函數(shù)的奇偶性函數(shù)公開(kāi)課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

3.1.3

函數(shù)奇偶性函數(shù)第1頁(yè)第2頁(yè)一二知識(shí)點(diǎn)一、奇、偶函數(shù)定義1.思考提醒:y=定義域?yàn)閧x|x≠0},通過(guò)對(duì)一系列互為相反數(shù)x值代入函數(shù)式可得:若x取值互為相反數(shù),則其函數(shù)值相等.即對(duì)x∈{x|x≠0}總有f(-x)=f(x)成立,我們把此類函數(shù)稱為偶函數(shù).②你還能得出函數(shù)f(x)=x5在x∈R時(shí)仍有上述(1)問(wèn)中規(guī)律嗎?提醒:f(x)=x5滿足規(guī)律是對(duì)x∈R,總有f(-x)=-f(x)成立,我們把此類函數(shù)稱為奇函數(shù).(2)一種函數(shù)具有奇偶性,其定義域有什么特點(diǎn)?提醒:一種函數(shù)若具有奇偶性,其定義域一定有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,這等價(jià)于定義中“對(duì)D內(nèi)任意一種x,都有-x∈D”這一說(shuō)法.第3頁(yè)一二2.填寫(xiě)下表:設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镈,假如對(duì)D內(nèi)任意一種x,都有-x∈D,第4頁(yè)一二3.做一做(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)為(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案:D(2)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是減函數(shù)為(

)A.y=x-1 B.y=3x2答案:D第5頁(yè)一二知識(shí)點(diǎn)二、奇、偶函數(shù)圖像特性1.思考(1)假如f(x)圖像有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,且函數(shù)在x=0處有定義,那么f(0)為何值?提醒:f(x)圖像有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,即f(x)為奇函數(shù),故滿足f(-x)=-f(x).由于f(x)在x=0處有定義,因此f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)為奇函數(shù),且點(diǎn)(x,f(x))在其圖像上,則哪一種點(diǎn)一定在其圖像上?若f(x)為偶函數(shù)呢?提醒:若f(x)為奇函數(shù),則點(diǎn)(-x,-f(x))一定在其圖像上;若f(x)為偶函數(shù),則點(diǎn)(-x,f(x))一定在其圖像上.第6頁(yè)一二2.填空(1)偶函數(shù)圖像有關(guān)y軸對(duì)稱;反之,結(jié)論也成立,即圖像有關(guān)y軸對(duì)稱函數(shù)一定是偶函數(shù).(2)奇函數(shù)圖像有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱;反之,結(jié)論也成立,即圖像有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)一定是奇函數(shù).名師點(diǎn)撥

奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反;若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上最大值為-m,最小值為-M;偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同最大(小)值.第7頁(yè)一二3.做一做圖中表達(dá)偶函數(shù)圖像是

(填序號(hào)).

第8頁(yè)一二解析:①中函數(shù)定義域不有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,因此①表達(dá)不是偶函數(shù)圖像;②中函數(shù)圖像不有關(guān)y軸對(duì)稱,因此②表達(dá)不是偶函數(shù)圖像;③中函數(shù)定義域有關(guān)坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,而圖像又有關(guān)y軸對(duì)稱,因此③表達(dá)是偶函數(shù)圖像;④中函數(shù)定義域有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,且圖像有關(guān)y軸對(duì)稱,因此④表達(dá)是偶函數(shù)圖像.故填③④.答案:③④第9頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)判斷函數(shù)奇偶性例1判斷下列函數(shù)奇偶性:分析:先求定義域,驗(yàn)證定義域是否有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,再看f(-x)與f(x)關(guān)系,進(jìn)而做出判斷.第10頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)第11頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)第12頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)第13頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟如何判斷函數(shù)奇偶性1.判斷函數(shù)奇偶性一般不用其定義,而是利用定義等價(jià)形式,即考查f(-x)與f(x)關(guān)系,詳細(xì)步驟如下:(1)求f(x)定義域;(2)若定義域不有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)不具有奇偶性,若定義域有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,可再利用定義驗(yàn)證f(-x)與f(x)關(guān)系.2.對(duì)于某些較復(fù)雜函數(shù),也能夠用如下性質(zhì)判斷函數(shù)奇偶性:(1)偶函數(shù)和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);(2)奇函數(shù)和、差仍為奇函數(shù);(3)奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);(4)一種奇函數(shù)與一種偶函數(shù)積為奇函數(shù).第14頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1下列函數(shù)是偶函數(shù)為(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]解析:選項(xiàng)A中,函數(shù)定義域不有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)不是偶函數(shù);選項(xiàng)B中,f(-x)≠f(x),函數(shù)不是偶函數(shù);選項(xiàng)C中,f(-x)=-x3=-f(x),函數(shù)是奇函數(shù);選項(xiàng)D中,f(-x)=x2=f(x),且定義域也有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,因此函數(shù)是偶函數(shù).答案:D第15頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式例2

