利率衍生品定價(jià)模型及其libor應(yīng)用

利率衍生品定價(jià)模型及其libor應(yīng)用

一、利率衍生品的定價(jià)研究與權(quán)益和外匯產(chǎn)品相比，利率產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，很難確定?；谝韵略?，評(píng)估是困難的。單一利率的概率行為比市價(jià)和匯率指數(shù)的概率行為更復(fù)雜、更不預(yù)測(cè)。為了應(yīng)對(duì)許多利率產(chǎn)品的估值，有必要開發(fā)一種描述整個(gè)利率曲線概率行為的模型。在所有收入曲線中，不同金額的利率波動(dòng)率都不同。利率不僅用于確定未來利率產(chǎn)品的支付情況，還用于抵消這些支付，以確定衍生品的價(jià)格。由此可見,利率衍生品的定價(jià)研究面臨的挑戰(zhàn)也要更大些。涌現(xiàn)出大量不同假設(shè)條件的利率模型研究利率衍生品的定價(jià)問題,其中就包括Black模型,這是定價(jià)利率衍生品的標(biāo)準(zhǔn)模型,該模型原本是為定價(jià)商品期貨期權(quán)而開發(fā)的,但是在后來的應(yīng)用過程中,發(fā)現(xiàn)其在金融工程的許多其他方面都適用,包括定價(jià)利率衍生品。Black模型在利率衍生品定價(jià)的應(yīng)用中,假設(shè)標(biāo)的利率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布和假設(shè)波動(dòng)率是常數(shù),這與金融市場(chǎng)中的實(shí)際情況不符合,是該模型固有的缺陷之所在。20世紀(jì)90年代末期開始,經(jīng)過Brace,Gatarek,Musiela(1997),Jamshidian(1997),Miltersen,Sandmann,Sondermann(1997)等人的共同努力以及不斷發(fā)展與完善,在金融工程領(lǐng)域引入了著名的LIBOR市場(chǎng)模型,并且迅速在利率衍生品的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理等方面得到了廣泛的應(yīng)用。二、利率衍生品市場(chǎng)模型的存在性K.Miltersen,K.Sandmann和D.Sondermann于1997年建立了LIBOR市場(chǎng)模型。此后,Brace,Gatarek和Musiela(1997)對(duì)該模型進(jìn)行不斷的改進(jìn)與發(fā)展,將該模型確定為能夠應(yīng)用于實(shí)踐中的標(biāo)準(zhǔn)模型,因此LIBOR市場(chǎng)模型在金融理論與實(shí)務(wù)界也被稱為BGM模型,以此來紀(jì)念這三位偉大金融學(xué)家的原創(chuàng)性工作。在實(shí)踐的應(yīng)用中,利率上限/下限、互換期權(quán)等交易活躍的利率衍生品的定價(jià),通常是假設(shè)這些利率衍生品的標(biāo)的利率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,而且其分布的漂移項(xiàng)均為零,在這樣的假設(shè)條件下,利率衍生品定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)公式為Black模型(1997)。然而,在無套利定價(jià)的假設(shè)條件下,連續(xù)時(shí)間區(qū)間的遠(yuǎn)期利率之間是相互關(guān)聯(lián)的,因此這些不同時(shí)間區(qū)間的遠(yuǎn)期利率在同一無套利測(cè)度不可能都滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布。Jamshidian(1997)展示了通過套利的方式來定價(jià)與對(duì)沖LIBOR和互換衍生品的一種理論。他確定了適當(dāng)?shù)闹Ц锻恍耘c可測(cè)性條件,由此來確保可以通過自我融資的交易策略來獲得給定的支付。因?yàn)長(zhǎng)IBOR與互換衍生品均滿足該條件,表明它們通過有限數(shù)目的零息債券來進(jìn)行定價(jià)與實(shí)現(xiàn)對(duì)沖。