同濟(jì)大學(xué)材料力學(xué)第九章 應(yīng)力狀態(tài)理論的基礎(chǔ) 3學(xué)時(shí)

材料力學(xué)講授:顧志榮第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)

同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮材料力學(xué)2009秋季版（3學(xué)時(shí)）第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)基本內(nèi)容與學(xué)習(xí)要求理解應(yīng)力狀態(tài)的概念，掌握平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力分析的解析法及圖解法；了解三向應(yīng)力狀態(tài)的概念；掌握主應(yīng)力、主平面和最大剪應(yīng)力的計(jì)算。掌握廣義虎克定律；了解體積應(yīng)變、三向應(yīng)力狀態(tài)下變形比能(也稱變形能密度)、體積改變比能（也稱體積改變能密度）和形狀改變比能（也稱崎變能密度）的概念。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)與重點(diǎn)難點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力構(gòu)件中截取單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況；平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo)中關(guān)于正負(fù)符號(hào)的約定、斜截面上的應(yīng)力計(jì)算，應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力與主方向的計(jì)算與確定，最大剪應(yīng)力計(jì)算；廣義虎克定律及其應(yīng)用；體積應(yīng)變、三向應(yīng)力狀態(tài)下變形比能、體積改變比能和形狀改變比能的概念。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法三平面應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法四三向應(yīng)力狀態(tài)五廣義虎克定律六三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形能引言本章與前幾章在研究對(duì)象上的不同之處。回顧：第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)內(nèi)力圖：——一根（桿、軸、梁）強(qiáng)度計(jì)算：——一段——一面（危險(xiǎn)截面）本章：應(yīng)力狀態(tài)——一點(diǎn)。一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述1問題的提出2應(yīng)力的三個(gè)重要概念3一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強(qiáng)度問題時(shí)的共同特點(diǎn):危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力F拉(壓):一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

扭轉(zhuǎn):討論基本變形強(qiáng)度問題時(shí)的共同特點(diǎn):危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強(qiáng)度問題時(shí)的共同特點(diǎn):危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)只承受正應(yīng)力或剪應(yīng)力一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

對(duì)于橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的一些點(diǎn)如何建立強(qiáng)度條件?這些點(diǎn)強(qiáng)度條件的危險(xiǎn)應(yīng)力如何確定?一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面123S平面

5544332211一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

4PlFMz=一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

為什么鋼筋混凝土梁在加載試驗(yàn)過程中,除了在跨中底部會(huì)發(fā)生豎向裂縫外,其他部位還會(huì)發(fā)生斜向裂紋?這些問題都要通過應(yīng)力狀態(tài)的分析來解決.2.應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)重要概念(1)應(yīng)力的面的概念(2)應(yīng)力的點(diǎn)的概念(3)應(yīng)力狀態(tài)的概念第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述軸向拉壓同一橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力相等：FF同一點(diǎn)在斜截面上時(shí)：第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述此例表明：即使同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述應(yīng)力指明哪一個(gè)面上

哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)哪個(gè)方向面？第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述

過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析就是研究一點(diǎn)處沿各個(gè)不同方位的截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述單元體3.一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述

圖示為一矩形截面鑄鐵梁，受兩個(gè)橫向力作用。從梁表面的A、B、C三點(diǎn)處取出的單元體上，用箭頭表示出各個(gè)面上的應(yīng)力。

課堂練習(xí)第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述FPl/2l/2S’平面5544332211

S’平面第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述課堂練習(xí)繪圖示梁S’平面上各點(diǎn)的應(yīng)力單元體123S’平面

5544332211一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

FPlaS第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述課堂練習(xí)繪圖示構(gòu)件固端S截面上、下、左、右切線點(diǎn)處的應(yīng)力單元體xzy4321S平面第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述SFPyxzMzFQyMx4321143第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述課堂練習(xí)l課堂練習(xí)承受內(nèi)壓、扭轉(zhuǎn)的薄壁圓筒,試從加強(qiáng)肋之間取應(yīng)力單元體第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ｐＤ

ｐπD２４)

Dp(xsｐ第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ｐｐ×Ｄ×ｌ第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述l第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ltsms第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述ｐ二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

1.斜截面上的應(yīng)力已知受力構(gòu)件中的應(yīng)力單元體求垂直于xy面的任意斜截面ef上的應(yīng)力公式推導(dǎo)使用的符號(hào)規(guī)定：α角

由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。正應(yīng)力拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)切應(yīng)力

使單元體或其局部順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

αα公式推導(dǎo)(1)面上的應(yīng)力：第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

用斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為公式推導(dǎo)(2)面上的應(yīng)力：即單元體兩個(gè)相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個(gè)常數(shù)。即又一次證明了剪應(yīng)力的互等定理。公式推導(dǎo)(3)面上的應(yīng)力之間的關(guān)系：第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

2.在何處?該處令,則:即:面上有第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

在何處?令得:任意(為方便)令:可發(fā)現(xiàn):①正應(yīng)力極值有兩個(gè)方面②相差第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/二平面應(yīng)力狀態(tài)分析—數(shù)解法

將代入式,得顯然,在面上3、=?在何處？該處σ=？

令 面上的正應(yīng)力:即:方位:大小:將代式,得:4、主平面、主應(yīng)力、主應(yīng)力的排列主平面：單元體中只有正應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力。主應(yīng)力的排列：用代數(shù)值確定，排列為、、三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述5、應(yīng)力狀態(tài)的分類：平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述xyxy單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)

第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例特例第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)/一應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述