已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x|x-2|,求當(dāng)x<0時(shí),f(x)體現(xiàn)式.分析:已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),可利用對(duì)稱性求對(duì)稱區(qū)間上解析式.解:令x<0,則-x>0.∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x|x+2|.故當(dāng)x<0時(shí),f(x)體現(xiàn)式為f(x)=x|x+2|.第16頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式解題策略1.函數(shù)具有奇偶性,若只給出了部分區(qū)間上解析式,則能夠利用函數(shù)奇偶性求出對(duì)稱區(qū)間上解析式,其解題理論為函數(shù)奇偶性定義.正用定義能夠判斷函數(shù)奇偶性,逆用能夠求出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上解析式.2.結(jié)論:(1)若f(x)是奇函數(shù),且已知x>0時(shí)解析式,則x<0時(shí)解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)=f(x)中x,y分別替代為-x,-y,然后解出y即可.(2)若f(x)是偶函數(shù),且已知x>0時(shí)解析式,則x<0時(shí)解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)=f(x)中x替代為-x,y不變,即得x<0時(shí)解析式.第17頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)若本例題中題干不變,如何求當(dāng)x≤0時(shí),f(x)體現(xiàn)式?解:只需將f(0)單獨(dú)求出.由于f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,因此f(0)=0.又由于f(x)=x|x+2|,x<0,因此f(x)=x|x+2|,x≤0.延伸探究

第18頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)奇、偶函數(shù)圖像應(yīng)用例3若函數(shù)f(x)是定義在R上偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),若f(2)=0,則使f(x)<0x取值范圍是(

)A.(-∞,2) B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)解析:由偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為增函數(shù),且f(2)=0,可知函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如圖草圖.由圖可知使f(x)<0x取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞),故選C.答案:C第19頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟函數(shù)奇、偶性應(yīng)用1.研究函數(shù)圖像時(shí),要注意對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究,這樣可避免作圖盲目性和復(fù)雜性.2.利用函數(shù)奇偶性作圖,其根據(jù)是奇函數(shù)圖像有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)圖像有關(guān)y軸對(duì)稱.因此在研究此類函數(shù)性質(zhì)(或圖像)時(shí),可通過(guò)研究函數(shù)在y軸一側(cè)性質(zhì)(或圖像),便可推斷出函數(shù)在整個(gè)定義域上性質(zhì)(或圖像).第20頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2奇函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇-5,5],它在y軸右側(cè)圖像如圖所示,則f(x)<0x取值集合為

.

解析:奇函數(shù)f(x)在[-5,5]上圖像如圖所示,由圖像可知,x∈(2,5)時(shí),f(x)<0;x∈(0,2)時(shí),f(x)>0.由于其圖像有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱,因此x∈(-5,-2)時(shí),f(x)>0;x∈(-2,0)時(shí),f(x)<0,因此使f(x)<0x取值集合為{x|-2<x<0,或2<x<5}.

答案:{x|-2<x<0,或2<x<5}第21頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式典例

設(shè)定義在[-2,2]上奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m取值范圍.解:由于f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是減函數(shù),因此f(x)在[-2,2]上是減函數(shù).辦法點(diǎn)睛

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式處理此類問(wèn)題時(shí)一定要充足利用已知條件,把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)形式,再根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反,列出不等式(組),同步不能遺漏函數(shù)本身定義域?qū)?shù)影響.第22頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)1.(多項(xiàng)選擇)下列函數(shù)是偶函數(shù)為(

)A.f(x)=x2 B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x2+x4答案:AD第23頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)2.有下列說(shuō)法:①偶函數(shù)圖像一定與y軸相交;②若y=f(x)是奇函數(shù),則由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;③既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)函數(shù)一定是f(x)=0,x∈R;④若一種圖形有關(guān)y軸成軸對(duì)稱,則該圖形一定是偶函數(shù)圖像.其中不正確是(

)A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④解析:①中可舉反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0處也許無(wú)定義;③中也能夠是f(x)=0,x∈A(A為有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱數(shù)集);④中該圖形也許不是函數(shù)圖像.故①②③④均錯(cuò)誤.答案:D第24頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)=

.