該文介紹了無套利定價(jià)系統(tǒng)并且建立了相等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn),在此基礎(chǔ)上,得到了遠(yuǎn)期LIBOR利率與互換利率期限結(jié)構(gòu)的隨機(jī)偏微分方程;并且證明了,如果遠(yuǎn)期LIBOR利率與互換利率的滿足的波動(dòng)率函數(shù)是有界的話,那么他們滿足的隨機(jī)偏微分方程有唯一的正值解,說明了這種波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)下的無套利模型的存在性。JohnHull(1999)在LIBOR市場(chǎng)模型的框架下,找到了定價(jià)歐式互換期權(quán)的一種近似方法,并且利用市場(chǎng)數(shù)據(jù)證明了該近似方法的合理性與高精度的性質(zhì),證明了該近似方法是一種實(shí)現(xiàn)迅速并且定價(jià)準(zhǔn)確的方法,對(duì)LIBOR市場(chǎng)模型進(jìn)行了擴(kuò)展。通過對(duì)互換期權(quán)定價(jià)的近似方法,使得將市場(chǎng)中觀察到的利率上限的波動(dòng)率轉(zhuǎn)換到歐式互換期權(quán)的波動(dòng)率成為可能。該文的主要貢獻(xiàn)之一就是給交易員提供一種簡(jiǎn)單易用的方法,實(shí)現(xiàn)從利率上限的波動(dòng)率(由市場(chǎng)經(jīng)紀(jì)者提供)到互換期權(quán)波動(dòng)率(市場(chǎng)經(jīng)紀(jì)者并不提供)的轉(zhuǎn)換。同時(shí),該文也簡(jiǎn)化了通過利率上限與歐式互換期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格來校準(zhǔn)LI-BOR市場(chǎng)模型參數(shù)的過程。C.J.Hunter,P.Jackel和M.S.Joshi(2001)研究了基于遠(yuǎn)期利率的LIBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程的漂移項(xiàng)的不同近似計(jì)算方法。該文提出了predictor-corrector方法,該方法允許較長(zhǎng)的時(shí)間步長(zhǎng),并且并不是得到對(duì)數(shù)正態(tài)的概率密度函數(shù)。采用predictor-corrector方法,可以在剛才提到過的較長(zhǎng)時(shí)間步長(zhǎng)上近似得到遠(yuǎn)期利率的漂移項(xiàng),從而得到LIBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)期利率的隨機(jī)偏微分方程的近似解,這也大大地減少了計(jì)算時(shí)間。本文通過實(shí)例證明了predictor-corrector方法在利率衍生品定價(jià)中的準(zhǔn)確性,特別地,我們證明了在每一個(gè)單獨(dú)的時(shí)間步長(zhǎng)里,可以得到長(zhǎng)達(dá)20年的遠(yuǎn)期利率。PaulGlasserman(2001)認(rèn)為,在利率衍生品定價(jià)中的一個(gè)重要進(jìn)步就是在保持利率穩(wěn)定性的同時(shí),利率模型包含了遠(yuǎn)期利率或者互換利率的對(duì)數(shù)正態(tài)的波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。而LIBOR市場(chǎng)模型的顯著的吸引人的特征之一就是該模型計(jì)算出的利率上限的價(jià)格與互換期權(quán)的價(jià)格與Black模型計(jì)算出來的結(jié)果是一致的,因此可以通過利率衍生品的市場(chǎng)價(jià)格來校準(zhǔn)LIBOR市場(chǎng)模型的參數(shù)。我們?cè)诒疚闹薪榻B了一種對(duì)LIBOR市場(chǎng)模型進(jìn)行離散化處理的方法,采用該離散化方法,可以保持LIBOR市場(chǎng)的無套利性,而且離散化處理后能夠保持利率是正值。該方法將LIBOR利率或者互換利率轉(zhuǎn)化為正的鞅,然后對(duì)這些鞅做離散化處理,進(jìn)而從這些離散化的變量來重新獲得LIBOR利率與互換利率?？梢钥吹?該方法并不是直接對(duì)利率作離散化處理的。通過該方法,可以采用離散化后的變量對(duì)任意到期期限的利率上限切片進(jìn)行定價(jià),定價(jià)的結(jié)果是沒有誤差的。本文也采用數(shù)值方法計(jì)算了其他利率上限切片與互換期權(quán)的定價(jià)精確性,從而驗(yàn)證模型參數(shù)校準(zhǔn)的準(zhǔn)確性。