一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題

（1）斜面上的應(yīng)力解、(1)

斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力主平面的方位：哪個(gè)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)于哪一個(gè)主方向，可以采用以下方法：主應(yīng)力的方向：主應(yīng)力的方向：++

圖示應(yīng)力單元體，試求斜面ab和bc上的應(yīng)力。在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個(gè)垂直面上，其σ的和為一常數(shù)。例題

分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時(shí)，其上任意一點(diǎn)都是單向應(yīng)力狀態(tài)。

低碳鋼試樣拉伸至屈服時(shí)表面沿450出現(xiàn)滑移線，是由最大切應(yīng)力引起的。例題

分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)最大切應(yīng)力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。

鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時(shí)，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面（即450螺旋面）斷開的。因此，可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。例題三平面應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)1、應(yīng)力圓方程(1)(2)對(duì)(1)(2)式兩邊平方，將兩式相加，并利用消去和，得(3)RR比照解析幾何的曲線方程是一個(gè)圓心在(a.0),半徑為R的圓，則是個(gè)應(yīng)力圓的方程2.應(yīng)力圓是個(gè)信息源(從力學(xué)觀點(diǎn)分析）（1）若已知一個(gè)應(yīng)力單元體兩個(gè)互相垂直面上的應(yīng)力就一定可以作一個(gè)圓，圓周上的各點(diǎn)就是該單元體任意斜截面上的應(yīng)力。（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的應(yīng)力相互制約在圓周上變化。

在σ-τ坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元A、D面上應(yīng)力對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a和d

連ad交s

軸于c點(diǎn)，c即為圓心，cd為應(yīng)力圓半徑。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.應(yīng)力圓的畫法

點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力4、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系caA轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。caDn

dxA2

b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAsxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE（1）對(duì)基本變形的應(yīng)力分析單向拉伸5、應(yīng)力圓的應(yīng)用單向拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o

45o方向面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，但正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力卻最大?？梢姡簊-45ot-45ottotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os45o＝tBE純剪切（1）對(duì)基本變形的應(yīng)力分析5、應(yīng)力圓的應(yīng)用BEttBE純剪切s45o＝t5.應(yīng)力圓的應(yīng)用（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下求任意截面上的應(yīng)力點(diǎn)面相對(duì)應(yīng)，首先找基準(zhǔn)。轉(zhuǎn)向要相同，夾角兩倍整。txsxsytytsoc2

0adAD主平面：τ

=0,與應(yīng)力圓上和橫軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的面5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向txsxsytyAD主應(yīng)力的確定tsoc2αoad5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向

主應(yīng)力排序：tsoc2qpadtsotso5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1

os2s2(sx,txy)主方向的確定

負(fù)號(hào)表示從主應(yīng)力的正方向到x軸的正方向?yàn)轫槙r(shí)轉(zhuǎn)向g5、應(yīng)力圓的應(yīng)用(3)平面應(yīng)力狀態(tài)下主平面、主應(yīng)力及主方向

對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上的最高點(diǎn)的面上切應(yīng)力最大，稱為“面內(nèi)最大切應(yīng)力”。tmax5、應(yīng)力圓的應(yīng)用（4）面內(nèi)最大剪應(yīng)力tsoc2

oad

例題試用應(yīng)力圓法計(jì)算圖示單元體e--f截面上的應(yīng)力。圖中應(yīng)力的單位為MPa。

例題一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。AD用應(yīng)力圓解法

otscdfe解：主應(yīng)力單元體：三向應(yīng)力狀態(tài)1.三向應(yīng)力狀態(tài)的概念2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓3.一點(diǎn)處的最大應(yīng)力第九章應(yīng)力狀態(tài)理論基礎(chǔ)空間應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)s1s2s3四三向應(yīng)力狀態(tài)/1.三向應(yīng)力狀態(tài)的概念szsxsytxty至少有一個(gè)主應(yīng)力及其主方向已知sytxtysxsz三向應(yīng)力狀態(tài)特例的一般情形四三向應(yīng)力狀態(tài)/1.三向應(yīng)力狀態(tài)的概念tss3s2IIs1s2s3(1)求平行于σ1的方向面的應(yīng)力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ1無關(guān).于是由σ2

、σ3作出應(yīng)力圓I四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2)求平行于σ2的方向面的應(yīng)力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ2無關(guān).于是由σ1

、σ3作出應(yīng)力圓Ⅱ四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3)求平行于σ3的方向面的應(yīng)力σα、τα,其上之應(yīng)力與σ3無關(guān).于是由σ1

、σ2作出應(yīng)力圓Ⅲ四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

s1s2s3(4)一點(diǎn)處任意斜截面上的應(yīng)力σn、τn,其上之應(yīng)力與σ1

、σ2

、σ3都有關(guān).四三向應(yīng)力狀態(tài)/2.三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓

在σ-τ平面內(nèi),代表任意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)或位于應(yīng)力圓上,或位于三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的區(qū)域內(nèi).IIIs3IIIs2s1Ots四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點(diǎn)處的最大應(yīng)力

一點(diǎn)處最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力由σ1和σ3

所作成的最大應(yīng)力圓可見:IIIIIIs1s2s3tsOtszyxs2s1s3四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點(diǎn)處的最大應(yīng)力

(2)面內(nèi)最大剪應(yīng)力與一點(diǎn)處最大剪應(yīng)力ⅠOtss3s2

zyxs2s3四三向應(yīng)力狀態(tài)/3.一點(diǎn)處的最大應(yīng)力

(2)面內(nèi)最