蘇科版數(shù)學七年級下冊期末復習考點串講+題型專訓專題05 因式分解（含解析）

專題05因式分解一、因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.注意：因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.1.公因式定義：多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.注意：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.2.提公因式法定義：把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．注意：提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.當多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.3.公式法——平方差公式定義：兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：注意：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.4.公式法——完全平方公式定義：兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.注意：逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.5.因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學到）．6.因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結果要徹底，即分解到不能再分解為止二、方法拓展1.因式分解求參已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.方法：變形為SKIPIF1<0因式分解：SKIPIF1<0利用非負性求解即可2.十字相乘法例：SKIPIF1<0分析：解：原式SKIPIF1<0方法：1．分解二次項，所得結果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結果3.分組分解法例：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0方法：1.將原式的項適當分組；2.對每一組進行處理（提或代）3.將經(jīng)過處理后的每一組當作一項，再采用（提或代）進行分解。4.因式分解的幾何應用2m2+5mn+2n2可以因式分解為SKIPIF1<0方法：與前面類型幾何類似。用割補的方式把圖形分成幾份，用等面積法兩種方法表示，構造等式。5.因式分解的新定義在基礎定義的時候，我們只需學會模仿，無需理解題意；如上題。如果遇到答題最后一題的話，需要理解題意，舉一反三。【專題過關】類型一、判斷因式分解【解惑】（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┓纸庖蚴剑篠KIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先提公因式，再利用公式法因式分解即可．【詳解】解：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了因式分解——提公因式法和平方差公式法，解題關鍵是牢記因式分解的方法．【融會貫通】1．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校┫铝械仁街校瑥淖蟮接业淖冃问且蚴椒纸獾氖牵ǎ〢．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】根據(jù)因式分解的定義（把一個多項式化成幾個最簡整式的乘積的形式，這種多項式的變形叫做因式分解）逐項判斷即可得．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，是因式分解，故此選項符合題意；D、等式右邊中的SKIPIF1<0不是整式，不是因式分解，故此選項不符合題意.故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的意義；嚴格按照因式分解的定義去驗證每個選項是正確解答本題的關鍵．2．（2022春·江蘇常州·七年級?？计谥校┫铝袕淖蟮接业淖冃沃?，屬于因式分解的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，屬于因式分解，故本選項符合題意；B、不符合因式分解的定義，不是因式分解，故本選項不符合題意；C、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；D、左邊不是多項式，不符合因式分解定義，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解．解題的關鍵是掌握因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，注意因式分解與整式乘法的區(qū)別．3．（2021春·寧夏銀川·八年級校考期中）下列等式由左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】將一個多項式化為幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做多項式的因式分解．據(jù)此可以判斷得解．【詳解】A．等號的右邊不是幾個整式的積的形式，故選項A不符合題意；B．等號的右邊不是幾個整式的積的形式，故選項B不符合題意；C．等號的右邊是一個多項式，故選項C不符合題意；D．從左到右邊的變形，是因式分解，故選項D符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了因式分解的概念，熟練掌握因式分解的定義是解答此題的關鍵．4．（2021春·重慶南岸·八年級校聯(lián)考期中）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的意義求解即可．【詳解】解：A、SKIPIF1<0，把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故A符合題意；B、SKIPIF1<0，原式分解有誤，故B不符合題意；C、SKIPIF1<0，是整式乘法，故C不符合題意；D、SKIPIF1<0，右邊含有多項式的和，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的判斷，準確理解因式分解的定義是解題的關鍵．5．（2022秋·廣東深圳·九年級?？计谥校┮蚴椒纸猓篠KIPIF1<0_____.【答案】SKIPIF1<0【分析】先提公因式SKIPIF1<0，然后根據(jù)平方差公式進行因式分解即可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．6．（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）分解因式：SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先提公因式SKIPIF1<0，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．7．（2023春·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）分解因式：SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先提出公因式，再利用平方差公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關鍵．8．（2023春·廣東深圳·八年級校考期中）因式分解：SKIPIF1<0_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】先提公因式，再運用完全平方公式分解因式．