關(guān)于連續(xù)譜本征函數(shù)歸一化的討論

關(guān)于連續(xù)譜本征函數(shù)歸一化的討論

1力學(xué)理論體系的基本假設(shè)在一些力學(xué)教材中，“連續(xù)譜的征函數(shù)不能歸一化”，并且將其歸一化為函數(shù)的“歸一化”。因此，學(xué)生們認(rèn)為，連續(xù)譜的函數(shù)的“歸一化”不是真正的歸一化，至少與孤立譜的函數(shù)的歸一化存在根本性差異。這種理解是不合適的，上述描述也是不合適的。量子力學(xué)理論體系是在幾個(gè)基本假定的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的.將有關(guān)的基本假定概述如下:量子力學(xué)體系的狀態(tài)由一個(gè)波函數(shù)描寫(xiě).力學(xué)量用厄密算符表示.力學(xué)量算符?F的本征函數(shù)組成一個(gè)完備系,且可以構(gòu)成一個(gè)正交歸一的完備系.量子力學(xué)體系的任一狀態(tài)波函數(shù)Ψ均可按上述的正交歸一完備函數(shù)系展開(kāi).當(dāng)體系處于Ψ態(tài)時(shí),測(cè)量力學(xué)量F得到的結(jié)果必為F的某個(gè)本征值,得到此結(jié)果的概率(或概率密度)為上述展開(kāi)式中相應(yīng)本征函數(shù)的系數(shù)的模平方.總的概率當(dāng)然應(yīng)該等于1,于是就要求把本征函數(shù)和狀態(tài)波函數(shù)歸一化,這就是歸一化的物理意義.無(wú)論力學(xué)量的本征值組成分立譜還是連續(xù)譜,本征函數(shù)和狀態(tài)波函數(shù)都應(yīng)該是歸一化的,也是可以歸一化的,其物理意義是一樣的,都表示測(cè)量力學(xué)量得到所有各種可能的結(jié)果的總概率等于1,只是數(shù)學(xué)表達(dá)的形式有所不同.2拉格朗日乘子法歸一化的波函數(shù)法為簡(jiǎn)單起見(jiàn),以下我們只討論一維的情況(讀者可以很容易地把下文中的公式推廣到三維的情況去),并且以動(dòng)量算符?p的本征函數(shù)作為連續(xù)譜本征函數(shù)的例子進(jìn)行討論.對(duì)于分立譜的情況,令λn(n=1,2,3,\:)為力學(xué)量F的本征值,φn(x)為相應(yīng)的本征函數(shù),滿(mǎn)足如下的正交歸一條件:∫φ*m(x)φn(x)dx=δmn.(1)任一歸一化的狀態(tài)波函數(shù)ψ(x)可以按{φn(x)}展開(kāi),得ψ(x)=∑ncnφn(x),(2)式中cn=∫φ*n(x)ψ(x)dx.(3)對(duì)處于ψ(x)態(tài)的體系測(cè)量力學(xué)量F,測(cè)得λn的概率是|cn|2.總的概率等于1,即∑n|cn|2=1.(4)動(dòng)量算符的本征值就是動(dòng)量p,組成連續(xù)譜,相應(yīng)的本征函數(shù)為φp(x)=1√2π?ei?px,(5)滿(mǎn)足如下的正交歸一條件:∫φ*p′(x)φp(x)dx=δ(p-p′).(6)任一歸一化的狀態(tài)波函數(shù)ψ(x)可以按{φp(x)}展開(kāi),得ψ(x)=∫c(p)φp(x)dp,(7)式中c(p)=∫φ*p(x)ψ(x)dx.(8)對(duì)處于ψ(x)態(tài)的粒子測(cè)量動(dòng)量,測(cè)得的結(jié)果在p→p+dp范圍內(nèi)的概率為|c(p)|2dp,即|c(p)|2是概率密度(單位動(dòng)量間隔范圍內(nèi)的概率).總的概率等于1,即∫|c(p)|2dp=1.(9)(4)式或(9)式成立的充分必要條件是∫ψ*(x)ψ(x)dx=∫|ψ(x′)|2dx′=1.