江蘇省泰州市泰興市黃橋教育聯(lián)盟2023年數(shù)學(xué)八上期末檢測(cè)模擬試題含解析

江蘇省泰州市泰興市黃橋教育聯(lián)盟2023年數(shù)學(xué)八上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列因式分解結(jié)果正確的有（）①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．已知一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是，底邊長(zhǎng)是，這個(gè)等腰三角形的面積是（）A． B． C． D．3．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．若x、y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則下列分式的值保持不變的是A． B． C． D．5．若一組數(shù)據(jù)2，0，3，4，6，x的眾數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)中位數(shù)是()A．0 B．2 C．3 D．3.56．如圖，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)是（）A． B．C．3 D．57．如圖，中，，分別是，的平分線，，則等于（）A． B． C． D．8．如果一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二第四象限，且與x軸正半軸相交，那么()A． B． C． D．9．人體中紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077米，將0.0000077用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7.7×10﹣6 B．7.7×10﹣5 C．0.77×10﹣6 D．0.77×10﹣510．若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，則整式M為（）A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy二、填空題(每小題3分,共24分)11．的絕對(duì)值是．12．用反證法證明命題“在一個(gè)三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________．13．當(dāng)x＝2+時(shí)，x2﹣4x+2020＝_____．14．因式分解：______．15．若關(guān)于和的二元一次方程組，滿足，那么的取值范圍是_____．16．直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為_(kāi)___________17．如果從一卷粗細(xì)均勻的電線上截取1米長(zhǎng)的電線，稱得它的質(zhì)量為a克，再稱得剩余電線的質(zhì)量為b克，那么原來(lái)這卷電線的總長(zhǎng)度是米.18．已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，1），則m=____________．三、解答題(共66分)19．（10分）方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，1)．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1（2）將△A1B1C1向下平移3個(gè)單位后得到△A2B2C2，畫(huà)出平移后的△A2B2C2，并寫(xiě)出頂點(diǎn)B2的坐標(biāo)．20．（6分）已知，，求下列式子的值：（1）；（2）21．（6分）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD（1）求證：CE∥GF；（2）試判斷∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若∠EHF=100°，∠D=30°，求∠AEM的度數(shù)．22．（8分）分式化簡(jiǎn)求值與解方程（1）分式化簡(jiǎn)求值÷，其中（2）解分式方程：23．（8分）已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．(1)如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：AB=AC；(2)如圖，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；(3)若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖表示．24．（8分）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容．1．線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸，如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任一點(diǎn)，連結(jié)．將線段沿直線對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合．由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．已知：如圖，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)．求證：．分析圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得．定理證明：請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程．定理應(yīng)用：（1）如圖②，在中，直線分別是邊的垂直平分線，直線m、n交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求證：．（1）如圖③，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．25．（10分）問(wèn)題背景若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個(gè)等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂針點(diǎn)；若再滿足兩個(gè)頂角的和是180°，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn)．如圖1，四邊形中，是一條對(duì)角線，，，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為頂針點(diǎn)；若再滿足，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)．初步思考(1)如圖2，在中，，，、為外兩點(diǎn)，，，為等邊三角形．①點(diǎn)與點(diǎn)______關(guān)于互為頂針點(diǎn)；②點(diǎn)與點(diǎn)______關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)，并說(shuō)明理由．實(shí)踐操作(2)在長(zhǎng)方形中，，．①如圖3，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作出點(diǎn)、，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)．(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)思維探究②如圖4，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為勾股頂針點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段與線段的長(zhǎng)度是否會(huì)相等？若相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（10分）（1）如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作一條直線，把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，并說(shuō)明理由（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個(gè)三角形如圖②、圖③所示，能否分別畫(huà)一條直線把他們分割成兩個(gè)等腰三角形？若能，請(qǐng)寫(xiě)出分割成的兩個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】根據(jù)提公因式法和公式法因式分解即可．【詳解】①，故①錯(cuò)誤；②，故②正確；③，故③錯(cuò)誤；④，故④錯(cuò)誤．綜上：因式分解結(jié)果正確的有1個(gè)故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是因式分解，掌握提公因式法和公式法因式分解是解決此題的關(guān)鍵，需要注意的是因式分解要徹底．2、D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵AB=AC=5，BC=8，

