《閱讀與思考集合中元素的個數(shù)》教學設計(河北省縣級優(yōu)課)x-數(shù)學教案

《集合中元素的個數(shù)》教學設計南和一中李娟一教材分析本節(jié)課的地位和作用本節(jié)課是人教A版必修1第一章第一節(jié)《集合》后面的一個閱讀與思考的內(nèi)容。主要介紹如何計算若干個有限集合并集中的元素個數(shù)。計算有限集中元素的個數(shù)問題，在實際生活中應用非常廣泛，特別是在各級各類的數(shù)學競賽以及以后要學習的排列，組合和概率章節(jié)中要經(jīng)常用到。因此，了解掌握這部分內(nèi)容很有必要。而且通過對無限集合中元素個數(shù)的討論，還可以向同學們滲透數(shù)學文化，以提高學生學習數(shù)學的興趣。本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)課主要介紹并集中元素個數(shù)的求法，首先從生活中最簡單的例子入手，求兩個集合并集中元素的個數(shù)，再求三個集合并集中元素的個數(shù)，然后推廣到n個集合并集中元素的個數(shù)，從而總結出一般的公式，最后，介紹如何比較兩個無限集合中元素的個數(shù)大小，向學生滲透一部分數(shù)學文化的知識。二學情分析學生在前面已經(jīng)學習了集合的概念，集合中元素的特征，以及集合之間的關系和運算，對集合已經(jīng)有了一定的基礎，所以可以利用所學的集合知識來解決一些實際問題，使他們體會到數(shù)學是有用的。三教學目標分析1知識與技能目標：通過集合中元素的個數(shù)問題的研究，探求有限集中元素的個數(shù)之間的關系，了解無限集中如何比較元素的個數(shù)大小。2過程與方法目標：能多方面，多角度，多層面來探究問題，運用知識來解決問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力。3情感態(tài)度與價值觀目標：激發(fā)學生的學習熱情和學習興趣，享受探索成功的樂趣，培養(yǎng)科學態(tài)度與科學精神。四教學重難點分析重點：有限集合中元素個數(shù)間的關系。難點：并集中元素個數(shù)的公式的推導。五教學過程分析引言一年一度的某中學藝術節(jié)又要到來了。本次藝術節(jié)共設三項：書畫比賽、歌詠比賽和圍棋比賽。初二·三班的文藝委員小紅對本班參賽人員進行統(tǒng)計，結果是：參加書畫比賽的15人，參加歌詠比賽的28人，參加圍棋比賽的25人，但使小紅百思不得其解的是，參加人員總計68人，而她的班里總共才有60人，剩余的8人是從何處來的呢？原來，這是由集合的性質造成的。在前面我們學習了集合的概念和集合中元素的特征，按集合中元素的個數(shù)可把集合分為有限集和無限集，在有限集中，我們把集合中元素的個數(shù)用card來表示，比如,則設計意圖：明確集合中元素個數(shù)的表示方法和符號。（2）教師出示例題學校小賣部進了兩次貨，第一次進的貨有圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水共6種，第二次進的貨是圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面共4種，問兩次一共進了幾種貨？用集合A表示第一次進貨的品種，集合B表示第二次進貨的品種，則有A={圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水}，B={圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面}，顯然card(A)=6,card(B)=4,求兩次一共進了幾次貨？這個問題實際上求,顯然是錯誤的，那么應該等于幾呢？設計意圖：從實際問題出發(fā)，引起學生的認知沖突，為后面內(nèi)容做好鋪墊。（3）學生很容易發(fā)現(xiàn)，應該等于的是8，因為集合A和集合B有兩個相同的品種，即,那么同學們能否探究一下之間的關系？設計意圖：讓學生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的過程。橡皮筆記本汽水方便面圓珠筆火腿腸鉛筆橡皮筆記本汽水方便面圓珠筆火腿腸鉛筆鋼筆由Venn圖可以得出：例1學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會。這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？例2.某班學生參加數(shù)學課外小組的人數(shù)是參加物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時參加兩個課外小組的人數(shù)是5人，至少參加一個課外活動小組的人數(shù)為25人.試求參加數(shù)學小組、物理小組的人數(shù)各是多少？例3.在100個學生中，有美術愛好者63人，音樂愛好者75人（并非每個學生都有愛好），對美術和音樂都愛好的學生最多有多少人？