【詳解】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查因式分解．熟記乘法公式，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關鍵．類型二、因式分解的計算【解惑】（2022春·江蘇常州·七年級?？计谥校┌严铝懈魇椒纸庖蚴剑?1)SKIPIF1<0；(2)a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）；(3)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用提公因式法分解因式；（2）先提取公因式SKIPIF1<0，再利用平方差公式分解因式；（3）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解．【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了因式分解，正確掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2022春·山東青島·八年級山東省青島第七中學?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先提公因式SKIPIF1<0，然后根據(jù)平方差公式進行計算即可求解；（2）先根據(jù)完全平方公式展開，然后根據(jù)完全平方公式與平方差公式因式分解即可求解．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解題的關鍵．2．（2022春·山東青島·八年級山東省青島市第五十七中學?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．3．（2021秋·四川巴中·八年級?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵．4．（2022春·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）因式分解(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）原式直接運用平方差公式進行答案網(wǎng)；（2）原式首先提取公因數(shù)2后，再運用完全平方公式進行因式分解即可．【詳解】（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解答本題的關鍵．5．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）提取公因式SKIPIF1<0，即可得；（2）提取公因數(shù)2，運用完全平方公式即可得．【詳解】（1）原式＝SKIPIF1<0；（2）原式＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式是關鍵．6．（2022春·湖南永州·七年級校考期中）因式分解：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先提公因式SKIPIF1<0，再利用完全平方公式進行因式分解即可；（2）先提公因式SKIPIF1<0，再利用平方差公式進行因式分解即可．【詳解】（1）解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了因式分解的知識，解題關鍵是綜合運用提公因式法和公式法進行因式分解．7．（2022春·江蘇常州·七年級常州市清潭中學?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【分析】（1））直接提取公因式SKIPIF1<0進行分解即可；（2）首先提取公因式3，再利用平方差公式進行二次分解即可；（3）首先提取公因式a，再利用完全平方公式進行二次分解即可；（4）首先利用平方差公式進行分解，再利用完全平方公式進行二次分解即可．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，與提公因式法分解因式，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．8．（2022秋·貴州遵義·八年級?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解；（1）先利用整式的乘法計算SKIPIF1<0，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關鍵．類型三、因式分解的應用【解惑】（2022秋·福建泉州·八年級福建省南安市僑光中學?？计谥校╅喿x下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學語言，我國著名的數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．例如，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學等式．(1)如圖1所示，用兩塊SKIPIF1<0型長方形和一塊SKIPIF1<0型、一塊SKIPIF1<0型正方形硬紙片拼成一個新的正方形．用兩種不同的方法計算圖1中正方形的面積，可以寫出一個熟悉的數(shù)學公式：___________：如圖2所示，用若干塊SKIPIF1<0型長方形和SKIPIF1<0型SKIPIF1<0型正方形硬紙片拼成一個新的長方形，可以寫出SKIPIF1<0因式分解的結果等于：___________；(2)如圖3，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為SKIPIF1<0的正方形．就可以得到一個等式，這個等式是___________；請利用這個等式解答下列問題：①若三個實數(shù)a，b，c滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值②若三個實數(shù)x，y，z滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，①28②33【分析】（1）從整體看，圖形為矩形，面積=長×寬，從部分看，圖形為若干小矩形，面積等于各部分的和，將圖形的面積用兩種方式表示即可解答；（2）先根據(jù)圖形，得到一個等式，再根據(jù)這個等式，①將SKIPIF1<0代入即可解答；②根據(jù)積的乘方的逆運算，將SKIPIF1<0整理為SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再結合前面的等式即可進行解答．【詳解】（1）解：由圖可知：圖一面積=SKIPIF1<0，由圖可知：圖二面積=SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由圖可知：圖三面積=SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=28，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了根據(jù)幾何面積進行因式分解，解題的關鍵是熟練掌握整式的乘法和因式分解的方法，將圖形的面積用兩種不同的方法表示出來．【融會貫通】1．（2021秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長與寬分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的長方形，它的周長為14，面積為10，則SKIPIF1<0的值為（