∴BD=BC=4，

∴AD=，∴S△ABC=BC?AD=×8×3=1．

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．3、B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】A.若，當(dāng)時(shí)，則，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若，則，故該選項(xiàng)正確；C.若，則，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若，則不一定比大，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式，考慮到a,b可能是任意實(shí)數(shù)是解題的關(guān)鍵．4、A【分析】據(jù)分式的基本性質(zhì)，x，y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，求出每個(gè)式子的結(jié)果，看結(jié)果等于原式的即是．【詳解】解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可知若x，y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，A、，B、，C、，D、，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，即分子分母同乘以一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變．此題比較簡(jiǎn)單，但計(jì)算時(shí)一定要細(xì)心．5、D【分析】眾數(shù)為一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，由此可確定x的值，再根據(jù)中位數(shù)是將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后最中間的一個(gè)數(shù)（奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）確定這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可.【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4，因此x=4，將這組數(shù)據(jù)從小到大排序后為0,2,3,4,4,6，處在最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，因此中位數(shù)是3.1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，會(huì)求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)是解題的關(guān)鍵.6、C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB⊥AF，

∴∠FAB=90°，

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴AD=BD=BC=4，

∴∠DAB=∠B，

∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，

∵∠AEB=2∠B，

∴∠AED=∠ADE，

∴AE=AD，∴AE=AD=4，

∵EF=，EF⊥AF，

∴AF=3，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．7、B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°，

∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，,∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理．本題中是將∠OBC+∠OCB看成一個(gè)整體求得的，掌握整體思想是解決此題的關(guān)鍵．8、C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷k、b的范圍.【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二第四象限，∴，∵直線與x軸正半軸相交，∴，∴；故選擇：C.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直線所經(jīng)過(guò)的象限，正確判斷k、b的取值范圍.9、A【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：0.0000077＝7.7×10﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．10、D【分析】根據(jù)完全平方公式，即可解答．【詳解】解：因?yàn)椋?x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，所以M＝4xy，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的概念：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，再加上（或減去）它們積的2倍．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】試題分析：由負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)可得．考點(diǎn)：絕對(duì)值得性質(zhì)．12、在一個(gè)三角形中三個(gè)角都大于60°【分析】根據(jù)反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論不成立進(jìn)行解答即可．【詳解】由反證法的一般步驟，第一步是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，所以應(yīng)假設(shè)在一個(gè)三角形中三個(gè)角都大于60°，故答案為：在一個(gè)三角形中三個(gè)角都大于60°．【點(diǎn)睛】本題考查反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．13、1．【分析】將x2﹣4x+2020進(jìn)行配方，化為（x﹣2）2+2016，然后根據(jù)x＝2+，即可求解.【詳解】由已知得：x﹣2＝，∴x2﹣4x+2020＝（x﹣2）2+2016＝3+2016＝1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，學(xué)會(huì)利用配方法分解因式是本題的關(guān)鍵.14、【分析】利用平方差公式進(jìn)行因式分解．【詳解】解：．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法．15、m＞?1【分析】?jī)煞匠滔嗉涌傻脁＋y＝m＋1，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式，解之可得．【詳解】解：，①＋②得：3x＋3y＝3m＋3，則x＋y＝m＋1，∵，∴m＋1＞0，解得：m＞?1，故答案為：m＞?1.【點(diǎn)睛】本題考查的是解二元一次方程組以及解一元一次不等式，整體求出x＋y＝m＋1是解題的關(guān)鍵．16、【分析】先用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，然后再根據(jù)直角三角形面積的兩種公式求解即可．【詳解】∵直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，∴斜邊長(zhǎng)＝∵直角三角形面積S＝×5×12＝×13×斜邊的高，∴斜邊的高＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及直角三角形面積，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．17、【解析】試題分析：根據(jù)題意得：剩余電線的質(zhì)量為b克的長(zhǎng)度是米．所以這卷電線的總長(zhǎng)度是（）米．考點(diǎn)：列代數(shù)式（分式）．18、-1【分析】把（m，1）代入中，得到關(guān)于m的方程，解方程即可．【詳解】解：把（m，1）代入中，得

