《二一般形式的柯西不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)(湖北省縣級(jí)優(yōu)課)x-數(shù)學(xué)教案

3.2一般形式的柯西不等式一、教學(xué)目標(biāo)認(rèn)識(shí)一般形式的柯西不等式，會(huì)用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應(yīng)用其解決一些不等式的問題.二、課時(shí)安排1課時(shí)三、教學(xué)重點(diǎn)1．掌握三維形式和多維形式的柯西不等式．2．會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問題．四、教學(xué)難點(diǎn)1．理解定理證明中的函數(shù)思想．五、教學(xué)過程（一）情景引入當(dāng)a,b∈R+時(shí)，a+b觀察圖，從平面向量的幾何背景可以得到α?a2+b2類似地，從空間向量的幾何背景可以得到α?βa1當(dāng)且僅當(dāng)α,β共線時(shí)，即β=0,或存在一個(gè)數(shù)k,使得a猜想：n維向量的坐標(biāo)？一般形式的柯西不等式？（二）一般形式的柯西不等式教材整理1一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥.當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．教材整理2理解與應(yīng)用柯西不等式柯西不等式反映的是任意兩組實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)項(xiàng)“相乘”之后“求和”再“平方”這三種運(yùn)算不滿足交換律，即一組序列的n個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與另一組序列的n個(gè)實(shí)數(shù)的平方和之積不小于兩組序列的n個(gè)數(shù)的順序積的和的平方或者是兩組序列的n個(gè)數(shù)的亂序積的和的平方.1

a12a1或a1b(ai,b（三）重難點(diǎn)精講例1已知x+2y+3z=1，求x2+【精彩點(diǎn)撥】由于x+2y+3z=1

，以及x2+y2【自主解答】根據(jù)柯西不等式，有(x所以x2+y2+z2≥114，當(dāng)且僅當(dāng)x規(guī)律總結(jié)：1.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)例2設(shè)a,b,c為互不相等的正數(shù)，求證：2a+b+2【自主解答】由于a,b,c>0,

(2a+b+2b+c=1≥因?yàn)閍,b,c為互不相等的正數(shù)，故等式a+b=b+c=c+a不成立，所以2a+b+[再練一題]設(shè)x1,x2,?,x【解】因?yàn)閤1,x2故x≥x所以x1規(guī)律總結(jié)：2.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)拆分原式中的常數(shù).例3求函數(shù)y=3sinx+41+cos2x的最值【精彩點(diǎn)撥】由于sin2x+1+cos2x不是常數(shù)，故需要將1+cos2x【自主解答】y=3sinx+41+cos2x當(dāng)且僅當(dāng)sinx3=cos2x[再練一題]求函數(shù)y=25-x+4【解】y=25-x當(dāng)且僅當(dāng)5-x2=2x-542規(guī)律總結(jié)：3.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)配湊系數(shù)以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.例4求實(shí)數(shù)x,y的值使得(y-1)2+(x+y-3)【自主解答】假設(shè)存在一個(gè)數(shù)組a,b,c使得ay-1即b+2cx+a+b+cy-a-3b-6c與x,y無關(guān),令b+2c=0a+b+c=0,即b=-2ca=c則12+≥即

(y-1)2+(x+y-3)當(dāng)且僅當(dāng)y-11=x+y-3-2規(guī)律總結(jié)：4.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)配湊數(shù)組以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.（四）歸納小結(jié)1.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu).2.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)拆分原式中的常數(shù).3.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)配湊系數(shù)以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.4.利用柯西不等式時(shí)，需要適當(dāng)配湊數(shù)組以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.六、板書設(shè)計(jì)3.2一般形式的柯西