(10)事實(shí)上,坐標(biāo)x也是一個(gè)力學(xué)量,它的本征值就是坐標(biāo)值,相應(yīng)于本征值x′的本征函數(shù)為δ(x-x′),將ψ(x)按x的本征函數(shù)展開(kāi),得ψ(x)=∫ψ(x′)δ(x-x′)dx′.(11)由此可見(jiàn),測(cè)量粒子位置(坐標(biāo))測(cè)得的值在x′→x′+dx′范圍內(nèi)的概率是|ψ(x′)|2dx′,即|ψ(x′)|2是概率密度.所以(10)式表示測(cè)量粒子位置的所有可能的結(jié)果的總概率等于1,它與(4)式或(9)式的物理意義是一致的.在一般的量子力學(xué)教科書(shū)中,把(10)式稱(chēng)為歸一化,對(duì)于(4)或(9)式則沒(méi)有明確地說(shuō)明它們也是歸一化的表示.由以上的說(shuō)明可知,(4)或(9)式與(10)式互為充要條件,同樣可以作為波函數(shù)歸一化的表示.有的學(xué)生問(wèn),當(dāng)p=p′時(shí),(6)式的積分不等于1,而等于∞,為什么稱(chēng)其為正交歸一條件?因?yàn)?6)式是保證(9)式成立,即保證總概率等于1的充要條件,所以稱(chēng)其為正交歸一條件.由于不確定原理,實(shí)際體系的動(dòng)量p總是具有一定的不確定度Δp,也就是說(shuō),測(cè)量體系的動(dòng)量得到的結(jié)果總是有一個(gè)連續(xù)分布的譜(盡管譜的寬度也許很窄).這樣,實(shí)際的狀態(tài)波函數(shù)ψ(x)及其動(dòng)量概率幅(即動(dòng)量表象中的波函數(shù))c(p)是平方可積的,歸一化條件(9)及(10)式總是可以滿(mǎn)足的.3x歸一化問(wèn)題在量子力學(xué)中,有時(shí)會(huì)處理一些理想化的情況.比如,動(dòng)量的不確定度Δp非常小,以致可以視為零,于是體系的動(dòng)量具有確定值(比如說(shuō),p=p0),則體系的波函數(shù)為ψ(x)∝ei?p0x,ψ(x)=Cei?p0x.(12)這個(gè)波函數(shù)能否歸一化?怎樣歸一化?在所有的量子力學(xué)教科書(shū)中都沒(méi)有討論這個(gè)問(wèn)題.因此在遇到這一類(lèi)理想化的問(wèn)題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)一些混亂.例如,在文獻(xiàn)的第三章有這樣一道習(xí)題:3.6設(shè)t=0時(shí),粒子的狀態(tài)為ψ(x)=A[sin2kx+12coskx],(13)求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能.在我們見(jiàn)到的所有的習(xí)題解中,給出的解答都有錯(cuò)誤.例如,有一本習(xí)題解是這樣解答這道題的:將ψ(x)用動(dòng)量本征函數(shù)展開(kāi)(按本文的(7)式展開(kāi))可得到出現(xiàn)不同動(dòng)量的幾率c(p)(按本文的(8)式),c(p)=∫1√2π?e-i?pxψ(x)dx=A√2π?[12δ(p)-14δ(p-2?k)-14δ(p+2?k)+14δ(p-?k)+14δ(p+?k)],(14)求出歸一化因子A:∑|c(p)|2=1,(15)A2(2π?)[14+116+116+116+116]=1,(16)所以得到A=1√π?.(17)這里,在從(14)式推導(dǎo)到(16)式的過(guò)程中,式中的δ函數(shù)莫名其妙地不見(jiàn)了,這當(dāng)然是錯(cuò)誤的.現(xiàn)在我們回到(12)式這個(gè)波函數(shù)ψ(x)的歸一化問(wèn)題,利用δ函數(shù)可以在形式上把ψ(x)歸一化.