西安交通大學(xué)概率論實驗報告

西安交通大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計上機(jī)實驗報告——《用蒙特卡洛方法估計積分值》學(xué)院：電信學(xué)院班級：姓名：學(xué)號：實驗內(nèi)容：用蒙特卡洛方法估計積分值用蒙特卡洛方法估計積分，和的值，并將估計值與真值進(jìn)行比較。用蒙特卡洛方法估計積分和的值，并對誤差進(jìn)行估計。實驗要求針對要估計的積分選擇適當(dāng)?shù)母怕史植荚O(shè)計蒙特卡洛方法；利用計算機(jī)產(chǎn)生所選分布的隨機(jī)數(shù)以估計積分值；進(jìn)行重復(fù)試驗，通過計算樣本均值以評價估計的無偏性；通過計算均方誤差（針對第1類題）或樣本方差（針對第2類題）以評價估計結(jié)果的精度。實驗?zāi)康哪芡ㄟ^MATLAB或其他數(shù)學(xué)軟件了解隨機(jī)變量的概率密度、分布函數(shù)及其期望、方差、協(xié)方差等；熟練使用MATLAB對樣本進(jìn)行基本統(tǒng)計，從而獲取數(shù)據(jù)的基本信息；能用MATLAB熟練進(jìn)行樣本的一元回歸分析。實驗原理蒙特卡羅方法（MonteCarlomethod），也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計算問題的方法。蒙特卡羅方法求積分的基本思想是，首先建立一個隨機(jī)均勻的與求解有關(guān)的概率模型，使所求的解是我們所建立的的模型的概率分布或數(shù)學(xué)期望；然后在該模型中隨機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)樣本；最后用算數(shù)平均值所謂求解問題的近似解。此種方法的正確性是基于概率論的中心極限定理。當(dāng)抽樣點數(shù)為m時，使用此種方法所得近似解的統(tǒng)計誤差只與m有關(guān),不隨積分維數(shù)的改變而改變。因此當(dāng)積分維度較高時，蒙特卡羅方法相對于其他數(shù)值解法更優(yōu)。實驗步驟用蒙特卡洛方法估計積分，和的值，并將估計值與真值進(jìn)行比較。（1）問題分析：構(gòu)造一個服從均勻分布的概率模型，隨機(jī)變量X具有概率密度取，則有=，所以積分值就為E[h(x)]。所以，產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)，每組中有10000個隨機(jī)數(shù)，求出每組隨機(jī)數(shù)所對應(yīng)的估計值，并用估計值與真值進(jìn)行比較，通過計算均方誤差來估計結(jié)果的精度。程序設(shè)計：首先，求出積分的真值：所以積分的真值為1.現(xiàn)在通過蒙特卡洛方法得出10組積分的估計值，并計算樣本均值和均方誤差：計算結(jié)果為：所以，樣本均值為1.000931，均方誤差為0.000049。表明計算結(jié)果與真值誤差較小。（2）問題分析：==所以取，則該函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，取，所以積分值就為E[h(x)]。所以，產(chǎn)生10組隨機(jī)數(shù)，每組中有10000個隨機(jī)數(shù)，求出每組隨機(jī)數(shù)所對應(yīng)的估計值，并用估計值與真值進(jìn)行比較，通過計算均方誤差來估計結(jié)果的精度。程序設(shè)計：首先，計算出積分的真值：所以，積分的真值為?，F(xiàn)在通過蒙特卡洛方法得出10組積分的估計值，并計算樣本均值和均方誤差：所以計算結(jié)果為：所以樣本均值為0.884741，均方誤差為0.000012，表明計算結(jié)果與真值誤差較小。（3）問題分析：=所以，把看做x,使x在0到1之間取10000個值坐在0至1區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)簡單樣本,計算樣本對應(yīng)的y值,因為y與無關(guān),所以第二重積分可直接乘以得樣本均值,一共計算10次,即可用樣本均值作為積分的估計值.取均勻分布的概率密度為：取，所以積分值為。程序設(shè)計：首先，計算出積分的真值：所以，積分的真值為：現(xiàn)在通過蒙特卡洛方法得出10組積分的估計值，并計算樣本均值和均方誤差：計算結(jié)果為：所以樣本均值為5.380563，均方誤差為0.002566，表明計算結(jié)果與真值誤差較小。2.用蒙特卡洛方法估計積分和的值，并對誤差進(jìn)行估計。（1）問題分析：構(gòu)造一個服從均勻分布的概率模型，隨機(jī)變量X具有概率密度為取，所以=即積分值為E（h（x））。在0至1區(qū)間上隨機(jī)取10000個數(shù)為均勻分布的簡單隨機(jī)樣本,然后計算y的值一共計算10次,即可用樣本均值作為積分的估計值.并且計算樣本均值與樣本方差。程序設(shè)計： 計算結(jié)果為：所以樣本均值為1.463067，樣本方差為0.000023，所以誤差較小。（2）問題分析：構(gòu)造一個服從均勻分布的二維概率模型，隨機(jī)變量X具有概率密度為取，所以積分值為E（h（x））。所以只需隨機(jī)產(chǎn)生10組數(shù)據(jù)每組10000個,保證這些數(shù)據(jù)為均勻分布在單位圓內(nèi)的簡單隨機(jī)樣本,然后計算h（x）的值,即可用E（h（x））對積分制進(jìn)行估計。并且計算樣本均值與樣本方差。計算結(jié)果為：所以，樣本均值為2.959142，樣本方差為0.000003，所以計算較為精確。實驗心得在實驗過程中，主要難點是確定一個合適的分布進(jìn)行估計，由于這幾個程序的思想是一樣的，所以編寫程序的時候只需根