初中數(shù)學(xué)“最值問題”常見求法 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選初中數(shù)學(xué)“最值問題”常見求法求法，如:利用配方法、利用點(diǎn)到直線的距離、不等式的性質(zhì)、構(gòu)建特殊的模型等。關(guān)鍵詞：最值問題，函數(shù)，幾何。引言：在現(xiàn)實(shí)生活中,我們常常需要通過研究各種各樣的最值問題來了解生活的實(shí)際。具體求法。從而幫助學(xué)生掌握基本的最值問題解題的思路。正文在整個(gè)初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中我們常會(huì)遇到求最值的問題.什么是“最值問中三年基本每學(xué)年都會(huì)有最值類的相關(guān)學(xué)習(xí)，一般初一階段我們常用不等式解以下函數(shù)和幾何兩個(gè)方面進(jìn)行分析。一、函數(shù)中的最值問題求法1.利用函數(shù)的增減性圖形,從而求出函數(shù)最值。初中階段主要函數(shù)有一次函數(shù)y=kx+b，二次函數(shù)y=ax2+bx+c，反比例12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選函數(shù)y=

k這三種，其具體的增減性如下：x(1)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的增減性與一次項(xiàng)系數(shù)k的取值有關(guān)。當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)是遞增的；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)是遞減的。例y=2x+1的自變量的取值范圍為1≤x≤3解：因?yàn)楹瘮?shù)中一次項(xiàng)系數(shù)為2>0,函數(shù)y=2x+1在1≤x≤3中是遞增的，y隨x的增大而增大。所以當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最大值為7。y=ax2+bx+c（a≠0）的增減性與開口方向和對(duì)稱軸有關(guān)，有 左也可說與a和x=-b 關(guān)。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸x=-b 有 左2a 2aba<0x=-2a左邊呈遞增趨勢(shì)，右邊呈遞減趨勢(shì)。例2、已知函數(shù)y=x2+2x+3的自變量的取值范圍為x≥1，求函數(shù)的最小值。解：因?yàn)楹瘮?shù)中二次項(xiàng)系數(shù)為1>0，函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸為x=函數(shù)y=x2+2x+3在x≥1中是遞增的，y隨x的增大而增大。所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值為6。ky= （k≠0kk>0時(shí)，x函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)是遞減的趨勢(shì)，y隨xk<0時(shí)，函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)是遞增的趨勢(shì)，y隨x的增大而增大。例3、求函數(shù)y=

1（x≥2）的最大值。x解：因?yàn)楹瘮?shù)y=

1在x≥2中呈遞減趨勢(shì)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)xx=2時(shí)，函數(shù)有最大值為1。222022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選的圖像，從而求出函數(shù)最值。2.利用不等式的性質(zhì)立在不等式的性質(zhì)的基礎(chǔ)上。通常是利用函數(shù)y表示自變量x取值范圍進(jìn)行求解。例4、求函數(shù)y=-2x+1（1≤x≤2）的最大值和最小值。解：因?yàn)閥=-2x+1，所以x=1-y，因?yàn)?≤x≤2，所以1≤1-y≤2，2 22≤1-y≤4，1≤-y≤3-3≤y≤-3-1。3.二次函數(shù)利用配方法求最值方都是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)去進(jìn)行求解。今年的安徽中考中第23題也是依靠這種方法y=ax2+bx+c（ba≠0y=a(x2+a

x)+c；第二步：將已經(jīng)轉(zhuǎn)化好的式子配成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+k)2+h（a≠0a的符號(hào)和h的數(shù)值確定函數(shù)的最值。1例5、已知函數(shù)y=-2

x2+2x+24（0<x≤61解:由題意可知：y=-2

x2+2x+24=-12

(x2-4x+4)+26=-12

(x-2)2+26因?yàn)?<x≤6，所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最大值為26。二、幾何中的最值問題求法1.特殊位置法求最值32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選的具體數(shù)值。例RtΔABCM是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，求線段的最小值．解：如圖，當(dāng)CM⊥AB時(shí)，線段CM取得最小值．因?yàn)镽tΔABC中，∠C=90°，ACBC，所以AB=