把ψ(x)按動(dòng)量本征函數(shù)展開(kāi),得到(7)式,(7)式中的c(p)是動(dòng)量概率幅,也是動(dòng)量表象中的波函數(shù).|c(p)|2是動(dòng)量概率密度.現(xiàn)在動(dòng)量p具有確定值(p=p0),所以當(dāng)p≠p0時(shí),|c(p)|2=0;當(dāng)p=p0時(shí),|c(p)|2=∞.并且總的概率應(yīng)該等于1,也就是說(shuō),(9)式應(yīng)該被滿(mǎn)足.所以有|c(p)|2=δ(p-p0).(18)此外,c(p)還應(yīng)該是在動(dòng)量表象中屬于本征值p0的動(dòng)量本征函數(shù).在很多量子力學(xué)教科書(shū)中說(shuō)明了c(p)∝δ(p-p0).(19)由(18)和(19)式,我們得到歸一化的c(p)為:c(p)=1√δ(0)δ(p-p0).(20)把(20)式代入(7)式,得到歸一化的ψ(x)為:ψ(x)=1√2π?δ(0)ei?p0x.(21)很容易驗(yàn)證,由(21)和(20)式給出的波函數(shù)分別滿(mǎn)足歸一化條件(10)和(9)式.上面已經(jīng)說(shuō)明了歸一化的c(p)的物理意義,以下說(shuō)明歸一化的ψ(x)的物理意義.(21)式給出的ψ(x)就是動(dòng)量具有確定值的自由粒子的波函數(shù),也是一個(gè)動(dòng)量本征函數(shù).把波函數(shù)的時(shí)間部分也寫(xiě)出來(lái),ψ(x,t)∝ei?(p0x-E0t),這是一個(gè)彌漫在整個(gè)空間的平面單色波.粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率當(dāng)然應(yīng)該等于1,即∫|ψ(x)|2dx=1,那么在空間每一處的概率密度必等于零,即|ψ(x)|2=0.只有(21)式這樣形式的波函數(shù)才能同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)式子.我們把上述討論推廣到更一般的一類(lèi)理想化的問(wèn)題:假設(shè)對(duì)處于ψ(x)態(tài)的體系測(cè)量動(dòng)量,測(cè)得的結(jié)果是若干個(gè)分立的值pi(i=1,2,3,\:),測(cè)得這些值的概率各有一定的值,總概率應(yīng)該等于1.波函數(shù)ψ(x)應(yīng)該是ψ(x)=∑iciφpi(x),(22)其中,φpi(x)由(5)式給出.對(duì)處于ψ(x)態(tài)的體系測(cè)量動(dòng)量,測(cè)得pi值的概率與|ci|2成正比.ψ(x)沒(méi)有歸一化,歸一化的波函數(shù)為:Ψ(x)=Κ√δ(0)∑iciφpi(x)=Κ√2π?δ(0)∑iciei?pix,(23)其中Κ=(∑i|ci|2)-1/2.(24)歸一化的c(p)為:c(p)=Κ√δ(0)∑iciδ(p-pi).(25)有了上述公式,就很容易解答上文中的習(xí)題3.6,先把波函數(shù)(13)式作一變換:ψ(x)=A[sin2kx+12coskx]=A√2π?[12φp1(x)-14φp2(x)-14φp3(x)+14φp4(x)+14φp5(x)],(26)其中,φpi(x)(i=1,2,3,4,5)由(5)式給出,p1=0,p2=2?k,p3=-2?k,p4=?k,p5=-?k.再按(23)式把波函數(shù)歸一化,得到Ψ(x)=1√2δ(0)[φp1(x)-12φp2(x)-12φp3(x)+12φp4(x)+12φp5(x)].(27)利用力學(xué)量平均值的公式:ˉF=∫Ψ*(x)?FΨ(x)dx,(28)平均動(dòng)量為ˉp=∫Ψ*(x)?pΨ(x)dx=∫Ψ*(x)(-i?)dΨ(x)dxdx=12δ(0)∫[φ*p1(x)-12φ*p2(x)-12φ*p3(x)+12φ*p4(x)+12φ*p5(x)]?