解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,∴25+5×23+2b=-18.∴f(2)=25+23×5+2b-8=-18-8=-26.答案:-26第25頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x-x4;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=

.

解析:辦法一:由于是填空題,故可采取直接代換法,將x用-x替代,即答案為-x-x4.辦法二:設(shè)x∈(0,+∞),則-x∈(-∞,0),則f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x).∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上函數(shù)體現(xiàn)式為f(x)=-x-x4.答案:-x-x4第26頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)5.函數(shù)f(x)(x∈R),若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求證:f(x)為奇函數(shù).證明:令a=0,則f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x).即f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)為奇函數(shù).第27頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)分析:先判斷f(x)奇偶性,再根據(jù)圖像特性補(bǔ)全函數(shù)f(x)圖像;證明f(x)+g(x)=1關(guān)鍵是先求出g(x)解析式.(1)如圖是f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)圖像,請(qǐng)據(jù)此在該坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)圖像,請(qǐng)說(shuō)明你作圖根據(jù);(2)求證:f(x)+g(x)=1(x≠0).第28頁(yè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)第29頁(yè)1、只要有堅(jiān)強(qiáng)意志力，就自然而然地會(huì)有能耐、靈巧和知識(shí)。2、你們應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)對(duì)自己，對(duì)自己力量信心，百這種信心是靠克服障礙，培養(yǎng)意志和鍛煉意志而取得。3、堅(jiān)強(qiáng)信念能贏得強(qiáng)者心，并使他們變得更堅(jiān)強(qiáng)。4、天行健，君子以自強(qiáng)不息。5、有百折不撓信念所支持人意志，比那些似乎是無(wú)敵物質(zhì)力量有更強(qiáng)大威力。6、永遠(yuǎn)沒(méi)有人力能夠擊退一種堅(jiān)決強(qiáng)毅希望。7、意大利有一句諺語(yǔ)：對(duì)一種歌手要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我目前按照這一公式拙劣地摹仿為：對(duì)一種要成為不負(fù)于高爾基所聲稱那種“人”要求，首先是意志、意志和意志。8、執(zhí)著追求并從中得到最大快樂(lè)人，才是成功者。9、三軍可奪帥也，匹夫不可奪志也。10、發(fā)覺(jué)者，尤其是一種初出茅廬年輕發(fā)覺(jué)者，需要勇氣才能忽視他人冷漠和懷疑，才能堅(jiān)持自己發(fā)覺(jué)意志，并把研究繼續(xù)下去。11、我本質(zhì)不是我意志成果，相反，我意志是我本質(zhì)成果，由于我先有存在，后故意志，存在能夠沒(méi)故意志，不過(guò)沒(méi)有存在就沒(méi)故意志。12、公共利益，人類福利，能夠使可憎工作變?yōu)榭少F，只有開(kāi)明人士才能懂得克服困難所需要熱忱。13、立志用功如種樹(shù)然，方其根芽，猶未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后葉，葉而后花。14、意志出現(xiàn)不是對(duì)愿望否認(rèn)，而是把愿望合并和提升到一種更高意識(shí)水平上。