）A．2560 B．490 C．70 D．49【答案】B【分析】利用面積公式得到SKIPIF1<0，由周長公式得到SKIPIF1<0，所以將原式因式分解得出SKIPIF1<0．將其代入求值即可．【詳解】解：∵長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】本題主要考查了因式分解和代數(shù)式求值，準確計算、整體代入求值是解題的關鍵．2．（2021春·江蘇泰州·七年級?？计谥校┤鐖D，將一個邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0分割成四部分（邊長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的正方形、邊長為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0長方形），請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)請用兩種方法表示該正方形的面積（用含SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的代數(shù)式表示）①______，②______；由此可以得到一個等量關系是______．(2)若圖中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．(4)請利用上面的圖形分割方法進行因式分解：SKIPIF1<0______（直接寫出分解結果即可）．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)5(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【分析】（1）該正方形的面積等于邊長的平方，或兩個長方形及兩個小正方形的面積之和；（2）根據(jù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的值；（3）根據(jù)SKIPIF1<0即可求解；（4）利用圖形分割的方法畫出圖形，即可求解．【詳解】（1）解：該正方形的面積可以表示為SKIPIF1<0，也可以表示為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），即SKIPIF1<0的值為5；（3）解：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（4）解：如圖所示，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查多項式乘多項式和因式分解的應用，熟練運用完全平方公式，并且能夠通過圖形分割的方法進行因式分解是解題的關鍵．3．（2022秋·北京西城·八年級北京市第十三中學分校?？计谥校╅喿x下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”下面是小涵同學用換元法對多項式SKIPIF1<0進行因式分解的過程解：設SKIPIF1<0①，將①帶入原式后，原式SKIPIF1<0（第一步）SKIPIF1<0（第二步）SKIPIF1<0（第三步）SKIPIF1<0（第四步）請根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的______方法；(2)老師說，小涵因式分解的結果不徹底，請你通過計算得出該因式分解的最后結果；(3)請你用“換元法”對多項式SKIPIF1<0進行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)因式分解的方法判斷即可；（2）因式分解必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止，將因式SKIPIF1<0分解成SKIPIF1<0即可；（3）用換元法設SKIPIF1<0，代入多項式，然后仿照題干的換元法解答即可．【詳解】（1）解：由題意得：從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0運用了因式分解中的提取公因式法故答案為：提取公因式（2）解：由題意得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）解：設SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】本題考查了因式分解的方法和運用，解題關鍵是靈活運用換元法對較為復雜的多項式進行因式分解，達到去繁化簡的效果．4．（2022秋·河南鶴壁·八年級校考期中）一個代數(shù)式，若字母取值為整數(shù)，它的結果一定是偶數(shù)，則稱這個式子為“雙喜式”．例如：①SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為整數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是“雙喜式”；②SKIPIF1<0，將其變形得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為整數(shù)，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是兩個連續(xù)整數(shù)，必有一個偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是“雙喜式”．(1)下列各式中，不是“雙喜式”的是（

）A．SKIPIF1<0；B．SKIPIF1<0；C．SKIPIF1<0；D．SKIPIF1<0(2)求證：SKIPIF1<0是“雙喜式”．【答案】(1)D(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“雙喜式”的定義，逐項驗證即可得到答案；（2）根據(jù)“雙喜式”的定義，按照閱讀材料中的方法求證即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)“雙喜式”的定義，A、SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為整數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是“雙喜式”，不符合題意；B、SKIPIF1<0，將其變形得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為整數(shù)，則SKIPIF1<0為整數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是“雙喜式”，不符合題意；C、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為整數(shù)，則SKIPIF1<0為整數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是“雙喜式”，不符合題意；D、SKIPIF1<0，若取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，為奇數(shù)，SKIPIF1<0不是“雙喜式”，符合題意，故選：D；（2）證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為整數(shù)，∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是三個連續(xù)整數(shù)，必有一個偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，∴SKIPIF1<0是偶數(shù)，即SKIPIF1<0是“雙喜式”．【點睛】本題考查新定義題型，涉及因式分解，讀懂題意，按照新定義要求分析求證是解決問題的關鍵．5．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）【知識再現(xiàn)】在研究平方差公式時，我們在邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形（a>b），如圖1，把余下的陰影部分再剪拼成一個長方形（如圖2），根據(jù)圖1、圖2陰影部分的面積關系，可以得到一個關于a，b的等式①．【知識遷移】在邊長為a的正方體上挖去一個邊長為b（a>b）的小正方體后，余下的部分（如圖3）再切割拼成一個幾何體（如圖4）圖3中的幾何體的體積為②．圖4中幾何體的體積為③．根據(jù)它們的體積關系得到關于a，b的等式為④．（結果寫成整式的積的形式）請按照要求在橫線處填上合適的式子．【知識運用】（1）因式分解：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．