[p1φp1(x)-12p2φp2(x)-12p3φp3(x)+12p4φp4(x)+12p5φp5(x)]dx=0.(29)動(dòng)能算符為?Τ=?p22m=-?22md2dx2,(30)平均動(dòng)能為ˉΤ=∫Ψ*(x)?ΤΨ(x)dx=∫Ψ*(x)(-?22m)d2Ψ(x)dx2dx=12δ(0)∫[φ*p1(x)-12φ*p2(x)-12φ*p3(x)+12φ*p4(x)+12φ*p5(x)]?[p212mφp1(x)-p224mφp2(x)-p234mφp3(x)+p244mφp4(x)+p254mφp5(x)]dx.=12δ(0)[p212mδ(0)+p228mδ(0)+p238mδ(0)+p248mδ(0)+p258mδ(0)+0+??+0]=14m[p21+14p22+14p23+14p24+14p25]=5?2k28m.(31)也可以利用對(duì)于非歸一化波函數(shù)的力學(xué)量平均值公式:ˉF=∫Ψ*(x)?FΨ(x)dx∫Ψ*(x)Ψ(x)dx(32)來(lái)計(jì)算.把(26)式代入(32)式,在分子和分母中都將出現(xiàn)這樣的積分:∫φpi*(x)φpj(x)dx=δ(pi-pj).(33)當(dāng)pi≠pj時(shí),(33)式等于0;當(dāng)pi=pj時(shí),(33)式等于δ(0),消去分子和分母中的δ(0)便得到正確的結(jié)果.如果想要避免應(yīng)用δ函數(shù),還可以這樣來(lái)計(jì)算:把非歸一化波函數(shù)(26)式改寫(xiě)為:ψ(x)=c1φp1(x)+c2φp2(x)+c3φp3(x)+c4φp4(x)+c5φp5(x),(34)其中φpi(x)(i=1,2,3,4,5)是動(dòng)量本征函數(shù),也是動(dòng)能本征函數(shù).雖然動(dòng)量和動(dòng)能本征值組成連續(xù)譜,但是在目前情況下,測(cè)量動(dòng)量或動(dòng)能只得到五個(gè)分立的可能值,所以應(yīng)該按照分立譜情況下的公式來(lái)計(jì)算平均動(dòng)量和平均動(dòng)能:pˉ=∑i=15|ci|2pi∑i=15|ci|2=0,Τˉ=∑i=15|ci|2Τi∑i=15|ci|2=∑i=15|ci|2pi22m∑i=15|ci|2.(35)同樣可以得到正確的結(jié)果.4nx的歸一化條件最后我們給出最一般情況下的公式.力學(xué)量算符F^的部分本征值λn(n=1,2,3,\:)組成分立譜,相應(yīng)的本征函數(shù)為φn(x);部分本征值λ組成連續(xù)譜,取值范圍從λs(可以是-∞或有限值)到λf(可以是有限值或+∞),相應(yīng)的本征函數(shù)為φλ(x).φn(x)和φλ(x)滿(mǎn)足下列正交歸一條件:∫φm*(x)φn(x)dx=δmn,(36)∫φλ′*(x)φλ(x)dx=δ(λ-λ′),(37)∫φn*(x)φλ(x)dx=0,(38)∫φλ*(x)φn(x)dx=0.(39){φn(x),φλ(x)}組成完備系,歸一化的波函數(shù)ψ(x)可以按這個(gè)完備系展開(kāi),展式為ψ(x)=∑ncnφn(x)+∫λsλfc(λ)φλ(x)dλ,(40)其中cn=∫φn*(x)ψ(x)dx,(41)c(λ)=∫φλ*(x)ψ(x)dx.(42)對(duì)處于ψ(x)態(tài)的體系測(cè)量力學(xué)量F,測(cè)得λn的概率是|cn|2,測(cè)得的結(jié)果在λ→λ+dλ(λs<λ<λf)范圍內(nèi)的概率是|cλ|2dλ.總概率應(yīng)該等于1,即∑n|cn|2+∫λsλf|c(λ)|2dλ=1,(43)這也就是歸一化條件