函數(shù)中的賦值問題(教師)恍然大悟火爆高考卷中導數(shù)賦值取點問題的前世今生

PAGEPAGE6函數(shù)中的賦值問題第一講賦值的意義函數(shù)賦值是一個熱門的話題，賦值之所以“熱”，是因為它涉及到函數(shù)領(lǐng)域的方方面面：討論函數(shù)零點的個數(shù)(包括零點的存在性，唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等等．然而時下，在相當一部分學生的答卷中，甚或在一些地區(qū)的模擬試卷的標準解答中，一種以極限語言或極限觀點替代賦值論證的“素描式”解題現(xiàn)象應(yīng)予關(guān)注和糾正．1.從一道調(diào)研試題的標準解答說起題目1已知函數(shù)．（1）略；（3）略；（2）設(shè)，若在上有且只有一個零點，求的取值范圍．解：（2），則方程即有唯一解．記，，令．①時，單調(diào)減，所以的取值范圍是(?)②時…，的取值范圍是；③時，單調(diào)減，且恒正，所以的取值范圍是．所以當或時，有且只有一個零點，故的取值范圍是或．質(zhì)疑：1．“”與“的取值范圍是”是否等價？2．也許解答的潛意識是，那么其依據(jù)是什么?作為指揮棒的省考、國考又是怎樣處理相關(guān)問題的呢?答：一個中心：參數(shù)全程掃描；一個基本點：賦值絲絲入扣．2．真題探究題目2（2013江蘇20）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．（1）略；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．（2）解：由在上單調(diào)增，得(過程略)．時，，而，且圖像不間斷，依據(jù)零點定理，有且只有一個零點．【分析時，由(極大值點)，】時,．令．且，所以是的極大值點，也是最大值點，所以，當且僅當．故有唯一零點．時，令．列表：0所以．①在上，且單調(diào)，所以有且只有一個零點；②在上，顯然，注意到的結(jié)論，所以，同理有且只有一個零點．由①②有兩個零點．綜上所述，當或時，有1個零點；當時，有2個零點．【注1】本題第（2）問“時”賦值點的形成過程及其多元性:所以是唯一的極小值點，也是最小值點．且，故滿足題意．即時．由，．【下一步分析：應(yīng)比較兩零點與的大小．】即時，，，又，所以滿足題設(shè)．，即時，當，，，所以．【接著探究：在上，，所以在右側(cè)充分遠處，希望存在，使，此外應(yīng)意識到對起主導作用的那一項應(yīng)該是（該項不宜輕易放縮），故放縮的主要目標是幾乎可以忽略不計的“”，事實上，當時，，所以】詳解：又存在，所以，．在內(nèi)，存在零點，所以至少有兩個零點，不合題意．，即時，在上，，，所以．【接著探究：在上，，所以在右側(cè)充分近處，希望存在，使．此外應(yīng)意識到對起主導作用的那一項應(yīng)該是（所以不宜輕易放縮）故放縮的主要目標是幾乎可以忽略不計的“”，事實上，當時，，，所以．】詳解：又存在，并注意到，，，所以在內(nèi)存在零點，從而至少有兩個零點，不合題意．綜上所述，或．【附證：：】例2（上節(jié)“題目1（2）”）已知函數(shù)．（1）（3）略．（2）設(shè)，若在上有且只有一個零點，求的取值范圍．正解：(參數(shù)掃描)依題意有唯一零點，于是：當，不合；當有唯一零點，符合；當一方面．【下一步，分析1：用直觀放縮法嘗試使，顯然因為，所以只要令且充分小，則，從而．若為某個負常數(shù),因負數(shù)的任意性,無法確保，故須與有關(guān)．不妨改試】另一方面并注意到(證略)．，所以在內(nèi)有唯一零點．于是時，須無零點，而，所以，即．記，令當；當，所以，所以．綜上或．【注】將零點問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題從而使“分參”不依賴于形而凸顯其嚴密性．【下一步分析2：用放縮求解法求使，顯然．事實上時,,解之】另一方面,使且時，所以在內(nèi)有唯一零點．(以下過程同上)【下一步分析3：仍用放縮求解法，時，，取】另一方面,使且時，所以在內(nèi)有唯一零點．(以下過程同上)例3已知，討論的零點的個數(shù)．解：記的零點的個數(shù)為．的定義域為，，令，當時，,；當時，，，所以是的唯一極小值點也是最小值點，即．當，即時，,故．當，即時，．當，即時，(如右圖所示)ⅰ.時，在上,在上，【途徑一】存在，，由零點定理及的單調(diào)性．