勾股定理經(jīng)典例題(含答案)

勾股定理經(jīng)典例題(含答案)AC·BC，求證：△ABC為直角三角形。思路點撥：利用勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用，構(gòu)造含角的直角三角形，然后利用已知條件進行推導(dǎo)。解析：連接BD，根據(jù)勾股定理，在△ABD和△CBD中，分別有：AB2=AD2-BD2BC2=BD2-CD2將CD·DE=AC·BC代入得：CD·DE=AC·(BD2-CD2)移項得：AC·CD+(AC·DE)=BD2·AC由于AC·BD=AB·BC，所以BD2·AC=AB2·BC2，代入上式得：AC·CD+AC·DE=AB2·BC2-AC·CD化簡得：AC·DE=AB2·BC2-2AC·CD再利用勾股定理，在△ABC中有：AB2=AC2+BC2代入得：AC·DE=AB2·BC2-2AC·CD=AC2·BC2+BC?-2AC·CD=BC2(AC2-2CD2)+CD2(BC2-AC2)因為AC2-2CD2<0，所以BC2-AC2>0，所以CD2(BC2-AC2)<0，所以AC·DE<0，即AC和DE異向，所以∠BAC和∠EDC互余，即∠BAC為直角，所以△ABC為直角三角形。舉一反三【變式】：如圖，已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，D為BC中點，E為AC上一點，DE與AB垂直，求DE的長。思路點撥：構(gòu)造含角的直角三角形，利用勾股定理進行計算。解析：連接AE，根據(jù)勾股定理，在△ADE和△ABC中，分別有：AD2=AE2-DE2AB2=AC2-BC2將DE與AB垂直代入得：AE·DE=AB2代入已知條件得：5·DE=9∴DE=1.8。勾股定理是數(shù)學(xué)中的一個基本定理，它的實際應(yīng)用非常廣泛。本文將介紹勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，包括用勾股定理求兩點之間的距離問題和用勾股定理求最短問題。用勾股定理求兩點之間的距離問題在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。我們需要求出A、C兩點之間的距離，以及目的地C在營地A的什么方向。解析：首先，我們通過作BE//AD，得到∠DAB=∠ABE=60°。然后，由30°+∠CBA+∠ABE=180°可得∠CBA=90°，即△ABC為直角三角形。由已知可得BC=500m，AB=。利用勾股定理可得AC=1000m。其次，我們需要確定目的地C在營地A的什么方向。在Rt△ABC中，由BC=500m和AC=1000m可得∠CAB=30°。又因為∠DAB=60°，所以∠DAC=30°，即點C在點A的北偏東30°的方向。舉一反三變式：一輛裝滿貨物的卡車要開進一個高2.5米、寬1.6米的廠門，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？解析：我們需要判斷當卡車位于廠門正中間時，其高度是否小于CH。如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥AB，與地面交于H。由OC=1米和OD=0.8米可得CD=0.6米。又因為車廂高度為2.5米，所以CH=0.6+2.3=2.9米。因此高度上有0.4米的余量，卡車能通過廠門。用勾股定理求最短問題國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造。某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖所示。我們需要計算哪種架設(shè)方案最省電線。解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（1）和圖（2）中的總線路長分別為3。在圖（3）中，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√2，BC=1，AC=√3。同理，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=√2，CD=1，AC=√3。因此，圖（3）中的路線長為2√2+2√3≈5.65。在圖（4）中，延長EF交BC于H，則FH⊥BC，BH=CH。由∠FBH=45°可得FB=EA=ED=FC=1/√2。因此，EF=1-2FH=1-1/√2。由此可得圖（4）中總線路的長為4EA+EF≈5.66。綜上所述，圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線。舉一反三a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，因此，(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。由此可得a=3，b=4，c=5。因為32+42=52，所以a2+b2=c2。根據(jù)勾股定理的逆定理，可以得出△ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系，在證明中常常需要使用。舉一反三，例如在四邊形ABCD中，已知∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，需要求解四邊形ABCD的面積。連結(jié)AC，因為∠B=90°，AB=3，BC=4，所以AC2=AB2+BC2=25（根據(jù)勾股定理），從而AC=5。又因為AC2+CD2=169，AD2=169，所以AC2+CD2=AD2，因此∠ACD=90°（根據(jù)勾股定理逆定理）。變式2：已知△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2（其中m和n為正整數(shù)，且m＞n），需要判斷△ABC是否為直角三角形。解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，只需要證明a2+b2=c2即可。證明過程如下：因此，△ABC是直角三角形。變式3：如圖，正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AD。需要判斷FE是否垂直于DE。解析：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a。