（3）有人進行了這樣的化簡SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…面對這樣荒謬的約分，一笑之后，再認真檢測，發(fā)現(xiàn)其結果竟然是正確的！仔細觀察式子，我們猜想：SKIPIF1<0，試說明此猜想的正確性．（參考公式：SKIPIF1<0）【答案】①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）正確，說明見解析【分析】①根據(jù)圖1和圖2圖形的面積相等列出等式即可；②用體積公式表示圖3的體積；③用體積公式表示圖4的體積；④根據(jù)兩個圖形只是形狀發(fā)生變化，體積沒有改變列出等式即可；（1）利用知識遷移中的結論，對SKIPIF1<0進行因式分解；（2）利用結論對SKIPIF1<0進行變形，化為含有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的式子，然后代入即可；（3）利用知識遷移中的結論，對SKIPIF1<0進行變形化簡即可求證結論；【詳解】①根據(jù)圖1和圖2陰影部分面積相等可得：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；②根據(jù)圖3可知：體積為：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；③根據(jù)圖4可知：體積為：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；④根據(jù)兩個圖形只是形狀發(fā)生變化，體積沒有改變可得：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；【知識運用】（1）SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（3）∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0這一猜想正確．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，掌握數(shù)形結合的方法是解題的關鍵．6．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期中）對于形如SKIPIF1<0可用“配方法”將它分解成SKIPIF1<0的形式，如在二次三項式SKIPIF1<0中先加上一項SKIPIF1<0，使它與SKIPIF1<0的和成為一個完全平方式，再減去SKIPIF1<0，它不會改變整個式子的值，其變化過程如下：SKIPIF1<0像這種“因式分解”的方法稱為“配方法”SKIPIF1<0請完成下列問題：(1)利用“配方法”分解因式：SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三邊長，且滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長；(3)在實數(shù)范圍內(nèi)，請比較多項式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，并說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)12(3)SKIPIF1<0；見解析【分析】（1）在原式中先加一項SKIPIF1<0，再減去SKIPIF1<0，用完全平方公式對式子進行因式分解，最后利用平方差公式再進行一次因式分解即可；（2）根據(jù)題目中的式子，利用配方法進行因式分解，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出SKIPIF1<0的值，算出SKIPIF1<0的周長即可；（3）將兩式作差，和SKIPIF1<0比較大小即可得到結論．【詳解】（1）解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三邊長，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查配方法，掌握因式分解，熟記完全平方公式是解題關鍵．7．（2022秋·海南海口·八年級海南華僑中學?？计谥校╅喿x下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學語言，我國著名的數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．例如，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學等式．(1)如圖，利用陰影面積的不同表示方法寫出一個我們熟悉的數(shù)學公式：___________；(2)解決問題：如果SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)類比第（2）問的解決方法探究：如果一個長方形的長和寬分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求這個長方形的面積．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)49；(3)7．【分析】（1）根據(jù)圖形的面積的兩種不同的計算方法得到完全平方公式；（2）根據(jù)完全平方公式變形即可求解；（3）根據(jù)矩形的周長和面積公式以及完全平方公式即可得到結論．【詳解】（1）解：方法一:通過觀察可得，陰影部分的長為SKIPIF1<0，寬也為SKIPIF1<0，即陰影部分為一個正方形，則SKIPIF1<0；方法二：邊長為a的大正方形，減去2個長為a，寬為b的長方形，再加上多減掉一次的邊長為b的小正方形，即為陰影部分的面積；則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）解：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以長方形的面積為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了因式分解的應用，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．類型四、因式分解求參【解惑】（2019秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）仔細閱讀下面例題，解答問題.【例題】已知關于SKIPIF1<0的多項式SKIPIF1<0有一個因式是SKIPIF1<0，求另一個因式及SKIPIF1<0的值.解：設另一個因式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴另一個因式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.【問題】仿照以上方法解答下面問題：（1）已知關于SKIPIF1<0的多項式SKIPIF1<0有一個因式是SKIPIF1<0，求另一個因式及SKIPIF1<0的值.（2）已知關于SKIPIF1<0的多項式SKIPIF1<0有一個因式是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）20.【分析】（1）按照例題的解法，設另一個因式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，展開后對應系數(shù)相等，可求出a，b的值，進而得到另一個因式；（2）同理，設另一個因式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，展開后對應系數(shù)相等，可求出k的值.【詳解】解：（1）設另一個因式為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴另一個因式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.（2）設另一個因式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.

∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的值為20.【點睛】本題考查因式分解，掌握兩個多項式相等，則對應系數(shù)相等是關鍵.【融會貫通】1．（2022秋·上海松江·七年級?？计谥校┮阎囗検絊KIPIF1<0分解因式得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值分別為（）A．1，SKIPIF1<0，6 B．1，1，SKIPIF1<0 C．1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．1，1，6【答案】C【分析】根據(jù)多項式乘以多項式運算法則將SKIPIF1<0展開，分別對應SKIPIF1<0即可得出答案．【詳解】解：SKIPIF1<0，∵多項式SKIPIF1<0分解因式得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，也可根據(jù)十字相乘法因式分解得SKIPIF1<0進行求解．2．（2022春·四川達州·八年級校聯(lián)考期中）已知多項式SKIPIF1<0分解因式的結果為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】把SKIPIF1<0根據(jù)乘法法則計算后與SKIPIF1<0比較即可．【詳解】解：SKIPIF1<0=2(x2+x-2x-2)=2x2+2x-4x-4=2x2-2x-4，∵SKIPIF1<0=2x2-2x-4，∴b=-2，c=-4，SKIPIF1<0故選B．【點睛】本題考查了因式分解，以及多項式與多項式的乘法計算，熟練掌握因式分解與乘法運算是互為逆運算的關系是解答本題的關鍵．3．（2022春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）多項式SKIPIF1<0可因式分解成SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為整數(shù)，SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)已知可得SKIPIF1<0，然后利用多項式乘多項式的法則進行計算，從而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0的值，進行計算即可解答．【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解SKIPIF1<0十字相乘法，熟練掌握因式分解與整式乘法的關系是解題的關鍵．4．（2022秋·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）若（x+2）是多項式4x2+5x+m的一個因式，則m等于（

）A．–6 B．6 C．–9 D．9【答案】A【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，一個因式（x+2），可得另一個因式，即可得答案．【詳解】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n∴8+n=5，m=2n，∴n=-3，m=-6故選A．【點睛】本題考查因式分解的意義，解題的關鍵是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值．5．（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎稳検絊KIPIF1<0有一個因式是SKIPIF1<0，則m值為_________．【答案】3【分析】根據(jù)二次三項式SKIPIF1<0有一個因式是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即可得到m的值．【詳解】解：∵二次三項式SKIPIF1<0有一個因式是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為3．【點睛】本題考查分組分解法因式分解，解題的關鍵是湊因式SKIPIF1<0．6．（2022秋·四川眉山·八年級?？计谥校┤舳囗検絊KIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是常數(shù)）分解因式后，有一個因式是SKIPIF1<0，則代數(shù)式SKIPIF1<0的值為______．【答案】81【分析】設另一個因式為x?a，因為整式乘法是因式分解的逆運算，所以將兩個因式相乘后結果得SKIPIF1<0，根據(jù)各項系數(shù)相等列式，計算可得2m?n＝4．【詳解】解：設另一個因式為x?a，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由①得：a＝m?2③，把③代入②得：n＝2（m?2），即2m?n＝4，SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝34＝81，故答案為：81．【點睛】本題是因式分解的意義和同底數(shù)冪的除法，因式分解與整式乘法是相反方向的變形，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式；因此具體作法是：按多項式法則將分解的兩個因式相乘，7．（2021秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知：二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴SKIPIF1<0解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（x﹣5），求另一個因式以及k的值．【答案】另一個因式為（2x+13），k的值為65．【分析】設另一個因式為（2x+a），根據(jù)題意列出等式，利用系數(shù)對應相等列出得到關于a和k的方程求解即可．【詳解】解：設另一個因式為（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）則2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a∴SKIPIF1<0，解得：a＝13，k＝65．故另一個因式為（2x+13），k的值為65．【點睛】此題考查了因式分解和整式乘法的關系，解題的關鍵是根據(jù)題意設出另一個因式列出等式求解．類型五、十字相乘法【解惑】（2021秋·湖南懷化·七年級?？计谥校╅喿x下列材料：材料1：將一個形如SKIPIF1<0的二次三項式分解因式時，如果能滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則可以把SKIPIF1<0分解因式成SKIPIF1<0．例如：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．材料2：因式分解：SKIPIF1<0．解：將“SKIPIF1<0”看成一個整體，令SKIPIF1<0，則原式SKIPIF1<0．再將“SKIPIF1<0”還原，得原式SKIPIF1<0．上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題．(1)根據(jù)材料1，分解因式：SKIPIF1<0．(2)結合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：SKIPIF1<0．②分解因式：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）將SKIPIF1<0寫成SKIPIF1<0，根據(jù)材料1的方法可得SKIPIF1<0）即可；（2）①令SKIPIF1<0，原式可變?yōu)镾KIPIF1<0，再利用十字相乘法分解因式即可；②令SKIPIF1<0，原式可變?yōu)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，利用十字相乘法可分解為SKIPIF1<0，再將“SKIPIF1<0”還原，即可求解．【詳解】（1）解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）①令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0②令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的結構特征是解題的關鍵．【融會貫通】1．（2023春·七年級課時練習）如果多項式SKIPIF1<0可分解為SKIPIF1<0，則m，n的值分別為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先計算多項式乘多項式，然后再進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，先計算多項式乘多項式是解題的關鍵．2．（2023秋·重慶豐都·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）首先提取公因式SKIPIF1<0，進而利用完全平方公式分解因式即可；（2）用十字相乘法分解即可．【詳解】（1）解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）解：原式SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，能根據(jù)多項式的特點，靈活選擇方法是關鍵．3．（2023秋·重慶黔江·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0；利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是SKIPIF1<0的二次三項式分解因式．例如：將式子SKIPIF1<0分解因式．分析：這個式子的常數(shù)項SKIPIF1<0，一次項系數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解：SKIPIF1<0．請依照上面的方法，解答下列問題：(1)分解因式：SKIPIF1<0；(2)分解因式：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0可分解為兩個一次因式的積，請寫出整數(shù)SKIPIF1<0的所有可能的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）將SKIPIF1<0看作整體，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；（3）找出所求滿足題意p的值即可．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0（2）解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）解：若SKIPIF1<0可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)SKIPIF1<0的所有可能的值是：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即整數(shù)SKIPIF1<0的所有可能的值是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了因式分解——十字相乘法，弄清題中的分解因式方法是解本題的關鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習）因式分解：SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】先設SKIPIF1<0，根據(jù)整式的乘法化簡后利用十字相乘法因式分解，再將y換回SKIPIF1<0，再次因式分解即可．【詳解】解：設SKIPIF1<0，則原式SKIPIF1<0．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握換元法和十字相乘法是解題的關鍵．5．（2022春·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）提出問題：你能把多項式SKIPIF1<0因式分解嗎？探究問題：如圖1所示，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，由面積相等可得：SKIPIF1<0，將該式從右到左使用，就可以對形如SKIPIF1<0的多項式進行進行因式分解即SKIPIF1<0．觀察多項式SKIPIF1<0的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項為兩數(shù)之和．解決問題：SKIPIF1<0運用結論：(1)基礎運用：把多項式SKIPIF1<0進行因式分解．(2)知識遷移：對于多項式SKIPIF1<0進行因式分解還可以這樣思考：將二次項SKIPIF1<0分解成圖2中的兩個SK