【途徑二：通過放縮，求解賦值點當時,】當且時，，同理．ⅱ.時，由，所以．ⅲ.時，．一方面，且，另一方面【途徑一：依據(jù)單調(diào)性，當時，應(yīng)有，不妨直觀嘗試】注意到時，（證略），存在，，又圖像在定義域內(nèi)不間斷，所以在和內(nèi)，各有一個零點，故【途徑二(借助原函數(shù)極值求賦值點)】已證在上，且存在，．同理綜上所述：當時，沒有零點；當或時，有1個零點；當時，有2個零點．【注】學生可能出現(xiàn)的認知誤區(qū)是：當時，（或）．【跟蹤訓練】1．解不等式：，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．解析：記，則原不等式等價于，令，．當；當．又一方面，存在另一方面，存在，所以當且僅當時，從而原不等式的解集為．2．已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個零點,求的取值范圍．解析：易得在,在(2)①若則,在定義域內(nèi)最多一個零點,不合．所以且此時，一方面使；另一方面，注意到(證略)．于是，使．依據(jù)零點定理以及的單調(diào)性,可知在和上各有一個零點，所以的取值范圍是．3．設(shè)函數(shù)若對任意的成立，求的取值范圍．解：．1.當時,；2.當時,，所以使得且在內(nèi)與題設(shè)不符.所以．第三講賦值的若干經(jīng)典問題例1（2015.新課標（1）文21）設(shè)函數(shù)．（1）討論零點的個數(shù)；（2）略．解：（1）．①當時,，故無零點；②當時零點的個數(shù)即零點的個數(shù)，記為．所以在上，所以．又．【下一步如何尋找正數(shù)使?】途徑一(直觀放縮法)【分析】假定，故應(yīng)將鎖定在右側(cè)一點點，直觀嘗試后，形成如下的——詳解：取，，依據(jù)零點定理，由,．途徑二(放縮求解法)【分析】時于是當，即時，．詳解：時，于是當時，，取．依據(jù)零點定理，由,．例2（2016.全（1）理21）已知函數(shù)有兩個零點．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）略．解析：（Ⅰ）(參數(shù)掃描)．若，當，當．一方面,當時；另一方面,當時——途徑一(標解)存在且，使，所以在兩側(cè)，各有一個零點，滿足題意．途徑二【分析：當時,能對起主導作用的那一項顯然是，而變化幅度不大，是比較理想的放縮目標．時,】詳解：時,，今取，所以在兩側(cè)，各有一個零點，滿足題意．若，當，所以有兩零點時，有兩零點有兩零點，但所以不存在兩個零點．綜上，的取值范圍是．【注】順便指出,在同解變形中,巧用升降格,可簡化解題過程．(證明:)例3（2017全（2）文21）設(shè)函數(shù)．（1）略；（2）當時，，求的取值范圍．解：（2）．顯然（否則若，注意到，則）．【下一步探求的范圍：令恒成立，，所以，，所以】，記，，所以即，．于是：當時，，，，從而；當時，途徑一【分析當時，．】詳解：當時，注意到(證略)，今取，不合題意.綜上，．途徑二：，又，故在上有唯一零點，且在上，所以不合題意．綜上．例4（省競賽集訓題）設(shè)數(shù)列的通項,證明:．【分析：聯(lián)想超越不等式小于…有①；②等．然后用分項比較法,將待證式兩邊均表示為從起連續(xù)項的和：整合并分解左邊：；同時將右邊化整為零:．依據(jù)②，所以原式獲證】證明：易證，令．【跟蹤訓練】1．設(shè)函數(shù).若方程有解，求的取值范圍．解：方程有解函數(shù)有零點．．=1\*GB3①時，（證略）所以無零點；②時，（觀察?。鞠乱徊椒治觯喝绾钨x值,使得？當時,說明:若不能確保解方程所得到的，則改用兩點式,即（參閱(二)例2分析3）】又且，由零點定理，有零點．③時，所以令（易知是的最大值點）【下一步分析:令,無零點．于是剩下又經(jīng)觀察，所以有零點】③1.)時,無零點；③2.)時，又經(jīng)觀察，所以有零點．綜上所述或．2．為正常數(shù)，函數(shù)．證明：使得當時，恒成立．證法一易證(證略)又用代而.今取，當時,由得,再由.獲證．證法二易證時在(證略)于是，(1)當時,，結(jié)論成立．(2)當時，取(顯然)當時,，結(jié)論仍然成立．綜上所述使得當時,恒成立．3．已知，（）．（1）（2）略（3）當，，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．（3）略解：易得在上遞增，在上遞減，故，又，，所以的取值范