，解得m=-1．

故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題方法一般是代入這個(gè)點(diǎn)求解．三、解答題(共66分)19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析，B2(－1，－3)【分析】（1）利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置即可得出答案；（2）分別作出點(diǎn)A1、B1、C1向下平移3個(gè)單位后的點(diǎn)，然后順次連接，且B2的坐標(biāo)即為點(diǎn)B1縱坐標(biāo)減3即可.【詳解】解：（1）如圖△A1B1C1，即為所求；（2）如圖△A2B2C2，即為所求，B2（-1，-3）.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)軸對(duì)稱變換和平移變換作圖，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，并順次連接．20、（1）-4；（2）21【分析】（1）根據(jù)a，b的值求出a+b，ab的值，再根據(jù)a2+b2=（a+b）2-2ab，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）得出的a+b，ab的值，再根據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，，∴，，∴（2）由（1）得，，∴【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次根式的性質(zhì)、完全平方公式、平方差公式，關(guān)鍵是對(duì)要求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)．21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠AED+∠D=180°，理由見(jiàn)解析；（3）∠AEM=130°【解析】分析：（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證CE∥GF；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C=∠FGD，根據(jù)等量關(guān)系可得∠FGD=∠EFG，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)對(duì)頂角相等可求∠DHG，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠CGF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C，∠AEC，再根據(jù)平角的定義可求∠AEM的度數(shù)．本題解析：（1）證明：∵∠CED=∠GHD，∴CE∥GF（2）答：∠AED+∠D=180°理由：∵CE∥GF，∴∠C=∠FGD，∵∠C=∠EFG，∴∠FGD=∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D=180°；（3）∵∠DHG=∠EHF=100°，∠D=30°，∴∠CGF=100°+30°=130°∵CE∥GF，∴∠C=180°﹣130°=50°∵AB∥CD，∴∠AEC=50°，∴∠AEM=180°﹣50°=130°.點(diǎn)睛：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相關(guān)的內(nèi)錯(cuò)角，同位角的相等關(guān)系.22、（1），；（2）【分析】（1）先化簡(jiǎn)分式得到，再將變形為代入求值即可；（2）去分母，將分式方程化成整式方程，求出x值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】解：（1）÷=====∵其中∴∴原式==；（2）解：去分母得：化簡(jiǎn)得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴原方程的解是.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值與解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和解法.23、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）不一定成立，見(jiàn)解析．【解析】（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C，利用斜邊直角邊定理（HL）證明Rt△OEB≌Rt△OFC即可；

（2）首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，則∠OBE=∠OCF，由等邊對(duì)等角得出∠OBC=∠OCB，進(jìn)而得出∠ABC=∠ACB，由等角對(duì)等邊即可得AB=AC；

（3）不一定成立，當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)，有AB=AC；否則，AB≠AC．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)O在邊BC上，OE⊥AB，OF⊥AC，點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）證明：過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由題意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)AB=AC，否則AB≠AC．（如示例圖）

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．24、證明見(jiàn)解析；（1）證明見(jiàn)解析；（1）2．【分析】定理證明：根據(jù)垂直的定義可得∠PAC=∠PCB=90°，利用SAS可證明△PAC≌△PBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出PA=PB；（1）如圖，連結(jié)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得OB=OC，OA=OC，即可得出OA=OB，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AH=BH；（1）如圖，連接BD、BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠C=30°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，CE=BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)可證明三角形BDE是等邊三角形，可得DE=AC，即可得答案．【詳解】定理證明：，∴∠PAC=∠PCB=90°，，．．（1）如圖，連結(jié)．∵直線m、n分別是邊的垂直平分線，．．，．（1）如圖，連接BD、BE，∵∠ABC=110°，AB=BC，∴∠A=∠C=30°，∵邊的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，∴AD=BD，CE=BE，∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBE，∴∠BDE=1∠A=20°，∠BED=1∠C=20°，∴∠DBE=20°∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD=BE=AD=CE，∴DE=AC∵AC=18，∴DE=2故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，掌握并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.25、（1）①、，②，理由見(jiàn)解析；（2）①作圖見(jiàn)解析；②與可能相等，的長(zhǎng)度分別為，，2或1．【分析】（1）根據(jù)互為頂點(diǎn)，互為勾股頂針點(diǎn)的定義即可判斷．

（2）①以C為圓心，CB為半徑畫(huà)弧交AD于F，連接CF，作∠BCF的角平分線交AB于E，點(diǎn)E，點(diǎn)F即為所求．

②分四種情形：如圖①中，當(dāng)時(shí)；如圖②中，當(dāng)時(shí)；如圖③中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與D重合；如圖④中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）根據(jù)互為頂點(diǎn)，互