高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 平面向量（含解析）試題

一、選擇題1．設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．10[答案]B[解析]本題考查向量的模及垂直問題．∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10).[方法點撥]1.平面向量的平行與垂直是高考命題的主要方向之一，此類題常見命題形式是：①考查坐標(biāo)表示；②與三角函數(shù)、三角形、數(shù)列、解析幾何等結(jié)合，解題時直接運用向量有關(guān)知識列出表達(dá)式，再依據(jù)相關(guān)知識及運用相關(guān)方法加以解決．2．點共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別．3．注意垂直與平行的坐標(biāo)表示不要混淆．2．(文)(2014·新課標(biāo)Ⅱ理，3)設(shè)向量a、b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5[答案]A[解析]本題考查平面向量的模，平面向量的數(shù)量積．∵|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.聯(lián)立方程解得ab＝1，故選A.(理)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，a·b＝eq\f(3,2)，|a＋b|＝2eq\r(2)，則|b|等于()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2[答案]B[解析]∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b3．(文)(2015·四川文，2)設(shè)向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實數(shù)x＝()A．2 B．3C．4 D．6[答案]B[解析]由向量平行的性質(zhì)，有24＝x6，解得x＝3，選B.[方法點撥]若a與b都是非零向量λμ≠0，則λa＋μb＝0?a與b共線；若a與b不共線，則λa＋μb＝0?λ＝μ＝0，a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)共線?x1y2－x2y1＝0?eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2)(y1y2≠0)．(理)(2015·新課標(biāo)Ⅰ文，2)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)[答案]A[解析]本題主要考查平面向量的線性運算．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(－4，－3)＝(－7，－4)．故本題正確答案為A.4．(2015·北京文，6)設(shè)a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]考查充分必要條件、向量共線．a(chǎn)·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由已知得cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，a∥b.而當(dāng)a∥b時，〈a，b〉還可能是π，此時a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要條件．5．(文)如果不共線向量a、b滿足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b與2a－A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)[答案]C[解析]∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴選C.(理)若兩個非零向量a、b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)[答案]C[解析]解法1：由條件可知，a·b＝0，|b|＝eq\r(3)|a|，則cosθ＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(a2－b2,2|a|2)＝eq\f(－2a2,4a2)＝－eq\f(1,2)?θ＝eq\f(2π,3).解法2：由向量運算的幾何意義，作圖可求得a＋b與a－b的夾角為eq\f(2π,3).[方法點撥]兩向量夾角的范圍是[0，π]，a·b>0與〈a，b〉為銳角不等價；a·b<0與〈a，b〉為鈍角不等價．6．(2015·廣東文，9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,1)，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．5 B．4C．3 D．2[答案]A[解析]考查：1.平面向量的加法運算；2.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算．因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×3＋1×(－1)＝5，故選A.7．(文)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D[解析]eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).(理)已知平面上不共線的四點O，A，B，C.若eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)[答案]A[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CB,\s\up6(→))|，∴eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，故選A.8．(文)(2014·新課標(biāo)Ⅰ理，10)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則|QF|＝()A.eq\f(7,2) B.eq\f(5,2)C．3 D．2[答案]C[解析]拋物線的焦點坐標(biāo)是F(2,0)，過點Q作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足是A，則|QA|＝|QF|，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為G，因為eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(PF,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，由于三角形QAP與三角形FGP相似，所以可得eq\f(|QA|,|FG|)＝eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(PF,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.(理)(2014·中原名校第二次聯(lián)考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于D，AB＝4，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則AD的長為()A．1 B.eq\r(3)C．3 D．3eq\r(3)[答案]D[解析]在AC上取E點，在AB上取F點，使eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，∴DE∥AB，DF∥AC，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(CE,AE)＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3eq\r(3).9．(文)(2014·湖南文，10)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，動點D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[4,6] B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)] D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1][答案]D[解析]考查了向量的坐標(biāo)運算，圓的有關(guān)知識．