中考數學專題復習（四）壓軸題北師大版

中考專題復習（四）壓軸題（學生卷）1、(2007宜賓)已知：如圖，二次函數y=x2+(2k–1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點.(1)求這個二次函數的解析式；(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使銳角△AOBB的坐標；(3)對于(2)中的點B，在拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由.2、（2007廣安）如圖，已知拋物線y=－x2+2x+3交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C。（1）求點A、B、C的坐標。（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積。（3）連接AC，在x軸上是否存在點P使△ACP為等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。3、（07瀘洲）如圖9，已知直線及拋物線，且拋物線C圖象上部分點的對應值如下表：x…2101234…y…5034305…求拋物線C對應的函數解析式；求直線與拋物線C的交點A、B的坐標；若動點M在直線上方的拋物線C上移動，求△ABM的邊AB上的高h的最大值。4、（07成都）在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和．（1）求此二次函數的表達式；（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；yx11O（3）若點是位于該二次函數對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍．yx11O5、（07德陽）．如圖，已知與軸交于點和的拋物線的頂點為，拋物線與關于軸對稱，頂點為．

（1）求拋物線的函數關系式；（2）已知原點，定點，上的點與上的點始終關于軸對稱，則當點運動到何處時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形？123554321（3）在上是否存在點，使是以為斜邊且一個角為123554321圖126、（07巴中）如圖12，以邊長為的正方形的對角線所在直線建立平面直角坐標系，拋物線經過點且與直線只有一個公共點．圖12（1）求直線的解析式．（3分）（2）求拋物線的解析式．（3分）（3）若點為（2）中拋物線上一點，過點作軸于點，問是否存在這樣的點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（5分）7、（07自貢）△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，拋物線y＝x2－2ax＋b2交x軸于兩點M，N，交y軸于點P，其中M的坐標是(a＋c，0)．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）若S△MNP＝3S△NOP，①求cosC的值；②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當的值，使三角形MND（D為拋物線的頂點）是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．8、（07資陽）如圖10，已知拋物線P：y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：x…3212…y…40…圖10(1)求A、B、C三點的坐標；圖10(2)若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數關系，并指出m的取值范圍；(3)當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍.99、（07綿陽）如圖，已知拋物線y=ax2+bx－3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為．設⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點為E．（1）求m的值及拋物線的解析式；（2）設∠DBC=，∠CBE=，求sin（－）的值；（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．“數形結合”練習1．已知∠AOB＝30，C是射線OB上的一點，且OC＝4．若以C為圓心，r為半徑的圓與射線OA有兩個不同的交點，則r的取值范圍是______________．（1）（2）（3）……2．對于任意的有理數a，滿足a≤x≤a（1）（2）（3）……3．用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下面方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚_______塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚_______塊（用含n的代數式表示）.4．在直角坐標系中，縱、橫坐標都是整數的點，稱為整點．設k為整數，當一次函數y＝x＋2與y＝kx－4的圖象的交點為整點時，k的值可以?。ǎ〢．6個B．7個C．8個D．9個5．在一直線型航道上，某人乘船由A地順流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小時．已知船在靜水中的速度為每小時7.5千米，水流速度為每小時2.5千米，若A、C兩地的距離為10千米，則A、B兩地間的距離為（）A．20kmB．eq\f(20,3)kmC．20km或eq\f(20,3)kmD．以上都不正確6．福娃們在一起探討研究下面的題目：函數y函數y＝x2－x＋m（m為常數）的圖象如左圖，如果x＝a時，y＜0；那么x＝a－1時，函數值（）A．y＜0 B．0＜y＜mC．y＞m D．y＝myxOx1x2貝貝：我注意到當x＝0時，y＝m＞0．晶晶：我發(fā)現(xiàn)圖象的對稱軸為x＝eq\f(1,2)．歡歡：我判斷出x1＜a＜x2．迎迎：我認為關鍵要判斷a－1的符號．妮妮：m可以取一個特殊的值．eq\f(1,2)eq\f(1,22)eq\f(1,23)eq\f(1,24)…（圖1）（圖2）7．在數學活動中，小明為了求eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋…＋eq\f(1,2n)eq\f(1,2)eq\f(1,22)eq\f(1,23)eq\f(1,24)…（圖1）（圖2）（1）請你利用這個幾何圖形求eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋…＋eq\f(1,2n)的值為_______．（2）請你利用圖2，再設計一個能求eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋…＋eq\f(1,2n)的值的幾何圖形．8．如圖，在正△ABC中，AF＝CE＝BD＝eq\f(1,3)AB，求證：BD2＋DF2＝FC2．9．