從數(shù)值計(jì)算的結(jié)果來看,本文介紹的對(duì)LIBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程的離散化處理的方法,得到的定價(jià)的結(jié)果要比其他的離散化處理方法得到的定價(jià)結(jié)果要更加精確。LIBOR市場(chǎng)模型的基本假設(shè)條件是LIBOR利率滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布,然而,在越來越多的利率上限與互換期權(quán)市場(chǎng)上發(fā)現(xiàn),該假設(shè)條件是不能夠滿足的。特別地,利率上限切片與互換期權(quán)的隱含Black波動(dòng)率通常是執(zhí)行價(jià)格與息票的單調(diào)下降函數(shù),這表明了相比于對(duì)數(shù)正態(tài)分布而言,實(shí)際中的遠(yuǎn)期利率的分布具有明顯的厚尾部分,這就是所謂的波動(dòng)率(skew),這種現(xiàn)象在日本市場(chǎng)上是非常的明顯,同時(shí)在美國(guó)與德國(guó)市場(chǎng)上也存在這種波動(dòng)率。這種現(xiàn)象的出現(xiàn),激勵(lì)建模者對(duì)LIBOR市場(chǎng)模型進(jìn)行擴(kuò)充,建立新的模型,要求離散化的遠(yuǎn)期利率的擴(kuò)散系數(shù)均為遠(yuǎn)期利率本身的非線性函數(shù)。本文總結(jié)了一類這樣的模型,稱之為擴(kuò)展的市場(chǎng)模型。這些模型的特征是遠(yuǎn)期利率的擴(kuò)散項(xiàng)是可分離的(separable)。在此意義下,說明遠(yuǎn)期利率的擴(kuò)散項(xiàng)可以表示為通常意義的時(shí)間與到期期限相關(guān)的乘積函數(shù),并且是具有時(shí)齊性特征的遠(yuǎn)期利率的非線性函數(shù)。本文說明了可分離形式的擴(kuò)散系數(shù)是可追蹤的,而且通過一維向前或者向后的偏微分方程的數(shù)值解法能夠快速的利用利率上限切片的價(jià)格來校準(zhǔn)LIBOR市場(chǎng)模型的參數(shù)。本文尤其將重點(diǎn)放在了一般化的常數(shù)彈性波動(dòng)率(CEV)過程上,利用該過程,可以得到利率上限與互換期權(quán)價(jià)格的表達(dá)式,在此基礎(chǔ)上,作者還對(duì)常數(shù)彈性波動(dòng)率的過程作了一些修改,使其具有更為吸引人的特性。最后,本文利用CrankNicholson有限差分法和蒙特卡洛模擬法對(duì)其提出的模型作了數(shù)值化檢驗(yàn)。AndersenandAndreasen(2000)利用常數(shù)彈性方差(CEV)LIBOR市場(chǎng)模型,考慮了波動(dòng)率,得到了利率衍生品定價(jià)的封閉式解形式,這種解的形式與標(biāo)準(zhǔn)的LIBOR市場(chǎng)模型得到的解的形式很相似,因此被廣泛應(yīng)用于LIBOR市場(chǎng)模型的參數(shù)。JohnHull(1999)研究了如何運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的LIBOR市場(chǎng)模型定價(jià)利率上限以及歐式互換期權(quán),同時(shí)應(yīng)用Andersen等(2000)提出的擴(kuò)展LIBOR市場(chǎng)模型,將觀察到的利率上限的波動(dòng)率轉(zhuǎn)化到應(yīng)用于歐式互換期權(quán)的波動(dòng)率,進(jìn)而對(duì)互換期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。JoshiRebonto(2002)采用DisplacedDiffusion(DD)過程得到利率上限的封閉形式解;CEV模型與DD模型的缺陷在于假定波動(dòng)率的單調(diào)性,這與市場(chǎng)觀察到的波動(dòng)率的情況不完全一致。JoshiRebonato(2002)將隨機(jī)波動(dòng)率引入到模型中,極大地?cái)U(kuò)展了模型的應(yīng)用。但是從目前的文獻(xiàn)研究來看,國(guó)內(nèi)理論界及實(shí)務(wù)界對(duì)LIBOR市場(chǎng)模型均還沒有公開的研究成果發(fā)表,也尚未有使用LIBOR市場(chǎng)模型實(shí)現(xiàn)利率衍生品定價(jià)方面的研究成果出現(xiàn)。