設(shè)D(x，y)，則由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，而|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y＋\r(3)2)表示點D(x，y)到點(1，－eq\r(3))的距離，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)為圓心，1為半徑的圓，點(1，－eq\r(3))與點(3,0)的距離為eq\r(7)，∴|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范圍為[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]．(理)(2015·湖南文，9)已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標(biāo)為(2,0)，則|Peq\o(A,\s\up6(→))＋Peq\o(B,\s\up6(→))＋Peq\o(C,\s\up6(→))|的最大值為()A．6 B．7C．8 D．9[答案]B[解析]考查直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算性質(zhì)．由題根據(jù)所給條件不難得到該圓x2＋y2＝1是以AC為直徑的圓，然后根據(jù)所給條件結(jié)合向量的幾何關(guān)系不難得到|PA→＋PB→＋PC→|＝|2PO→＋PB→|，又eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|2＋9|\o(OP,\s\up6(→))|2－6\o(OB,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→))))＝eq\r(1＋9×4－12cos∠POB)＝eq\r(37－12cos∠POB)≤7，當(dāng)且僅當(dāng)∠POB＝180°時取等號，故最大值為7，選B.10．(文)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E、F分別在邊BC、DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝μeq\o(DC,\s\up6(→)).若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，則λ＋μ＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(7,12)[答案]C[解析]∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋λμeq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝2×2×cos120°＋4λ＋4μ＋λμ(2×2×cos120°)＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，①eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))·(1－μ)eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2(1－λ)(1－μ)＝－eq\f(2,3)，∴λμ－(λ＋μ)＝－eq\f(2,3).②解①②組成的方程組得λ＋μ＝eq\f(5,6).[方法點撥]1.熟記平面向量的數(shù)量積、夾角、模的定義及性質(zhì)是解答求模與夾角問題的基礎(chǔ)．2．充分利用平面向量的幾何運算法則、共線向量定理、平面向量數(shù)量積的運算法則、平面向量基本定理，探究解題思路是解決平面向量問題的保證．(理)(2015·江西質(zhì)檢)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，O為坐標(biāo)原點，且|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)[答案]D[解析]由(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，得(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OF2,\s\up6(→)))＝0，即|eq\o(OP,\s\up6(→))|2－|eq\o(OF2,\s\up6(→))|2＝0，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝|eq\o(OF2,\s\up6(→))|＝c，所以△PF1F2中，邊F1F2上的中線等于|F1F2|的一半，則PF1⊥PF2，即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2|PF2|，解得|PF1|＝eq\f(4,\r(5))c，|PF2|＝eq\f(2,\r(5))c.所以|PF1|－|PF2|＝eq\f(2,\r(5))c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).二、填空題11．(文)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝________.[答案]－eq\f(1,4)[解析]如圖，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝(b－a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))＝eq\f(2,3)b－a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b－a))＝eq\f(1,3)a·b－eq\f(|a|2,2)＋eq\f(|b|2,3)－eq\f(1,2)a·b＝eq\f(|b|2,3)－eq\f(|a|2,2)－eq\f(1,6)a·b＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4).(理)(2015·天津文，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點E和F分別在線段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為________．[答案]eq\f(29,18)[解析]考查平面向量的數(shù)量積．如圖，O為AB的中點，設(shè)Aeq\o(O,\s\up6(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|＝1且a·b＝eq\f(1,2)，根據(jù)梯形的性質(zhì)可得Deq\o(C,\s\up6(→))＝Aeq\o(O,\s\up6(→))＝a，Beq\o(C,\s\up6(→))＝Oeq\o(D,\s\up6(→))＝b－a.所以Aeq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(C,\s\up6(→))＝2a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.Aeq\o(F,\s\up6(→))＝Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(F,\s\up6(→))＝Aeq\o(D,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)Deq\o(C,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋b.所以Aeq\o(E,\s\up6(→))·Aeq\o(F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a＋\f(2,3)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a＋b))＝eq\f(2,9)a2＋eq\f(13,9)a·b＋eq\f(2,3)b2＝eq\f(29,18).12．(文)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________.[答案]eq\f(2\r(2),3)[解析]本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算．依題意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝eq\f(1,3)，∴|a|2＝9eeq\o\al(2,1)－12e1·e2＋4eeq\o\al(2,2)＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9eeq\o\al(2,1)－6e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝8，a·b＝9eeq\o\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝8，∴|b|＝2eq\r(2)，cosβ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).