探索研究：xlQCPAOBHRy如圖，在直角坐標系xOy中，點P為函數y＝eq\f(1,4)x2在第一象限內的圖象上的任一點，點A的坐標為（0，1），直線l過B（0，－1）且與x軸平行，過P作y軸的平行線分別交x軸，l于C，Q，連結AQ交x軸于HxlQCPAOBHRy（1）求證：H點為線段AQ的中點；（2）求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；（3）除P點外，直線PH與拋物線y＝eq\f(1,4)x2有無其它公共點？并說明理由．ABOt（分鐘）s（千米）1212010．小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學．小明的媽媽在小明出發(fā)后10分鐘，發(fā)現(xiàn)小明的數學課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學的路線追趕小明，結果與小明同時到達學校．已知小明在整個上學途中，他出發(fā)后t分鐘時，他所在的位置與家的距離為sABOt（分鐘）s（千米）12120（1）試求折線段OA—AB所對應的函數關系式；（2）請解釋圖中線段AB的實際意義；（3）請在所給的圖中畫出小明的媽媽在追趕小明的過程中，她所在的位置與家的距離s（千米）與小明出發(fā)后的時間t（分鐘）之間函數關系的圖像．（友情提醒：請對畫出的圖像用數據作適當的標注）參考答案：1．2＜r≤42．10或113．10，3n＋44．B5．C6．C7．（1）1－eq\f(1,2n)；（2）答案不唯一，只要符合題意即可，略．8．提示：由結論中的等式特征聯(lián)想到勾股定理，于是證明△BDE為直角三角形．9．（1）、（2）略；（3）要判斷直線PH與拋物線y＝eq\f(1,4)x2有無其它公共點，只要研究由直線PH的解析式與拋物線的解析式組成的方程組是否有兩組不同的解．ABOt（分鐘）s（千米）121201016CD10．（1）線段OA對應的函數關系式為：s＝eq\f(1,12)t（0≤t≤12）；線段AB對應的函數關系式為ABOt（分鐘）s（千米）121201016CD（2）圖中線段AB的實際意義是：小明出發(fā)12分鐘后，沿著以他家為圓心，1千米為半徑的圓弧形道路上勻速步行了8分鐘．（3）如圖中折線段CD—DB．2011年中考數學經典幾何證明題（三）1.（1）如圖1所示，在四邊形中，=，與相交于點，分別是的中點，聯(lián)結，分別交、于點，試判斷的形狀，并加以證明；（2）如圖2，在四邊形中，若，分別是的中點，聯(lián)結FE并延長，分別與的延長線交于點，請在圖2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結論：；（3）如圖3，在中，，點在上，，分別是的中點，聯(lián)結并延長，與的延長線交于點，若，判斷點與以AD為直徑的圓的位置關系，并簡要說明理由．圖圖1圖2圖32．（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點E是BC上的一動點，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC于點G，CH⊥BD于點H，試證明CH=EF+EG;(2)若點E在ＢＣ的延長線上，如圖2，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC的延長線于點G，CH⊥BD于點H，則EF、EG、ＣH三者之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；(3)如圖3，BD是正方形ABCD的對角線,L在BD上，且BL=BC,連結CL，點E是CL上任一點,EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；(4)觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有EF、EG、ＣH這樣的線段，并滿足（1）或（2）的結論，寫出相關題設的條件和結論.3.如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側作等邊△DFE，ED的延長線交AB于H，連接EC，則以下結論：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=BC；③當D在線段BC上（不與B，C重合）運動，其他條件不變時是定值；④當D在線段BC上（不與B，C重合）運動，其他條件不變時是定值；（1）其中正確的是；（2）對于（1）中的結論加以說明；4.在中，AC=BC，，點D為AC的中點．（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連結CF，過點F作，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數量關系并加以證明．（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結論，不必證明．5.如圖12，在△ABC中，D為BC的中點，點E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點O．過點O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．6.如圖。，BD是△ABC的內角平分線，CE是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G。探究：線段FG的長與△ABC三邊的關系，并加以證明。說明：⑴如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來(要求至少寫3步)；⑵在你經歷說明⑴的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明。注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選?、谕瓿勺C明得7分。①可畫出將△ADF沿BD折疊后的圖形；②將CE變?yōu)椤鰽BC的內角平分線。(如圖2)附加題：探究BD、CE滿足什么條件時，線段FG的長與△ABC的周長存在一定的數量關系，并給出證明。7.在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠DAB．(1)如圖①，當∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°時，求證：AB＋AD＝AC．(2)如圖②，當∠DAB＝120°，∠B與∠D互補時，線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想，并給予證明．(3)如圖③，當∠DAB＝90°，∠B與∠D互補時，線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想，并給予證明．8.設點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，F(xiàn)是BC邊上一點，線段DE和AF相交于點P，點Q在線段DE上，且AQ∥PC．(1)證明：PC＝2AQ．(2)當點F為BC的中點時，試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關系，并對你的結論加以證明．9.兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB

=∠DCE

=

90°，F(xiàn)是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點．（1）如圖1，若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數量關系為_______和位置關系為______；（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；（2）如圖3，將△DEC直接寫出結論，不用證明.AABDECHFG圖3ABDECHFG圖1圖2ABDECHFG10.已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，點D為BC上一點，把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放在D處．(1)如圖①，若BD＝CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，兩條直角邊分別交AB、AC于點E、點F，求出重疊部分AEDF的面積(直接寫出結果)．(2)如圖②，若BD＝CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AB于點E、另一條直角邊交AB的延長線于點F，設AE＝x，重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)若BD＝2CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AC于點F、另一條直角邊交射線AB于點E．設CF＝x(x＞1)，重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．2011年中考幾何經典證明題（二）1、如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E為CB延長線上一點，且∠EAB＝∠BAD，設DC＝kBD，試探究EC與EA的數量關系。2、如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，若AB＝kAC，試探究BE與CF的數量關系。3、如圖，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點，點P在直線BC上，連接EQ交PC于點H。猜想線段EH與AC的數量關系，并證明你的猜想，若證明有困難，則可選k＝1證明之。4、在△ABC中，O是AC上一點，P、Q分別是AB、BC上一點，∠B＝45°，∠POQ＝135°，BC＝kAB，OC＝mAO。試說明OP與OQ是數量關系，選擇條件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。5、如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，∠CAD＝∠B，AC＝kAB，E在AD延長線上，∠CED＝∠ADB，探究AE與AD的關系。6、如圖，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB,AB＝kAC，探究BE與AE是數量關系。2011年中考數學經典幾何證明題（一）1.（1）如圖1所示，在四邊形中，=，與相交于點，分別是的中點，聯(lián)結，分別交、于點，試判斷的形狀，并加以證明；（2）如圖2，在四邊形中，若，分別是的中點，聯(lián)結FE并延長，分別與的延長線交于點，請在圖2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結論：；（3）如圖3，在中，，點在上，，分別是的中點，聯(lián)結并延長，與的延長線交于點，若，判斷點與以AD為直徑的圓的位置關系，并簡要說明理由．圖圖1圖2圖32．（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點E是BC上的一動點，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC于點G，CH⊥BD于點H，試證明CH=EF+EG;(2)若點E在ＢＣ的延長線上，如圖2，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC的延長線于點G，CH⊥BD于點H，則EF、EG、ＣH三者之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；(3)如圖3，BD是正方形ABCD的對角線,L在BD上，且BL=BC,連結CL，點E是CL上任一點,EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；(4)觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有EF、EG、ＣH這樣的線段，并滿足（1）或（2）的結論，寫出相關題設的條件和結論.3.如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側作等邊△DFE，ED的延長線交AB于H，連接EC，則以下結論：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=BC；③當D在線段BC上（不與B，C重合）運動，其他條件不變時是定值；④當D在線段BC上（不與B，C重合）運動，其他條件不變時是定值；（1）其中正確的是；（2）對于（1）中的結論加以說明；4.在中，AC=BC，，點D為AC的中點．（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連結CF，過點F作，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數量關系并加以證明．（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結論，不必證明．5.如圖12，在△ABC中，D為BC的中點，點E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點O．過點O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．6.如圖。，BD是△ABC的內角平分線，CE是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G。探究：線段FG的長與△ABC三邊的關系，并加以證明。說明：⑴如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來(要求至少寫3步)；⑵在你經歷說明⑴的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明。注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選?、谕瓿勺C明得7分。①可畫出將△ADF沿BD折疊后的圖形；②將CE變?yōu)椤鰽BC的內角平分線。(如圖2)附加題：探究BD、CE滿足什么條件時，線段FG的長與△ABC的周長存在一定的數量關系，并給出證明。7.在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠DAB．(1)如圖①，當∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°時，求證：AB＋AD＝AC．(2)如圖②，當∠DAB＝120°，∠B與∠D互補時，線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想，并給予證明．(3)如圖③，當∠DAB＝90°，∠B與∠D互補時，線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想，并給予證明．8.設點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，F(xiàn)是BC邊上一點，線段DE和AF相交于點P，點Q在線段DE上，且AQ∥PC．(1)證明：PC＝2AQ．(2)當點F為BC的中點時，試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關系，并對你的結論加以證明．9.兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB

=∠DCE

=

90°，F(xiàn)是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點．（1）如圖1，若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數量關系為_______和位置關系為______；（2）