三、遠(yuǎn)期利率模型鑒于國(guó)內(nèi)目前此方面的研究還很少,本節(jié)將兩種方法做一個(gè)理論總結(jié)(1),這也是后面實(shí)證分析的理論基礎(chǔ)所在。定義t0=0,而且使t1,t2,…為當(dāng)日市場(chǎng)上交易的利率上限的各期重置日期。約定:Fk(t)為t時(shí)刻觀察到的tk時(shí)刻到tk+1時(shí)刻的遠(yuǎn)期利率;m(t)為t時(shí)刻后的下一次重置日期的序號(hào),即,m(t)為滿足條件t≤tm(t)的最小整數(shù);ζk(t)為遠(yuǎn)期利率Fk(t)的波動(dòng)率。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中,遠(yuǎn)期測(cè)度條件下的LIBOR市場(chǎng)模型為:由此等式可知,為得到遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu),LI-BOR市場(chǎng)模型的輸入?yún)?shù)包括初始收益率曲線、瞬時(shí)波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)等。由于遠(yuǎn)期測(cè)度下的LIBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程是沒有顯示解的,為了模擬出遠(yuǎn)期利率Fk(t)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,必須對(duì)該方程進(jìn)行近似求解。在數(shù)學(xué)應(yīng)用中,可以采用蒙特卡洛模擬法、有限差分法或者樹圖等方法得到該方程的近似解。本文在近似求解LIBOR市場(chǎng)模型所表達(dá)的隨機(jī)偏微分方程的過程中,采用的是蒙特卡洛模擬法和構(gòu)造二叉樹的方法。(一)基于隨機(jī)偏微分方程的限制為實(shí)現(xiàn)蒙特卡洛模擬法,上面的等式需要進(jìn)行離散化處理。在理論與實(shí)踐的應(yīng)用中,離散化處理的方法用很多種,包括Euler方法、Predictor-Corrector方法、BrownianBridge方法、CombinedPredictorCorrector-BrownianBridge方法等。在LIBOR市場(chǎng)模型中,遠(yuǎn)期利率服從的動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程的漂移項(xiàng)及波動(dòng)率項(xiàng),這兩者都不但依賴于時(shí)間變量而且依賴于狀態(tài)變量,因此,通過引入一個(gè)新的隨機(jī)變量lnFk(t),即,遠(yuǎn)期利率Fk(t)的對(duì)數(shù)形式,那么由Ito’s引理,我們可以推導(dǎo)出隨機(jī)變量lnFk(t)所滿足的過程是:如果,作為L(zhǎng)IBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程的一種近似,我們?cè)谟?jì)算隨機(jī)變量lnFk(t)的漂移項(xiàng)的時(shí)候,可以假設(shè)對(duì)于任何的tj<t<tj+1,有Fi(t)=Fi(tj)成立。那么有:其中,ε為來自于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的隨機(jī)樣本。LIBOR市場(chǎng)模型可以擴(kuò)展到包含有多個(gè)相互獨(dú)立的因子的情況。假定有p個(gè)獨(dú)立因子的情形,其中ζk,q為遠(yuǎn)期利率Fk(t)的波動(dòng)率的第q個(gè)組成要素。那么LIBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程為:LIBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程,除了前面介紹的通過蒙特卡洛方法求出其近似解之外,還可以通過構(gòu)建二叉樹的方法來求出其近似解。約定γn(t)為遠(yuǎn)期LIBOR利率的波動(dòng)率,為遠(yuǎn)期利率協(xié)方差,Kn(t)=[δLn(t)]/[1+δLn(t)]為遠(yuǎn)期利率波動(dòng)率組成部分,為L(zhǎng)IBOR市場(chǎng)模型鞅。