15、無(wú)論是美女歌聲，還是鬢狗狂吠，無(wú)論是鱷魚(yú)眼淚，還是惡狼嚎叫，都不會(huì)使我動(dòng)搖。16、雖然遇到了不幸災(zāi)難，已經(jīng)開(kāi)始了事情決不放棄。17、最可怕敵人，就是沒(méi)有堅(jiān)強(qiáng)信念。18、既然我已經(jīng)踏上這條道路，那么，任何東西都不應(yīng)妨礙我沿著這條路走下去。19、意志若是屈從，無(wú)論程度如何，它都幫助了暴力。20、有了堅(jiān)定意志，就等于給雙腳添了一對(duì)翅膀。21、意志堅(jiān)強(qiáng)，就會(huì)戰(zhàn)勝惡運(yùn)。22、只有剛強(qiáng)人，才有神圣意志，凡是戰(zhàn)斗人，才能取得勝利。23、卓越人一大長(zhǎng)處是：在不利和艱難遭遇里百折不撓。24、疼痛強(qiáng)度，同自然賦于人類意志和剛度成正比。25、能夠巋然不動(dòng)，堅(jiān)持正見(jiàn)，度過(guò)難關(guān)人是不多。26、鋼是在烈火和急劇冷卻里鍛煉出來(lái)，因此才能堅(jiān)硬和什么也不怕。我們一代也是這樣在斗爭(zhēng)中和可怕考驗(yàn)中鍛煉出來(lái)，學(xué)習(xí)了不在生活面前屈服。27、只要連續(xù)地努力，不懈地奮斗，就沒(méi)有征服不了東西。28、立志不堅(jiān)，終不濟(jì)事。29、功崇惟志，業(yè)廣惟勤。30、一種崇高目標(biāo)，只要不渝地追求，就會(huì)居為壯舉；在它純潔目光里，一切美德必將勝利。31、書(shū)不記，熟讀可記；義不精，細(xì)思可精；惟有志不立，直是無(wú)著力處。32、您得相信，有志者事竟成。古人告誡說(shuō)：“天國(guó)是努力進(jìn)入”。只有當(dāng)勉為其難地一步步向它走去時(shí)候，才必須勉為其難地一步步走下去，才必須勉為其難地去達(dá)成它。33、告訴你使我達(dá)成目標(biāo)奧秘吧，我唯一力量就是我堅(jiān)持精神。34、成大事不在于力量大小，而在于能堅(jiān)持多久。35、一種人所能做就是做出好楷模，要有勇氣在風(fēng)言風(fēng)語(yǔ)社會(huì)中堅(jiān)定地高舉倫理信念。36、雖然在把眼睛盯著大地時(shí)候，那超群目光仍然保持著凝視太陽(yáng)能力。37、你既然盼望輝煌偉大一生，那么就應(yīng)當(dāng)從今天起，以毫不動(dòng)搖決心和堅(jiān)定不移信念，憑自己智慧和毅力，去發(fā)明你和人類快樂(lè)。38、一種有決心人，將會(huì)找到他道路。39、在希望與失望決斗中，假如你用勇氣與堅(jiān)決雙手緊握著，勝利必屬于希望。40、富貴不能淫，貧賤不能移，威武不能屈。41、生活道路一旦選定，就要勇敢地走究竟，決不回頭。42、生命里最主要事情是要有個(gè)遠(yuǎn)大目標(biāo)，并借助才能與堅(jiān)持來(lái)完成它。43、事業(yè)常成于堅(jiān)忍，毀于急躁。我在沙漠中曾親眼看見(jiàn)，匆忙旅人落在沉著后邊；飛奔駿馬落在后頭，緩步駱駝繼續(xù)向前。44、有志者事竟成。45、窮且益堅(jiān)，不墜青云之志。46、意志目標(biāo)不在自然中存在，而在生命中蘊(yùn)藏。47、堅(jiān)持意志偉大事業(yè)需要始終不渝精神。48、思想形成，首先是意志形成。49、誰(shuí)有歷經(jīng)千辛萬(wàn)苦意志，誰(shuí)就能達(dá)成任何目標(biāo)。50、不作什么決定意志不是現(xiàn)實(shí)意志；無(wú)性格人歷來(lái)不做出決定。我終生等候，換不來(lái)你剎那凝眸。最美不是下雨天，是曾與你躲過(guò)雨屋檐。征服畏懼、建立自信最快最確實(shí)辦法，就是去做你膽怯事，直到你取得成功經(jīng)驗(yàn)。真正愛(ài)，應(yīng)當(dāng)超越生命長(zhǎng)度、心靈寬度、靈魂深度。生活真象這杯濃酒，不經(jīng)三番五次提煉呵，就不會(huì)這樣可口！人格完善是本，財(cái)富確實(shí)立是末能力能夠慢慢鍛煉，經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚵e累，熱情不能夠沒(méi)有。無(wú)論什么東西，總是以為，他人比自己好！只有經(jīng)歷過(guò)地獄般折磨，才有征服天堂力量。只有流過(guò)血手指才能彈出世間絕唱。對(duì)時(shí)間價(jià)值沒(méi)有沒(méi)有深切結(jié)識(shí)人，決不會(huì)堅(jiān)韌勤勉。第一種青春是上帝給；第二個(gè)青春