統(tǒng)計模擬介紹課件

統(tǒng)計模擬介紹統(tǒng)計模擬介紹專業(yè)必修課教學(xué)目的：掌握統(tǒng)計模擬在實際中的應(yīng)用36理論課+18實驗課(PBL)考試形式：閉卷考試(60%)+小論文(40%)統(tǒng)計模擬課程安排專業(yè)必修課統(tǒng)計模擬課程安排1.統(tǒng)計模擬，Ross著，王兆軍，陳廣雷，鄒長亮譯2007年7月由人民郵電出版社出版2.統(tǒng)計建模與R軟件，薛毅,陳廣萍編著，2007年4月清華大學(xué)出版社教材或參考書目1.統(tǒng)計模擬，Ross著，王兆軍，陳廣雷，鄒長亮譯教材或參考MonteCarlo方法：亦稱統(tǒng)計模擬方法，statisticalsimulationmethod

利用隨機數(shù)進行數(shù)值模擬的方法MonteCarlo名字的由來：是由Metropolis在二次世界大戰(zhàn)期間提出的：Manhattan計劃，研究與原子彈有關(guān)的中子輸運過程；MonteCarlo是摩納哥（monaco)的首都，該城以賭博聞名NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,MonacoMonteCarlo方法：亦稱統(tǒng)計模擬方法，statistMonteCarlo方法簡史簡單地介紹一下MonteCarlo方法的發(fā)展歷史1、Buffon投針實驗：1768年，法國數(shù)學(xué)家ComtedeBuffon利用投針實驗估計的值dLMonteCarlo方法簡史簡單地介紹一下MonteCaProblemofBuffon’sneedle:Ifaneedleoflengthlisdroppedatrandomonthemiddleofahorizontalsurfaceruledwithparallellinesadistanced>lapart,whatistheprobabilitythattheneedlewillcrossoneofthelines?ProblemofBuffon’sneedle:IfSolution:Thepositioningoftheneedlerelativetonearbylinescanbedescribedwitharandomvectorwhichhascomponents:Therandomvectorisuniformlydistributedontheregion[0,d)×[0,).Accordingly,ithasprobabilitydensityfunction1/d.TheprobabilitythattheneedlewillcrossoneofthelinesisgivenbytheintegralSolution:Thepositioningofth1777年，古稀之年的蒲豐在家中請來好些客人玩投針游戲（針長是線距之半），他事先沒有給客人講與π有關(guān)的事?？腿藗冸m然不知道主人的用意，但是都參加了游戲。他們共投針2212次，其中704次相交。蒲豐說，2212/704=3.142，這就是π值。這著實讓人們驚喜不已。1777年，古稀之年的蒲豐在家中請來好些客人玩投針游2、1930年，EnricoFermi利用MonteCarlo方法研究中子的擴散，并設(shè)計了一個MonteCarlo機械裝置，F(xiàn)ermiac,用于計算核反應(yīng)堆的臨界狀態(tài)3、VonNeumann是MonteCarlo方法的正式奠基者,他與StanislawUlam合作建立了概率密度函數(shù)、反累積分布函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及偽隨機數(shù)產(chǎn)生器。在這些工作中，StanislawUlam意識到了數(shù)字計算機的重要性

合作起源于Manhattan工程：利用ENIAC(ElectronicNumericalIntegratorandComputer)計算產(chǎn)額2、1930年，EnricoFermi利用MonteCa一些人進行了實驗，其結(jié)果列于下表：實驗者年份投計次數(shù)π的實驗值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929一些人進行了實驗，其結(jié)果列于下表：實驗者年份投計次數(shù)π的實蒙特卡羅方法的基本思想蒙特卡羅方法又稱計算機隨機模擬方法。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的一種方法。