二叉樹方法得到的LIBOR市場(chǎng)模型的近似解為:考慮遠(yuǎn)期利率的波動(dòng)率的這些性質(zhì)后,我們可以對(duì)前面的近似情況做出一些改進(jìn):四、基于lictor市場(chǎng)模型的實(shí)現(xiàn)前面主要從理論模型的角度總結(jié)分析了LI-BOR市場(chǎng)模型的假設(shè)和模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程的不同近似解法,包括蒙特卡洛模擬法以及構(gòu)建二叉樹的方法。本節(jié)將主要從實(shí)證應(yīng)用的角度出發(fā),具體考慮如何實(shí)現(xiàn)LIBOR市場(chǎng)模型,包括如何從利率上限的隱含波動(dòng)率得到利率上限切片的波動(dòng)率;如何在LIBOR市場(chǎng)模型的框架下應(yīng)用蒙特卡洛算法模擬出利率上限的價(jià)格;在一定的假設(shè)條件下,如何構(gòu)建LIBOR遠(yuǎn)期利率的二叉樹結(jié)構(gòu)圖,并且利用該二叉樹實(shí)現(xiàn)對(duì)利率上限切片的定價(jià),然后將此計(jì)算結(jié)果與利用Black模型定價(jià)的結(jié)果進(jìn)行比較;本文還通過采用分離式的波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu),利用互換期權(quán)的價(jià)格來進(jìn)行LIBOR市場(chǎng)模型參數(shù)的校準(zhǔn),從而得到LIBOR遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率結(jié)構(gòu)。(一)bor遠(yuǎn)期利率變化的市場(chǎng)調(diào)查與比較本文使用的數(shù)據(jù)包括收益率曲線、利率上限的市場(chǎng)報(bào)價(jià)(隱含波動(dòng)率)、互換期權(quán)的市場(chǎng)報(bào)價(jià)。我們采用解鞋帶的算法從利率上限的隱含波動(dòng)率中得到不同期限的利率上限切片的波動(dòng)率,然后利用蒙特卡洛算法模擬LIBOR遠(yuǎn)期利率,實(shí)現(xiàn)對(duì)利率上限的定價(jià);同時(shí),利用互換期權(quán)的市場(chǎng)報(bào)價(jià),進(jìn)行LIBOR市場(chǎng)模型的校準(zhǔn),得到遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率。所有的數(shù)據(jù)都取自于2008年8月12日美國(guó)金融市場(chǎng)的實(shí)際數(shù)據(jù):通過貨幣市場(chǎng)工具、美元期貨、利率互換而得到的平價(jià)收益率曲線(Parinterestratecurve);平值的利率上限的隱含波動(dòng)率以及平值的互換期權(quán)的隱含波動(dòng)率(ATMcapvol.andATMswaptionvol.)。下面我們將報(bào)告平值互換期權(quán)的隱含波動(dòng)率。所謂平值互換期權(quán),是指該隱含波動(dòng)率滿足該期權(quán)的標(biāo)的互換的執(zhí)行價(jià)格等于遠(yuǎn)期互換利率的條件?；Q期權(quán)的市場(chǎng)數(shù)據(jù)如表2所示。(二)模型計(jì)算結(jié)果比較本節(jié)采用蒙特卡洛算法近似得到LIBOR遠(yuǎn)期利率,進(jìn)而計(jì)算出利率上限的價(jià)格,并且與Black模型計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較;同時(shí)通過構(gòu)建LIBOR利率的二叉樹結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)利率上限切片的定價(jià)。我們通過“解鞋帶”算法實(shí)現(xiàn)從利率上限的隱含波動(dòng)率剝離出利率上限切片的波動(dòng)率。本文用到的解鞋帶算法如下:(三)蒙特卡洛模型法確定利率的結(jié)果(四)利率上限切片的價(jià)格—二叉樹方法定價(jià)利率上限切片的數(shù)值結(jié)果為了檢驗(yàn)4.2節(jié)描述的二叉樹定價(jià)方法,本文根據(jù)如下的參數(shù)構(gòu)建二叉樹:1.δ=0.5(六個(gè)月的LIBOR);2.N=8。出于計(jì)算方便的考慮,本節(jié)做了一些簡(jiǎn)化的假設(shè)條件。假設(shè)初始的收益率曲線為平的,即所有的LIBOR遠(yuǎn)期利率均為5%。定價(jià)的利率上限切片的到期期限為4.5年,執(zhí)行利率K=5%。