AC22=

122，1 1 6013因?yàn)椋琒ΔABC=2AC×BC=2CM×AB,所以12×5=13×CM,所以CM= ,13故CM的最小值為60。13的垂足、矩形的頂點(diǎn)或?qū)蔷€交點(diǎn)、圓的直徑端點(diǎn)等。2.應(yīng)用幾何中的不等關(guān)系求最值關(guān)系。利用這類不等關(guān)系可以確定取值一個(gè)范圍，并得出最值。例7、如圖2，圓O的半徑為2，OA＝4，動(dòng)點(diǎn)B在圓O上，連接AB，作等邊三角形ABC（A、B、COC的最大值。42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形AE。OBE＝60°,所以∠CBA+∠ABO=∠ABO+∠OBE,即∠CBO＝∠ABE，OC＝AE，在△AOE中，OE+OA≥AE，所以當(dāng)E、O、A共線時(shí)，AE取得最大值，因?yàn)镺E，OA，所以AE的最大值為6，所以O(shè)C的最大值為6。有一個(gè)三角形的模型，需要通過線段之間的替換，組建一個(gè)模型來求最值。3.數(shù)形結(jié)合法52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選求出最值，通常用于求線段之間的和（或差）或圖形面積的最值。例8、如圖4，將邊長為8的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)MEF分別交于點(diǎn)邊AB折疊后交邊BC于點(diǎn)M是邊CDCDEF的面積S是否存在最值？若存在，求出這個(gè)最值；若不存在，說明理由．F作FN⊥AD于NFNA=∠DAB=∠ABC=90°，所以四邊形ABFN是矩形，所以FN=AB=CD=AD=8，由折疊的性質(zhì)可得：EF⊥AM,所以∠EAM+∠AMD=90°=∠EAM+∠AEF，所以∠AMD=∠AEF，因?yàn)椤螪=∠ENF=90°，所以△ADM≌DM=EN，設(shè)DM，DE，62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選2因?yàn)镋M2=DE22，即-b)2=a2+b2，所以b=4-a，216所以S四邊形CDEF1

=S矩形CDNF-SΔENF1

1=8×(a+b)- ×8×a=4a+2=- a2+4a+32=-2

(a-4)2+402所以，當(dāng)a=4時(shí)，四邊形有最大值為40。時(shí)要考慮自變量的取值及其在范圍里的增減性。4.構(gòu)建特殊模型多模型有將軍飲馬、隱圓、胡不歸與阿氏圓等。例ABCDD是BCCD＝2，BD∠ABD＝90°，AB

=1，求線段AC的最大值。解：如圖，以BC為直角邊作等腰直角△BCM，則BC＝BM，72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選因?yàn)椤螦BD＝∠CBM＝90°，BD＝1，所以∠ABC＝∠DBM，AB＝BD，AB所以△ABC≌AC＝DM，所以當(dāng)DM取最大值時(shí)，AC最大，所以可以把D的運(yùn)動(dòng)軌跡看成是以C為圓心，以CD為半徑的圓的部分，當(dāng)D、C、M共線時(shí)，DM最大，如圖，D′M為最大值，因?yàn)镃M=

BC22=

422，CD'=CD=2，所以D'M=4

2+2，所以,線段AC的最大值為42。這題運(yùn)用特殊模型展示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，從而通過構(gòu)建隱圓確定線段的最大值。型。模型，只有這樣我們面對(duì)這些綜合型的最值問題才可以進(jìn)行充分解答。82022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選的方法,從而達(dá)到認(rèn)識(shí)客觀世界規(guī)律的目的，為進(jìn)一步的決策分析等提供準(zhǔn)確的的影響,如人為因素,環(huán)境因素等,人們還需綜合各方面的因素，然后做出