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，則f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，故g（x）=2x﹣1是f（x）=2x的一個(gè)承托函數(shù)，④錯(cuò)誤；綜上所述，所有正確命題的序號(hào)是②③．故答案為：②③．17.設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為，.（1）已知點(diǎn)在橢圓C上，求實(shí)數(shù)m的值；（2）已知定點(diǎn)．①若橢圓C上存在點(diǎn)，使得，求橢圓C的離心率的取值范圍；②如圖，當(dāng)時(shí)，記M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線分別與橢圓C交于另一點(diǎn)P，Q，若且，求證：為定值．參考答案：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)，解得（舍負(fù)）.（先求標(biāo)準(zhǔn)方程也可）

....................4分（2）①點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，化簡(jiǎn)，得，

....................6分與橢圓方程聯(lián)立，得，而，則解得，離心率，（也可以從長(zhǎng)半軸短半軸與圓的半徑關(guān)系求的范圍）所以，橢圓C的離心率的取值范圍為.

....................10分②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，由得，則，

....................12分代入，整理得，而，則，而由題意，顯然，則，所以；

....................14分同理，由得，，所以，.

....................16分（也可用點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線的方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將用表示，同理解出關(guān)于的表達(dá)式，證得結(jié)果，用點(diǎn)在短軸端點(diǎn)的特例猜出結(jié)果得2分）

19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】(1)當(dāng)時(shí)，討論取值范圍去絕對(duì)值符號(hào)，計(jì)算不等式.(2)利用絕對(duì)值不等式求函數(shù)最大值為，計(jì)算得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)不等式即為①當(dāng)時(shí)不等式可化為得故②當(dāng)時(shí)不等式可化為恒成立故③當(dāng)時(shí)不等式可化得故綜合得，不等式的解集為

（2）所以得為所求【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.20.已知，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：當(dāng)時(shí)，

解得…………………（3分）

當(dāng)時(shí)，由得解得…（11分）綜上可知：…………（12分）略21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，求證：．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，．令，得…………………………1分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.…………………2分

因此，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.………………3分 （2）由可知：是偶函數(shù)．于是，對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立．……………4分 由，得．…………………………5分1

當(dāng)時(shí)，，此時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增． 故，符合題意．…………………6分2

當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：極小值由上表可知：在區(qū)間上，．……8分依題意，得.又．綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．……………………9分（3），當(dāng)，且時(shí)，，即

，………………………12分，，…，，故．………14分22.如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且∠EDF=∠ECD．（1）求證：△DEF∽△PEA；（2）若EB=DE=6，EF=4，求PA的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】（1）證明∠APE=∠EDF．又結(jié)合∠DEF=∠AEP即可證明△DEF∽△PEA；（2）利用△DEF∽△CED，求EC的長(zhǎng)，利用相交弦定理，求EP的長(zhǎng)，再利用切割線定理，即可求PA的長(zhǎng)．【解答】（本題滿分為10分）解：（1）證明：∵CD∥AP，∴∠APE=∠ECD，∵∠EDF=∠ECD，∴∠A