利用二叉樹得到的利率上限切片的價(jià)格與Black模型計(jì)算的結(jié)果如下:可以看出,當(dāng)利率上限切片的波動(dòng)率小于40%的時(shí),利用二叉樹方法定價(jià)的結(jié)果還是比較準(zhǔn)確的。隨著波動(dòng)率的增加,二叉樹方法定價(jià)結(jié)果的差異逐漸增大。(五)基于修正的全價(jià)格博弈模型我們可以利用互換期權(quán)的價(jià)格來校準(zhǔn)LIBOR市場(chǎng)模型參數(shù)。從而得到遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率(2)。模型參數(shù)的校準(zhǔn)結(jié)果如表5所示:由計(jì)算結(jié)果(右邊所示)可知,市場(chǎng)上報(bào)價(jià)的互換期權(quán)的波動(dòng)率與其理論值之間的均方根誤差(RMSE)為:R。在計(jì)算出修正的協(xié)方差矩陣ΦPCA后,我們就可以運(yùn)用該矩陣來確定遠(yuǎn)期利率之間的瞬時(shí)波動(dòng)率(3)。在此算法下,我們可以得到遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率如下:此種方法得到的遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率可用于LIBOR市場(chǎng)模型的隨機(jī)偏微分方程中,從而得到遠(yuǎn)期利率。該方法只是利用互換期權(quán)的價(jià)格校準(zhǔn)LI-BOR市場(chǎng)模型的方法之一。通過指定不同的LAB-MDA,可以得到不同的參數(shù)校準(zhǔn)結(jié)果,可以根據(jù)市場(chǎng)上報(bào)價(jià)的互換期權(quán)的波動(dòng)率與其理論值之間的均方根誤差(RMSE)來評(píng)價(jià)各種不同方法的優(yōu)劣,均方根誤差越小越好;還有一種方法就是在本計(jì)算的過程中,引入最優(yōu)化算法,目標(biāo)函數(shù)就是均方根誤差,找到使該函數(shù)最小化的LAMBDA值,然后進(jìn)一步校準(zhǔn)遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率。五、擴(kuò)展libor市場(chǎng)模型以含波動(dòng)率的smle/sk排放本文首先介紹LIBOR市場(chǎng)模型的基本理論,包括LIBOR市場(chǎng)模型地建立,市場(chǎng)模型的參數(shù)校準(zhǔn)方法,以及LIBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程的近似解法。在此基礎(chǔ)上,本文主要實(shí)現(xiàn)了分別運(yùn)用利率上限和互換期權(quán)的市場(chǎng)報(bào)價(jià)來校準(zhǔn)LIBOR市場(chǎng)模型參數(shù),得到LIBOR遠(yuǎn)期利率的瞬時(shí)波動(dòng)率。由于市場(chǎng)報(bào)價(jià)與通過模型得到的價(jià)格之間的均方根誤差比較小,說明模型參數(shù)的校準(zhǔn)結(jié)果是比較準(zhǔn)確的。在校準(zhǔn)模型參數(shù)的基礎(chǔ)上,本文利用LIBOR市場(chǎng)模型實(shí)現(xiàn)了最基本的利率衍生品———利率上限的定價(jià),包括采用蒙特卡洛模擬法以及構(gòu)建二叉樹的方法近似求解出LIBOR市場(chǎng)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程,得到LIBOR遠(yuǎn)期利率,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)利率衍生品的定價(jià),并且將LIBOR市場(chǎng)模型的定價(jià)結(jié)果與采用標(biāo)準(zhǔn)利率衍生品定價(jià)模型———Black模型的定價(jià)結(jié)果進(jìn)行了比較,不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于利率上限的定價(jià)而言,在LIBOR市場(chǎng)模型框架下,運(yùn)用蒙特卡洛模擬法的定價(jià)結(jié)果是比較準(zhǔn)確,與Black模型的定價(jià)結(jié)果差異不是很多;而運(yùn)用二叉樹方法進(jìn)行利率上限切片定價(jià)的時(shí)候,我們發(fā)現(xiàn),定價(jià)結(jié)果的誤差隨著利率上限切片的波動(dòng)率的增加而有明顯的增加:波動(dòng)率小于40%的定價(jià)結(jié)果是比較準(zhǔn)確的,而波動(dòng)率大于40%的定價(jià)結(jié)果就會(huì)有比較大的偏離,隨著波動(dòng)率的增加,這種偏離也就會(huì)越大。