根據(jù)題意，可以列出以下方程：EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF（如圖），則DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。因此，DF2=EF2+DE2，即FE⊥DE。類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法例題1：若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，則根據(jù)勾股定理，有：（3x）2+（4x）2＝202化簡得x2＝16，因此直角三角形的面積為6x2＝96?？偨Y(jié)升華：在直角三角形中，可以通過設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解，計算邊長和面積等。BD=BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合），因為AB=AC=BC=2（等邊三角形各邊都相等），所以BD=1。在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，AB2=AD2+BD2，即AD2=AB2-BD2=4-1=3。因此，AD=√3。由等腰三角形的性質(zhì)可得，S△ABC=BC·AD=2√3。考慮一個直角三角形，周長為12cm，斜邊長為5cm，求其面積。設(shè)兩直角邊長分別為x和y，則由勾股定理可得x2+y2=52-22=21。又因為周長為12cm，即x+y+√(x2+y2)=12，代入前式得2xy=12-21=-9。因此，直角三角形的面積為xy=-9/2=-4.5（cm2）。給定一個直角三角形的三邊長分別為n+1，n+2，n+3，求n。由勾股定理可得(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2，化簡得n2=4，因此n=2。判斷以下各組數(shù)能否組成直角三角形。對于選擇D，計算得82≠(40+39)×(40-39)，因此以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。同理可判斷其它選項，正確答案為A。四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求其面積。由勾股定理可得AC=5，且∠ACD=90°。因此，S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36。公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°。點A處有一所中學(xué)，AP＝160m。如果拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么學(xué)校是否會受到噪聲影響？如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？解題思路：1.要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m，小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。2.要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。解題過程：作AB⊥MN，垂足為B。在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，∴AB＝AP＝80。因為點A到直線MN的距離小于100m，所以這所中學(xué)會受到噪聲的影響。假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響，那么AC＝100(m)，由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600，∴BC＝60。同理，拖拉機行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響，那么AD＝100(m)，BD＝60(m)，∴CD＝120(m)。拖拉機行駛的速度為:18km/h＝5m/s，所以t＝120m÷5m/s＝24s。答案：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒?？偨Y(jié)升華：勾股定理是求線段長度的重要方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三：【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了多少步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為3+4＝7(m)。設(shè)走“捷徑”的路長為x，那么少走的路長為7-x。因為2步為1m，所以他們僅僅少走了4步路，即2m?！咀兪?】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。請直接寫出單位正三角形的高與面積。解析：單位正三角形的高等于邊長的一半，即h=1/2。面積為底乘以高再除以2，即S=1/2×1/2×1=1/4?！敬鸢浮浚?）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積為24平方個單位面積。（3）過A作AK⊥BC于點K（如圖所示），則在Rt△ACK中，根據(jù)勾股定理得AC的長為。思路點撥：對于第二問，可以直接數(shù)數(shù)得出答案；對于第三問，需要利用勾股定理，通過作垂線將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再求出AC的長。解：（3）過A作AK⊥BC于點K（如圖所示），則在Rt△ACK中，根據(jù)勾股定理得AC的長為。總結(jié)升華：此題考查了勾股定理和垂線的應(yīng)用。在解決問題時，可以通過轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為已知的知識點來解決。（二）方程的思想方法4、如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求、的值。思路點撥：由勾股定理可得，再利用三角函數(shù)的定義求出、的值。解：在R