高二數(shù)學（理科答案）

遂寧市高中2024屆第四學期期末教學水平監(jiān)測數(shù)學（理科）試題參考答案及評分意見一、選擇題（5×12=60分）題號123456789101112答案ADBBCCDBCADB二、填空題（每小題5分，共20分）13.4014.且15.16.3三、解答題17.【詳解】（1）設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為由條件可得.所以..................................................................2分所以........................................................................................3分當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為；...............................................4分當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為...................................................5分（2）當拋物線的焦點在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標準方程為將點的坐標代入拋物線的標準方程得...........................................6分此時，所求拋物線的標準方程為；................................................................7分當拋物線的焦點在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標準方程為，將點的坐標代入拋物線的標準方程得，解得，................................8分此時，所求拋物線的標準方程為.....................................................................9分綜上所述，所求拋物線的標準方程為或........................................10分【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點,所以..1分又因為,且點P處的切線恰好與直線垂直,所以,........................................................................................3分由解得,所以.......................................5分（2）由(1)知，令，即，解得或，令，即，解得，..................................................7分所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，..............9分根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有或..................................................................................................11分解得或......................................................................................................12分【詳解】【詳解】（1）由題知...............................5分因為，所以認為相關(guān)變量有較強的相關(guān)性..............................................6分.（2）由（1）得....10分.回歸方程為當時，即2023年該公司投入研發(fā)人數(shù)約540人...............................12分.20.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：感興趣不感興趣合計男生12416女生9514合計21930................................3分..，.............................................................5分所以沒有85%的把握認為學生對“數(shù)學建?！边x修課的興趣度與性別有關(guān)；........6分（2）由題意可知X的取值可能為0，1，2，3，則，，，，故X的分布列為X0123P......................................................................12分21.【詳解】（1）雙曲線的焦點坐標為，所以橢圓的焦點坐標為1分.又橢圓中，面積最大值，故.................................3分所以橢圓的方程為：；............................................................................4分設(shè)，由于直線過原點，則，.............................................5分所以直線的斜率.................................................................7分（3）由題設(shè)，可設(shè)直線l為且，聯(lián)立橢圓方程，整理得：，則，所以，即且，所以，，.....................................................8分若存在使恒成立，則，.......................9分由橢圓對稱性，不妨令在軸上方且，顯然，所以，即，.............10分所以，即11分綜上，，所以，存在使恒成立........................................................12分【詳解】（1）求導............................................................................1分①當時，在上遞增...........................................................................3分②當時，在上遞減，在上遞增.....................5分（2）①等價于有兩個零點，令，則，在時恒成立，所以在時單調(diào)遞增，所以有兩個零點，等價于有兩個零點..........6分因為，所以當時，，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；當時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，所以，若，得，此時恒成立，沒有零點；若，得，此時有一個零點；若，得，因為，，，所以在，上各存在一個零點，符合題意，綜上，a的取值范圍為..............................................................8分（方法不唯一）②要證即證：，即證，由（2）中①知，，所以只需證.............