本文從最原始的LIBOR市場(chǎng)模型入手,研究LIBOR遠(yuǎn)期利率的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,模擬出LIBOR遠(yuǎn)期利率的路徑,進(jìn)而對(duì)最基本的利率衍生品進(jìn)行估值。在金融研究領(lǐng)域,金融衍生工具的定價(jià)還留有不少的問題,甚至標(biāo)的“香草型”金融工具(plain-vanillainstruments)的定價(jià)也還有些問題。但是,包括最開始的LIBOR市場(chǎng)模型,以及后來很多的研究人員與金融市場(chǎng)實(shí)踐者在校準(zhǔn)LIBOR市場(chǎng)模型參數(shù)的時(shí)候,都采用的是這些也許定價(jià)不完全正確的金融工具,而且在模型參數(shù)校準(zhǔn)的過程中,采用的都是平值期權(quán)(atthemoneyoption)。然而,事實(shí)上,實(shí)值期權(quán)或者虛值期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格與利用平值期權(quán)校準(zhǔn)的模型而計(jì)算出的理論價(jià)格是會(huì)有相當(dāng)大的差異的。因此,在以后的研究與應(yīng)用中,可以進(jìn)一步研究在LIBOR市場(chǎng)模型的框架下,如何利用非平值的期權(quán)進(jìn)行模型參數(shù)的校準(zhǔn),進(jìn)而對(duì)金融衍生工具進(jìn)行更加合理的定價(jià)。可以參考的一種方法就是研究如何對(duì)LI-BOR市場(chǎng)模型進(jìn)行擴(kuò)展,使得該模型可以包含波動(dòng)率smile/skew,因?yàn)樵贚IBOR市場(chǎng)上,對(duì)于隱含波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu),通?？梢杂^察到比較明顯的smileskew形狀,而傳統(tǒng)的市場(chǎng)模型包含的只是平值期權(quán)的平的波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu),因此衍生品的定價(jià)會(huì)有偏差。如何擴(kuò)展LIBOR市場(chǎng)模型以包含波動(dòng)率smileskew是進(jìn)一步的研究方向之一。本文主要實(shí)現(xiàn)了對(duì)利率上限的定價(jià),這是該模型最基本的應(yīng)用,下一步的工作就是研究該模型在其他金融衍生工具定價(jià)中的應(yīng)用,尤其是如何實(shí)現(xiàn)對(duì)一些奇異類的利率衍生金融工具的定價(jià)。因?yàn)長(zhǎng)IBOR市場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏微分方程沒有顯示解,目前常見的方法就是采用蒙特卡洛模擬法,這對(duì)于只有一個(gè)執(zhí)行日的歐式衍生工具的定價(jià)是很合適的,但是,對(duì)于有多個(gè)執(zhí)行日的利率衍生品,比如美式或者百慕大式期權(quán),采用蒙特卡洛模擬法實(shí)現(xiàn)其定價(jià)是比較困難的,在應(yīng)用中,需要增加一些額外的步驟與程序才能實(shí)現(xiàn)定價(jià)的要求,或者可以進(jìn)一步研究在LIBOR市場(chǎng)模型的框架下,如何更好地構(gòu)建出LIBOR遠(yuǎn)期利率對(duì)應(yīng)的樹結(jié)構(gòu)———二叉樹或者三叉樹結(jié)構(gòu)等,我們知道樹結(jié)構(gòu)在定價(jià)美式或者百慕大式期權(quán)的定價(jià)中有廣泛的應(yīng)用,而且定價(jià)的結(jié)果比較合理。這也是進(jìn)一步研究的另一個(gè)方向。(二)利率上限的計(jì)算1.確定所有利率上限切片的利率重置日期與到期日。這兩個(gè)日期可以根據(jù)利率上限的市場(chǎng)報(bào)價(jià)來確定。我們標(biāo)記這些日期為(以每三個(gè)月為限):Ts=T3m,T6m,T9m,…,TN2.根據(jù)上面步驟中確定的利率重置日期與到期日