自動化學(xué)院學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)第三章

§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)內(nèi)容簡介本節(jié)研究解析函數(shù)的無窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。研究表明：一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示。這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別。0001兩邊在積分號下對z0求導(dǎo)得Cf

(

z

)

dz

(

z

?

D

)對積分公式

f

(

z

)

=2pi z

-

zCdz20(

z

-

z

)1

f

(

z

)f

'

(

z

)

=2piCdz

3000f

(

z)2!f

"(

z

)

=2pi

(

z

-

z

)00dz

(n

=

1,2,)(z

-

z

)f

(z)n!f

(z

)

=C(

n)n+12pi形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明。00C(

n)(z

-

z

)f (z

)

=n+1它的n階導(dǎo)數(shù)為解析函數(shù)f

(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),dz

(n

=

1,2,)n!

f

(z)2pi定理Dzf

(

z

)f

(

z

+

Dz)

-"

z

?

D f

'(

z

)

=

lim00Dz

fi

00

0其中C為在f

(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的"

-

正向簡單閉曲線,

而且它的內(nèi)部

D.證明

用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義。先證n

=1的情形.Cdz-

Dz00f

(

z)2pi z

-

z1f

(

z

+

Dz)

=00f

(

z

)

dz1f

(

z

)

=2pi

C

z

-

z由柯西積分公式DzC

z

-

z0

-

Dz

C

z

-

z0f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

=

1

[

f

(z)

dz

-

f

(z)

dz]2piDz=

1

f

(z)

dz2pi

C

(z

-

z0

-

Dz)(z

-

z0

)令為I=Cdzdz

+0020-

Dz

)(

z

-

z

)2Dzf

(

z

)11

f

(

z

)2pi

C

(

z

-

z2pi

(

z

-

z

)z

-

z

-

D

z z

-

zdzI

=2

ds0000D

z f

(

z

)1-

D

z

)(

z

-

z

)2D

zf

(

z

)1￡

2p

C2p

C

(

z

-

z20則$M

,?

f

(z)￡

M

,d

=min

z

-zz?C取Dz

<

1

d

,則有

f

(z)在C上解析，\f

(z)在C上連續(xù)100000<

21

￡

1z

-

z

dz

-

z

?

d

,2

z

-

z

-

Dz

dz

-

z

-

Dz

?

z

-

z

-

Dz

>

d

,20000=CDzfi

0dz

（*）f

(z)f

(z

+

Dz)

-

f

(z

)

1f

'(z

)

=

limDz

2pi

(z

-

z

)I

=0,從而有(L

—C

的長度）ML顯然，limD

z

fi

0pd

3\

I

<

D

z再利用(*)式及推導(dǎo)(*)的方法可證n

=2的情形.Dz0=

2!

f

'(

z0

+

Dz

)

-

f

'(

z0

)=

limDz

fi

0f

''(

z

)2pi

C

(

z

-

z0

)f(z

)

dz

依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得3Cdzn+100(

n

)f

(

z

)n!f

(

z

)

=2pi

(

z

-

z

)定理表明

f

(

z)在z平面上

D內(nèi)解析

f

(

z)在D內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)

,即在D內(nèi)解析

-

-無窮次可導(dǎo)

.一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。e

z1)C

(

z

-

1)5

dz

2)C

(1

+

z

2

)2

dzC

:

z

=

r

>

1cos

pz求下列積分值例1C124!5p

52pi(-p

4

)

=

-

i=

cospz

dz

=

2pi

(cospz)(4)z

=1(z

-

1)

（5

-

1）!1)cospz在全平面處處解析解C1

,C2不相交且在C的內(nèi)部C2

:

z

+

i

=

r2

,e

z2)

(z

2

+

1)2

在z

=

–i處不解析.取C1

:

z

-

i

=

r121222\

C2

dz(1

+

z

)2

dz

+

C(1

+

z

)ez

ez2

dz

=

Cez2122=

Cdz(z

+

i)(z

+

i)2ezdz

+

C(z

-

i)(z

+

i)2(1

+

z

)ezezezz

=-iz

=i(2

-

1)!

(z

-

i

)=

(2

-

1)!

(z

+

i

)(