最少有多少人？設計意圖：通過幾個例題，使學生進一步加深對公式的理解和應用。（5）三個集合并集中元素的個數(shù)例4.某學校高一年級共有480名學生，其中報名參加學校文學社的有100人，參加英語角的有80人，參加數(shù)學興趣班的有50人，既參加文學社又參加英語角的有60人，既參加文學社又參加數(shù)學興趣班的有30人，既參加英語角又參加數(shù)學興趣班的有20人，這三項都參加的有10人，問，還有多少人上述三項都沒有參加？設集合A={參加文學社的學生}，集合B={參加英語角的學生}，集合C={參加數(shù)學興趣班的學生}，由題意得：設計意圖：讓學生小組合作，共同討論，得出公式：card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）（6）猜想四個集合并集中元素個數(shù)并推廣到n個集合的并集中元素的個數(shù)card（A∪B∪C∪D）=card（A）+card（B）+card（C）+card（D）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）-card（A∩D）+card（A∩B∩C）+card（A∩B∩D）+card（B∩C∩D）-card（A∩B∩C∩D）（7）提出新問題：有限集合中元素的個數(shù)，我們可以一一數(shù)出來，而對于元素個數(shù)無限的集合，如A={1，2，3，4，?，n，?}，B={2，4，6，8，?，2n，?}，我們無法數(shù)出集合中的元素個數(shù)，但可以比較這兩個集合的元素個數(shù)的多少．你能設計一個比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎?（8）針對上面的問題，學生的疑惑主要有：問題1：上述兩集合中元素個數(shù)是不是相同?問題2：集合B是不是集合A的真子集?問題3：若B是A的真子集，集合B與集合A中元素個數(shù)又怎么比較？問題4：平時同學們一常常說：“N是Z的真子集．因為Z中的元素個數(shù)比N中的元素個數(shù)多．”這又怎么解釋呢?設計意圖：提出新問題，勾起學生的好奇心，進一步探究如何比較兩個無限集中元素的多少。（9）要想解決這個問題，我們首先要了解一個人，這個人就是德國著名的數(shù)學家康托爾。關于集合的理論是19世紀末開始形成的。當時德國數(shù)學家康托爾試圖回答一些涉及無窮量的數(shù)學難題，例如“整數(shù)究竟有多少？”“一個圓周上有多少點？”0—1之間的數(shù)比1寸長線段上的點還多嗎？”等等。而“整數(shù)”、“圓周上的點”、“0—1之間的數(shù)”等都是集合，因此對這些問題的研究就產(chǎn)生了集合論。集合論最初的一個基本課題就是研究元素個數(shù)有多少的問題，稱之為集的勢論．為便于解決上述問題，先引進一個概念：設A，B為兩個集合，若在這兩個集合之間存在著一一對應的關系：即集合A中的每一個元素都有集合B中惟一的一個元素與之對應，集合B中的每一個元素都有集合A中的惟一的一個元素與之對應)，則稱A與B是對等的記作：A～B，也稱集合A,B等勢。康托爾也提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數(shù)，把元素間能建立一一對應的集合稱為個數(shù)相同，即稱為等勢．這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾．而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征．那么由“等勢”的概念，可以回答問題1了。集合={l，2，3，4，?}與集合B={2，4，6，8，?}是可以找到一個一一對應的．集合中的每一個元素都有集合B中惟一的一個元素與之對應，集合B中的每一個元素都有集合A中的惟一的一個元素與之對應，所以兩個集合中的元素個數(shù)是相同的，即等勢．而問題2，從子集的定義就可知道，集合B是集合A的真子集．問題3的答案是：B是A真子集，集合A與集合B元素個數(shù)相同．問題4所提到的：“N是Z的真子集，因為Z中的元素個數(shù)比N中的元素個數(shù)多．”這句話前半部分是正確的，學習了“勢”概念后，可以知道后半句話是不確切的．因此，教師也不能用有限集的語言或理論來描述無限集這一特性．故集合A和集合B是等勢的，不存在哪個集合元素多的問題．從上述思考題．觀察到無限集與其真子集之間是可以等勢的。但這在有限集合是絕對不行的．這也是有限集合和無限集合的根本差別．．設計意圖：其實，要回答無限集中元素個數(shù)比較的問題，一定程度上超出了《課標》的要求．但作為激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，還是有一定的引導作用．增長了學生學習數(shù)學的興趣，體會了無限集的一點奧妙．正如法國數(shù)學家、天文學家拉普拉斯