由蒲豐試驗可以看出，當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。蒙特卡羅方法的基本思想蒙特卡羅方法又稱計算機隨機模擬方法。它模擬程序l=1;d=2;m=0;n=10000fork=1:n;x=unifrnd(0,d);y=unifrnd(0,pi);ifx<1*sin(y)m=m+1elseendendp=m/npi_m=1/p關(guān)系式成立產(chǎn)生隨機數(shù)驗證模型成立次數(shù)k=k+1否是計算估計結(jié)果k/n成立次數(shù)不變試驗次數(shù)是否達到n次是否編寫R程序模擬程序l=1;關(guān)系式產(chǎn)生隨機數(shù)驗證模型成立次數(shù)k=k+1否MonteCarlo模擬的應(yīng)用：自然現(xiàn)象的模擬：宇宙射線在地球大氣中的傳輸過程；高能物理實驗中的核相互作用過程；實驗探測器的模擬數(shù)值分析：利用MonteCarlo方法求積分金融工程：股票期權(quán)的模擬定價MonteCarlo模擬的應(yīng)用：自然現(xiàn)象的模擬：宇宙射線在物理化學(xué)生物環(huán)境工程醫(yī)學(xué)金融交通教育心里衛(wèi)生數(shù)學(xué)語言軍事歷史經(jīng)濟天文。。。MonteCarlo應(yīng)用領(lǐng)域物理化學(xué)生物環(huán)境MonteCarloMonteCarlo模擬在物理研究中的作用MonteCarlo模擬在物理研究中的作用MonteCarlo模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)，建立能夠描述該系統(tǒng)特性的理論模型，導(dǎo)出該模型的某些特征量的概率密度函數(shù)；從概率密度函數(shù)出發(fā)進行隨機抽樣，得到特征量的一些模擬結(jié)果；對模擬結(jié)果進行分析總結(jié)，預(yù)言物理系統(tǒng)的某些特性。MonteCarlo模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)注意以下兩點：MonteCarlo方法與數(shù)值解法的不同:MonteCarlo方法利用隨機抽樣的方法來求解物理問題;數(shù)值解法:從一個物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā),通過求解一系列的微分方程來的導(dǎo)出系統(tǒng)的未知狀態(tài);MonteCarlo方法并非只能用來解決包含隨機的過程的問題:許多利用MonteCarlo方法進行求解的問題中并不包含隨機過程例如:用MonteCarlo方法計算定積分.

對這樣的問題可將其轉(zhuǎn)換成相關(guān)的隨機過程,然后用MonteCarlo方法進行求解注意以下兩點：MonteCarlo方法與數(shù)值解法的不同:MMonteCarlo算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf)—必須給出描述一個物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù);隨機數(shù)產(chǎn)生器—能夠產(chǎn)生在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機數(shù)抽樣規(guī)則—如何從在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機數(shù)出發(fā),隨機抽取服從給定的pdf的隨機變量;模擬結(jié)果記錄—記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果誤差估計—必須確定統(tǒng)計誤差（或方差）隨模擬次數(shù)以及其它一些量的變化；減少方差的技術(shù)—利用該技術(shù)可減少模擬過程中計算的次數(shù)；并行和矢量化—可以在先進的并行計算機上運行的有效算法MonteCarlo算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf1.具有統(tǒng)計功能的軟件Excel,Matab,C,Fortran2.專業(yè)的統(tǒng)計軟件SPSS,SAS,S-Plus,R,Gauss,minitab常用的統(tǒng)計軟件1.具有統(tǒng)計功能的軟件常用的統(tǒng)計軟件蒙特卡羅方法的特點優(yōu)點能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程。受幾何條件限制小。收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。具有同時計算多個方案與多個未知量的能力。誤差容易確定。程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。缺點收斂速度慢。誤差具有概率性。在粒子輸運問題中，計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。蒙特卡羅方法的特點優(yōu)點缺點趕火車問題火車離站時刻13:0013:0513:10概率0.70.20.1

一列列車從A站開往B站，某人每天趕往B站上車。他已經(jīng)了解到火車從A站到B站的運行時間是服從均值為30min，標準差為2min的正態(tài)隨機變量?；疖嚧蠹s下午13：00離開A站，此人大約13:30到達B站?；疖囯x開A站的時刻及概率如表1所示，此人到達B站的時刻及概率如表2所示。問此人能趕上火車的概率有多大？表1：火車離開A站的時刻及概率

表2：某人到達B站的時刻及概率人到站時刻13:2813:3013:3213:34概率0.30.40.20.1趕火車問題火車離站時刻13:0013:0513:10概率0.趕火車問題——問題的分析——

這個問題用概率論的方法求解十分困難，它涉及此人到達時刻、火車離開站的時刻、火車運行時間幾個隨機變量，而且火車運行時間是服從正態(tài)分布的隨機變量，沒有有效的解析方法來進行概率計算。在這種情況下可以用計算機模擬的方法來解決。趕火車問題——問題的分析——：火車從A站出發(fā)的時刻；：火車從A站到B站的運行時間；：某人到達B站的時刻；：隨機變量服從正態(tài)分布的均值；：隨機變量服從正態(tài)分布的標準差；

進行計算機統(tǒng)計模擬的基礎(chǔ)是抽象現(xiàn)實系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

為了便于建模，對模型中使用的變量作出如下假定：：火車從A站出發(fā)的時刻；進行計算機統(tǒng)計模擬的基礎(chǔ)是抽象現(xiàn)實

此人能及時趕上火車的充分必要條件為：，所以此人能趕上火車的概率模型為：。趕火車問題

為了分析簡化，假定13時為時刻t=0，則變量、的分布律為：05100.70.20.1283032340.30.40.20.1此人能及時趕上火車的充分必要條件為：趕火車問題