(理)如圖所示，A、B、C是圓O上的三點，線段CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n的取值范圍是________．[答案](－1,0)[解析]根據(jù)題意知，線段CO的延長線與線段BA的延長線的交點為D，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→)).∵D在圓外，∴t<－1，又D、A、B共線，∴存在λ、μ，使得eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1，又由已知，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，∴tmeq\o(OA,\s\up6(→))＋tneq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＋n＝eq\f(1,t)，故m＋n∈(－1,0)．13．(2015·安徽文，15)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，則下列結(jié)論中正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號)①a為單位向量；②b為單位向量；③a⊥b;④b∥eq\o(BC,\s\up6(→))；⑤(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).[答案]①④⑤[解析]考查1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性質(zhì)．∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB→＝2a，∴|AB→|＝2|a|＝2?|a|＝1，故①正確；∵AC→＝AB→＋BC→＝2a＋BC→，∴BC→＝b?|b|＝2，故②錯誤，④正確；由于AB→＝2a，BC→＝b?a與b夾角為120°，故③錯誤；又∵(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×(－eq\f(1,2))＋4＝0，∴(4a＋b)⊥BC→，故⑤正確，因此，正確的編號是①④⑤.14．(文)如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝________(用向量a和b表示)．[答案]eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b[解析]據(jù)題意可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，又由eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.(理)已知O為坐標(biāo)原點，點M(3,2)，若N(x，y)滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥0，,x＋y≤4.))則eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值為________．[答案]12[解析]據(jù)不等式組得可行域如圖所示：由于z＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝3x＋2y，結(jié)合圖形進(jìn)行平移可得點A(4,0)為目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.三、解答題15．(文)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(eq\r(3)，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求實數(shù)m[解析](1)∵a⊥b，∴eq\r(3)cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝eq\r(3).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).(2)∵2a－b＝(2cosθ－eq\r(3)，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－eq\r(3))2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(eq\f(1,2)sinθ－eq\f(\r(3),2)cosθ)＝8＋8sin(θ－eq\f(π,3))．又θ∈[0，π]，∴θ－eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]，∴sin(θ－eq\f(π,3))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]，∴|2a－b|2的最大值為16，∴|2a－b|的最大值為4.又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.(理)在△ABC中，角A、B、C所對的對邊長分別為a、b、c.(1)設(shè)向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，證明：a2－c2＝2b2.[解析](1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，整理得tanC＋tanB＋2＝0，∴tanC＋tanB＝－2.(2)證明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，∴由正、余弦定理得：a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋3×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)×c＝0，∴a2－c2＝2b2.16．(文)已知向量a＝(sineq\f(ωx,2)，eq\f(1,2))，b＝(coseq\f(ωx,2)，－eq\f(1,2))(ω>0，x≥0)，函數(shù)f(x)＝a·b的第n(n∈N*)個零點記作xn(從左向右依次計數(shù))，則所有xn組成數(shù)列{xn}．(1)若ω＝eq\f(1,2)，求x2；(2)若函數(shù)f(x)的最小正周期為π，求數(shù)列{xn}的前100項和S100.[解析]f(x)＝a·b＝sineq\f(ωx,2)coseq\f(ωx,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)sinωx－eq\f(1,4).(1)當(dāng)ω＝eq\f(1,2)時，f(x)＝eq\f(1,2)sin(eq\f(1,2)x)－eq\f(1,4)，令f(x)＝0，得x＝4kπ＋eq\f(π,3)或x＝4kπ＋eq\f(5π,3)(k∈Z，x≥0)，取k＝0，得x2＝eq\f(5π,3).(2)因為f(x)最小正周期為π，則ω＝2，故f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,4)，令f(x)＝0得x＝kπ＋eq\f(π,12)或x＝kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z，x≥0)，所以S100＝eq\i\su(k＝0,49,[)(kπ＋eq\f(π,12))＋(kπ＋eq\f(5π,12))]＝eq\i\su(k＝0,49,)(2kπ＋eq\f(π,2))＝2π(0＋1＋2＋…＋49)＋50×eq\f(π,2)＝50×49π＋25π＝2475π.[方法點撥]1.不含坐標(biāo)的向量綜合問題，解答時，按向量有關(guān)概念、性質(zhì)、法則等通過運算解決，若條件方便建立坐標(biāo)系，則建立坐標(biāo)系用坐標(biāo)運算解決，給出坐標(biāo)的向量綜合問題，直接按向量各概念、法則的坐標(biāo)表示將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理．2．向量與其他知識交匯的題目，先按向量的概念、性質(zhì)、法則脫去向量外衣，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角、數(shù)列、不等式、函數(shù)、解析幾何等問題，再按相應(yīng)的知識選取解答方法．(理)(2015·太原市一模)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是點F1、F2，其離心率e＝eq\f(1,2)，點P為橢圓上的一個動點，△PF1F2內(nèi)切圓面積的最大值為eq\f(4π,3).(1)求a，b的值；(2)若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個點，且滿足eq\o(F1A,\s\up6(→))∥eq\o(F1C,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))∥eq\o(F1D,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq