江蘇省蘇州市吳江汾湖中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

江蘇省蘇州市吳江汾湖中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.3．已知數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，則=A. B.C. D.4．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國(guó)明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等，且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2205．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.56．已知圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值為（）A. B.C. D.17．已知F是雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸近線上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的面積為（）A.1 B.C. D.8．設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知正的邊長(zhǎng)為，那么的平面直觀圖的面積為（）A. B.C. D.10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第十層球的個(gè)數(shù)為（）A.45 B.55C.90 D.11011．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b212．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是，則＝______14．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B，C兩點(diǎn)（如圖）．若，則雙曲線的漸近線方程為______15．已知向量，若，則實(shí)數(shù)___________.16．在數(shù)列中，，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線l斜率大于0，過線段PQ的中點(diǎn)R作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出該定值18．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.19．（12分）已知直線，圓.（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；（2）若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng).20．（12分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為1，橢圓M上一點(diǎn)B位于第一象限，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線CF與橢圓M的另一交點(diǎn)為D（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AD的斜率為，直線AB的斜率為．求證：為定值21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，且，所以，即，所以的范圍故選：D2、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.3、C【解析】點(diǎn)在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，故選C考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和4、C【解析】依題意，每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，則最后一個(gè)單音的頻率為，由題意知，且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C6、A【解析】求出圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離，列方程即可求得的值.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因?yàn)閳A上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，可得：，故選：A.7、B【解析】根據(jù)給定條件求出，再利用余弦定理求出即可計(jì)算作答.【詳解】雙曲線C：中，，其漸近線，它與x軸的夾角為，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面積為.故選：B8、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.9、D【解析】作出正的實(shí)際圖形和直觀圖，計(jì)算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.【詳解】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由斜二測(cè)畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達(dá)出來，第層有個(gè)球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個(gè)球；第二層有個(gè)球；第三層有個(gè)球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個(gè)球設(shè)第層的小球個(gè)數(shù)為，則有：故第十層球的個(gè)數(shù)為：故選：11、A【解析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問題【詳解】∵∴∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)∴在上恒成立∴，即.∴故選A.【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來進(jìn)行求解.12、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結(jié)論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，可得的值，根據(jù)點(diǎn)M在切線上，可求得的值，即可得答案.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，又在切線上，所以，則=3，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)雙曲線的定義先計(jì)算出，，注意到圖中漸近線，于是利用兩種不同的表示法列方程求解.【詳解】，則，由雙曲線的定義及在右支上，，又在左支上，則，則，在中，由余弦定理，，而圖中漸近線，于是，得，于是，不妨令，化簡(jiǎn)得，解得，漸近線就為：.故答案為：.15、2【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?故答案為：216、##.【解析】由遞推關(guān)系取可求，再取求，取求.詳解】由分別取，2，3可得，，，又，∴，，，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設(shè)出相關(guān)直線與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與橢圓聯(lián)立，點(diǎn)的坐標(biāo)配合斜率公式化簡(jiǎn)，再運(yùn)用韋達(dá)理化簡(jiǎn)可證明.【小問1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點(diǎn)，則，因?yàn)镻A，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點(diǎn)共線，則，化簡(jiǎn)得，所以.18、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時(shí)討論，斜率存在時(shí)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示的面積，根據(jù)變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以O(shè)A中點(diǎn)G坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：∴可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設(shè)，，則的周長(zhǎng)為當(dāng)軸時(shí)，l的方程為，，，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）直線方程變形后令的系數(shù)等于0消去參數(shù)即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).（2）先求出圓心C到直線l距離，然后用勾股定理即可求得弦長(zhǎng).【小問1詳解】，聯(lián)立得：即直線l過定點(diǎn)（.【小問2詳解】由題意直線l的斜率，即，∴，圓，圓心，半徑，圓心C到直線l的距離，所以直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線CF的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】（1），，∴，，，∴；【小問2詳解】設(shè)，，則，CF：聯(lián)立∴，∴【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當(dāng)時(shí)．函數(shù)有極大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數(shù)為減函數(shù)，有，故當(dāng)時(shí)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值來求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中，如果一階導(dǎo)數(shù)無法解決，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.22、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；最小值為，無最大值；（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可確定單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得最值點(diǎn)；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，