R軟件求解的總算法：關(guān)系式成立產(chǎn)生隨機數(shù)驗證模型成立次數(shù)k=k+1否是計算估計結(jié)果k/n成立次數(shù)不變試驗次數(shù)是否達到n次是否編寫R程序①借助區(qū)間(0,1)分布產(chǎn)生的隨機數(shù)，對變量、概率分布進行統(tǒng)計模擬；②根據(jù)變量、、概率分布及模擬程序、命令產(chǎn)生n個隨機分布數(shù)；③使用隨機產(chǎn)生的n組隨機數(shù)驗證模型中的關(guān)系表達式是否成立；④計算n次模擬實驗中，使得關(guān)系表達式成立的次數(shù)k；⑤當時，以作為此人能趕上火車的概率p的近似估計；趕火車問題R軟件求解的總算法：關(guān)系式產(chǎn)生隨機數(shù)驗證模型成立windows(7,3)prb=replicate(100,{x=sample(c(0,5,10),1,prob=c(0.7,0.2,0.1))y=sample(c(28,30,32,34),1,prob=c(0.3,0.4,0.2,0.1))plot(0:40,rep(1,41),type="n",xlab="time",ylab="",axes=FALSE)axis(1,0:40)r=rnorm(1,30,2)points(x,1,pch=15)i=0while(i<=r){i=i+1segments(x,1,x+i,1)if(x+i>=y)points(y,1,pch=19)Sys.sleep(0.1)}points(y,1,pch=19)title(ifelse(x+r<=y,"poor...missedthetrain!","Bingo!catchedthetrain!"))Sys.sleep(0.5)x+r>y})mean(prb)windows(7,3)1.1矩母函數(shù)和生成函數(shù)

定義1.1設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x),稱為X的矩母函數(shù)，記為性質(zhì)：(1)(2)若X和Y相互獨立，則第一章預(yù)備知識1.1矩母函數(shù)和生成函數(shù)第一章預(yù)備知識定義1.2若Ｘ為離散型隨機變量，稱為其概率生成函數(shù)，記為性質(zhì)(1)(2)若X和Y獨立，

定義1.21.條件分布其中為X的邊際分布例子：令X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為試求

1.2條件分布和條件方差1.條件分布1.2條件分布和條件方差2.條件數(shù)學(xué)期望命題：2.條件數(shù)學(xué)期望3.條件方差條件方差公式3.條件方差例1.3從某大學(xué)任意挑選一個學(xué)院，然后從此學(xué)院中任意挑選n個學(xué)生，令X表示這些學(xué)生中來自武漢市的人數(shù)，令Q代表該學(xué)院來自武漢市的人數(shù)所占的比例，因為學(xué)院之間的比例不相同，因此Q也是一個隨機變量。若Q~U(0,1),X|Q=q~B(n,q)，求X的方差。例1.3從某大學(xué)任意挑選一個學(xué)院，然后從此學(xué)院中任意挑選n隨機過程

是一個隨機變量集合，狀態(tài)空間S是隨機變量取值集合，集合T為指標集。指標集可以是離散的也可以是連續(xù)的。例：天氣變化情況是一個隨機過程

晴，晴，多云，雨，雨，…

1.3隨機過程簡介隨機過程1.3隨機過程簡介統(tǒng)計模擬介紹ppt課件命題：設(shè)為Poisson過程中事件發(fā)生的間隔時間序列，則為獨立同分布的隨機變量序列，且共同分布為具有參數(shù)的指數(shù)分布命題：設(shè)為Poisson過例1.5顧客依Poisson過程到達商店，速率為

人/小時。已知商店上午9:00開門。試求：到9:30時僅到一位顧客，而到11:30時總計已到5位顧客的概率。例1.5顧客依Poisson過程到達商店，速率為2.非齊次Posson過程2.非齊次Posson過程統(tǒng)計模擬介紹ppt課件一、Markov鏈的定義1．Markov鏈一、Markov鏈的定義1．Markov鏈有限馬氏鏈狀態(tài)空間是有限集I={0,1,2,…，k}2．一步轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈在時刻n處于狀態(tài)i

的條件下，到時刻n+1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j

的條件概率，即稱為在時刻n的一步轉(zhuǎn)移概率，注:馬氏鏈由和條件概率決定有限馬氏鏈狀態(tài)空間是有限集I={0,1,2,…，k}2．一步注:由于概率是非負的，且過程從一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移后，必到達狀態(tài)空間中的某個狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率滿足3．一步轉(zhuǎn)移矩陣稱為在時刻n的一步轉(zhuǎn)移矩陣

隨機矩陣注:由于概率是非負的，且過程從一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移后，必即有有限馬氏鏈狀態(tài)空間I={0，1，2，…，k}即有有限馬氏鏈狀態(tài)空間I={0，1，2，…，k}4．齊次馬氏鏈即則稱此馬氏鏈為齊次馬氏鏈（即關(guān)于時間為齊次）5．初始分布4．齊次馬氏鏈即則稱此馬氏鏈為齊次馬氏鏈（即關(guān)于時間為齊次）注馬氏鏈在初始時刻有可能處于I中任意狀態(tài)，初始分布就是馬氏鏈在初始時刻的概率分布。6．絕對分布概率分布稱為馬氏鏈的絕對分