應(yīng)用隨機(jī)過程講義一

應(yīng)用隨機(jī)過程講義一第1頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)要求不僅是掌握知識，更重要的是掌握思想學(xué)會把抽象的概率和實(shí)際模型結(jié)合起來第2頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/112學(xué)習(xí)重點(diǎn)用隨機(jī)變量表示事件及其分解——基本理論全概率公式——基本技巧數(shù)學(xué)期望和條件數(shù)學(xué)期望——基本概念第3頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/113第一講

第4頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/114隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)試驗(yàn)第5頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/115要點(diǎn)：在相同條件下，試驗(yàn)可重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的一切結(jié)果是預(yù)先可以明確的，但每次試驗(yàn)前無法預(yù)先斷言究竟會出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。第6頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/116樣本點(diǎn)

對于隨機(jī)試驗(yàn)E，以ω表示它的一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，稱ω為E的一個(gè)樣本點(diǎn)。

樣本空間

樣本點(diǎn)的全體稱為樣本空間，用Ω表示。Ω＝{ω}第7頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/117隨機(jī)事件粗略地說，樣本空間Ω的子集就是隨機(jī)事件，用大寫英文字母A、B、C等來表示。

事件的關(guān)系與運(yùn)算

第8頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/118第9頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/119第10頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1110示性函數(shù)是最簡單的隨機(jī)變量用隨機(jī)變量來表示事件第11頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1111用示性函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)算來表示相關(guān)事件的關(guān)系及運(yùn)算第12頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1112公理化定義集類第13頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1113第14頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1114概率第15頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1115第16頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1116第17頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1117概率是滿足非負(fù)性；歸一性；可列可加性；的集函數(shù)。可測集粗略地說，可以定義長度（面積、體積）的點(diǎn)集即為可測集；反之稱為不可測集。第18頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1118概率的性質(zhì)1.

2.3.有限可加性

第19頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/11194.

5.6.

第20頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/11207.8.可列次可加性9.概率連續(xù)性第21頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1121這部分的詳細(xì)討論可以參見

《隨機(jī)數(shù)學(xué)引論》

林元烈，清華大學(xué)出版社第22頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1122Buffon試驗(yàn)：最早用隨機(jī)試驗(yàn)的方法求某個(gè)未知的數(shù)。測度：滿足非負(fù)性、可列可加性的集函數(shù)。第23頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1123第24頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1124實(shí)際上，設(shè)集類以上集類和A生成相同的σ-代數(shù),都是上面提到的一維Borelσ-代數(shù)，即第25頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1125直觀地說，中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間，半閉半開區(qū)間，單個(gè)實(shí)數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并交運(yùn)算而得出的集類。第26頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1126第27頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1127

第28頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1128第29頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1129第30頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1130事件的獨(dú)立性第31頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1131

幾個(gè)事件的獨(dú)立性第32頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1132第33頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1133第34頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1134第35頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1135比較甲乙兩人的結(jié)果，從以上結(jié)果可以得到什么結(jié)論？第36頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1136機(jī)遇偏愛有心人！第37頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1137

一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重復(fù)次數(shù)足夠多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！

第38頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1138只要功夫深，鐵杵磨成針！第39頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1139隨機(jī)變量定義解釋第40頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1140離散型隨機(jī)變量的示性函數(shù)表示法

這說明對于任一d.v.r.，總可以分解為互不交的事件的示性函數(shù)的迭加。第41頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1141隨機(jī)變量等價(jià)定義分布函數(shù)第42頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1142連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)微元法求概率密度函數(shù)第43頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1143二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維Borel-σ代數(shù)由平面上矩形的全體生成的σ－代數(shù)第44頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1144聯(lián)合密度函數(shù)亦可用微元法求第45頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1145常用隨機(jī)變量的分布（列出,期望方差）兩點(diǎn)分布正態(tài)分布二項(xiàng)分布指數(shù)分布Poisson分布均勻分布幾何分布二維正態(tài)分布第46頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1146兩點(diǎn)分布若r.v.X只取1和0兩個(gè)值，且則稱r.v.X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。簡記為：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)第47頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1147EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2第48頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1148EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12第49頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1149EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ2第50頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1150二維正態(tài)分布的優(yōu)良性質(zhì)

X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)第51頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1151隨機(jī)變量的數(shù)字特征及條件數(shù)學(xué)期望第52頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望（復(fù)習(xí)）

“加權(quán)平均”為了引出一般隨機(jī)變量的定義，我們先介紹R-S積分的概念。第53頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1153黎曼－斯蒂爾吉斯積分第54頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1154任分任取求和取極限第55頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1155第56頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1156在定義了R-S積分之后，我們可以將所有隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望形式進(jìn)行統(tǒng)一。第57頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1157第58頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1158數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（E|Xi|<∞）第59頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1159

交換求和順序第60頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1160同理，對連續(xù)型隨機(jī)變量有相似的結(jié)論成立第61頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1161第62頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1162第63頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1163第64頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1164第65頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1165Chebyshev不等式第66頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1166

條件數(shù)學(xué)期望第67頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1167第68頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1168第69頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1169用示性函數(shù)的線性組合表示離散型隨機(jī)變量（見前面“隨機(jī)變量”部分）第70頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1170例：將概率運(yùn)算納入求期望運(yùn)算的范疇第71頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1171理解E(X|Y)是ω的函數(shù)，也是Y(ω)的函數(shù)，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相應(yīng)的值；當(dāng)Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，E(X|Y)也是離散型隨機(jī)變量。第72頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1172第73頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1173推廣至一般隨機(jī)變量第74頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1174將x替換成X第75頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1175求條件數(shù)學(xué)期望的一般步驟先寫出固定條件(如Y=yj)的情況下X的條件分布律或條件密度函數(shù)；根據(jù)條件數(shù)學(xué)期望的定義，通過求和或積分得到條件下的數(shù)學(xué)期望；將條件(Y=yj)替換成一般情況下的隨機(jī)變量(Y)第76頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1176條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，則(重要!)全期望公式第77頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1177第78頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年