高數(shù)數(shù)學(xué)第四章d4習(xí)題課

一、求不定積分的基本方法二、幾種特殊類型的積分習(xí)題課不定積分的計(jì)算方法第四章一、求不定積分的基本方法直接積分法通過簡(jiǎn)單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法.換元積分法第一類換元法第二類換元法(注意常見的換元積分類型)(代換:x

=j

(t))3.

分部積分法使用原則:1)

由

v

易求出

v

;2)

u￠v

dx

比好求.一般經(jīng)驗(yàn):

按“反,

對(duì),

冪,

指

,

三”

的順序,排前者取為

u

,

排后者取為v

.

u

v￠dx

=

u

v

-

u￠v

dx例1.

求2x3x2

x3

+

2解:

原式=

33(2)

x1

+

(2)2

x

dx

=

=3331

+

(2)2

xd

(2)

xln

21

dax

=

ax

ln

a

dx2

x

dxln

2

-

ln

3=

3

+

Carctan(

2

)x例2.

求解:1221+

x

)

+

5]原式=

[ln(x

+2x

+

1+

x2)

dx2x2

1+x2(1

+dx1

+

x2=32=

2

[ln(x

+1+

x

)

+

5

]

+

C23分析:d

[

ln(x

+

1

+

x

)

+

5]

=1

+

x2

)

+

5]d

[

ln(x

+例3.

求解:x

x2

dxcos2x2

cos2x

+

2sin原式=

=x2x

d

tandxx2tan

2+2=

x

tan

x

+

C分部積分例4.

設(shè)解:求積分令x

-y=t

,即y=x

-tt3x

=

,t

2

-1y

t

t

2

(t

2

-

3)=

,

而

dx

=

d

tt

2

-1

(t

2

-1)2\

原式=

dt(t

2

-1)21

t

2

(t

2

-

3)t3-t

2

-1

t

2

-13t2=

1

ln

(x

-

y)2

-1

+

C例5.

求解:

原式

=

-

arctan

ex

de-xx-x-x=

-e

arctan

e

+

eexdx1

+

e2

xx-x=

-e

arctan

edx1

+

e2

x(1

+

e2x

)

-

e2x+

2=

-e-x

arctan

ex

+

x

-

1

ln

(1+

e2

x

)

+

C例6.設(shè)證:證明遞推公式:1n

-

2x

tan

x

+

I

(n

?

2)n

-1

n

-1n-2n-2In

=

sec=

secn-2

x

tan

x-(n

-

2)

In+(n

-

2)

In-2In

=

secn-2

x

sec2

x

dx=

secn-2

x-(n

-

2)

secn-3

x

sec

x

tan

x=

secn-2

x

tan

x-(n

-

2)

secn-2

x

(sec2

x

-1)

dx例7.

設(shè)為的原函數(shù),且求解:

由題設(shè)

F

(x)

=

f

(x),

則故即,因此故又二、幾種特殊類型的積分1.

一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡(jiǎn)單無理函數(shù)三角代換根式代換需要注意的問題一般方法不一定是最簡(jiǎn)便的方法

,

要注意綜合 使用各種基本積分法,

簡(jiǎn)便計(jì)算

.初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),因此不一 定都能積出.例如,

1

-

k

2

sin

2

x

dx

(0

<

k

<1)

,比較同類項(xiàng)系數(shù)A

-

B

=

-1,

故

A

=1,

B

=

2∴原式=

dx

+2

d(cos

x

+sin

x)cos

x

+

sin

x=

x

+

ln

cos

x

+

sin

x

+

Cc

cos

x

+

d

sin

x說明:此技巧適用于形為

a

cos

x

+b

sin

x

dx

的積分.例8.

求解:

令

3cos

x

-

sin

x=

A(cos

x

+

sin

x)

+

B(cos

x

+

sin

x)=

(

A

+

B)

cos

x

+(

A

-

B)sin

xA

+

B

=

3=

a

cos

x

+

b

sin

xsin

x1例9.

求I解：因?yàn)閏os

xI2

=

a

cos

x

+

b

sin

x

dx

.dx

及

a

cos

x

+

b

sin

x

dxa

cos

x

+

b

sin

x

b

cos

x

-

a

sin

x

d

xa

cos

x

+

b

sin

x例10.

求不定積分解:原式

1

=

A

+

B

+

C (2+u)(u2

-1) 2

+u u

-1

u

+1d

x(a

-

b

?

kp

)sin(x

+

a) sin(x

+

b)例11.求I

=

sin(x

+

a) sin(x

+

b)

sin[(x

+

a)

-(x

+

b)]

d

x1sin(a

-

b)d

x1

sin(x

+

a) sin(x

+

b)=sin(x

+

a)cos(x

+

b)-

cos(x

+

a)sin(x

+

b)sin(a

-

b)1=[

cos(x

+

b)

d

x

-

cos(x

+

a)

d

x=sin(x

+

b) sin(x

+

a)[ln sin(x

+

b)

-

ln sin(x

+

a)

]+

Csin(a

-

b)1+

C=sin(x

+

a)sin(a

-

b)sin(a

-

b)1

ln

sin(x

+

b)解:I

=例12.

求x-b解:

I

=

(x

-

a)

(x

-

b)

n

x-adx(n

為自然數(shù))令則dxa

-

b(x

-

b)2ntn-1

dt

==t

2a

-

bb

-

a

tn

dt

=

n1

+

Cf

(

x)1)

h1=e

x

,求f

(x).f

(

x

+

hx

)例13(2002)已知函數(shù)f

(x)在(0,+￥

)內(nèi)可導(dǎo)，f

(x)>0,f

(x)=1,且滿足lim(h

fi

0limx

fi

+￥lnh f

(

x

)f

(

x

)1

f

(

x

+

hx

)f

(

x

+

hx

)1)

h

,

則

ln

y

=解：設(shè)y

=(hxf

(

x)lnx(ln

f

(

x

+

hx)

-

ln

f

(

x))1

f

(

x

+

hx)lim

ln

y

=

lim=

limhfi

0hfi

0

hhfi

01e

x

[ln

f

(

x

)]￠

=

e

x由已知條件得1

[ln

f

(

x)]￠=

,x

21)

hlim

(hfi

0=

x[ln

f

(

x)]=

e

x

[ln

f

(

x

)]￠

f

(

x

+

hx

)

f

(

x

)1-f

(

x)

=

Ce

xlim

f

(

x)

=

1

C

=

1,xfi

+￥x1-f

(x)

=

e例14

(2002

,6)設(shè)f

(sin

2

x

)

=

x

,求

x

f

(

x

)dx1

-

xu

,

x

=

arcsin

u

,sin

x解：令

u

=

sin

2

x

,

sin

x

=u

xf

(u)

=

arcsin

u

,即f

(

x

)

=

arcsin

xx

dx

x