專題02三角形壓軸題真題分類（解析版）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重難點題型分類高分必刷題（人教版）

第第頁專題02《三角形》壓軸題真題分類-高分必刷題（解析版）專題簡介：本份資料包含《三角形》這一章中求角度的的四種類型的常考壓軸題，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題，具體包含的題型有：與內(nèi)角外角平分線有關(guān)的壓軸題、與8字模型有關(guān)的壓軸題、與燕尾模型有關(guān)的壓軸題、與動角有關(guān)的壓軸題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時使用或者學(xué)生考前刷題時使用。題型一：與內(nèi)角外角平分線有關(guān)的壓軸題1.（上海）（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為，，求的度數(shù)．（2）如圖，和分別平分和，當(dāng)點在直線上時，且B、P、D三點共線，，則_________．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點在直線外時，如下圖：，，求的度數(shù)．【詳解】（1）如圖邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為∴，又∵，∴，∵在四邊形中，內(nèi)角和為∴．（2）∵和分別平分和，∴，又∵，∴，∴∴＝20°．（3）法一：如圖：連接AC∵，，∴，∴，又∵和分別平分和，∴，∴，∴．2．∠MOQ＝90°，點A，B分別在射線OM、OQ上運(yùn)動（不與點O重合）．(1)如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度數(shù)．(2)如圖2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延長線交AI于點D．①若∠BAO＝40°，則∠ADB＝°；②點A、B在運(yùn)動的過程中，∠ADB是否發(fā)生變化，若不變，試求∠ADB的度數(shù)；若變化，請說明變化規(guī)律．【詳解】（1）∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴∠IBA＝∠ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，∴∠AIB＝180°﹣(∠IBA+∠IAB)＝135°．（2）①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，∵∠CBA＝∠D+∠BAD，∴∠D＝45°，故答案為：45．②不變，理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝(∠MBA﹣∠BAO)＝∠AOB＝×90°＝45°，∴點A、B在運(yùn)動的過程中，∠ADB＝45°．3．（江蘇）直線與直線垂直相交于點O，點A在直線上運(yùn)動，點B在直線上運(yùn)動．（1）如圖1，已知分別是和角的平分線，點在運(yùn)動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出的大?。?）如圖2，已知不平行分別是和的角平分線，又分別是和的角平分線，點在運(yùn)動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出的度數(shù)．（3）如圖3，延長至G，已知的角平分線與的角平分線及反向延長線相交于，在中，如果有一個角是另一個角的3倍，則的度數(shù)為____（直接寫答案）【詳解】解：（1）∠AEB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不變．延長AD、BC交于點F．∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED=67.5°；（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一個角是另一個角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍棄）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍棄）．∴∠ABO為60°或45°．4．已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，滿足：點A在y軸正半軸上移動，點B在x軸負(fù)半軸上移動，點C為y軸右側(cè)一動點．（1）若點A（0，a）和點B（b，0）坐標(biāo)恰好滿足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接寫出a、b的值．（2）如圖①，當(dāng)點C在第四象限時，若AM、AO將∠BAC三等分，BM、BO將∠ABC三等分，在A、B、C的運(yùn)動過程中，試求出∠C和∠M的大小．探究：（1）如圖②，當(dāng)點C在第四象限時，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的運(yùn)動過程中，∠C和∠M是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．（2）如圖③，當(dāng)點C在第一象限時，且在（1）中的條件不變的前提下，∠C和∠M又有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，又∵（a﹣2）2≥0，|a+b+1|≥0，∴解得．（2）如圖①中，∵∠OAB+∠OBA＝90°，MA平分∠BAO，MB平分∠ABO，∴∠MAB+∠MBA＝∠BAO+∠ABO＝×90°＝45°，∴∠M＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°．∵AM、AO將∠BAC三等分，BM、BO將∠ABC三等分，∴∠CAB+∠CBA＝3（∠MAB+∠MBA）＝135°，∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝45°．探究：（1）如圖②中，結(jié)論：2∠M﹣∠C＝90°．理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，∴可以假設(shè)∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y(tǒng)，∵∠AOB＝∠M+∠MAO+∠MBO，∠AOB＝∠C+∠CAO+∠CBO，∴90°＝x+y+∠M①，90°＝2x+2y+∠C②，∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．（2）如圖③中，結(jié)論：2∠M﹣∠C＝90°．理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，∴可以假設(shè)∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y(tǒng)，∵∠AOB+∠OBM＝∠M+∠MAO，∠AOB+∠OBC＝∠C+∠CAO，∴90°+y＝x+∠M①，90°+2y＝2x+∠C②，∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．題型二：與8字模型有關(guān)的壓軸題5．（江蘇）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①，∠B+∠4＝∠P+∠2②，①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠P＝∠D+∠B．6．（四川）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）如圖2，BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度數(shù)；②∠A和∠C為任意角時，其他條件不變，猜想∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）在圖3中，點E為CD延長線上一點，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延長線與DP交于點P，請直接寫出∠P與∠A、∠C的關(guān)系，無需證明．【詳解】解：（1）∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D；（2）①設(shè)∠ABP＝∠CBP＝x，∠ADP＝∠CDP＝y(tǒng)，則有x＋∠A＝y(tǒng)＋∠P，x＋∠P＝y(tǒng)＋∠C，∴∠P?∠A＝∠C?∠P，∴∠P＝（∠A＋∠C）＝（28°＋36°）＝32°；②設(shè)∠ABP＝∠CBP＝x，∠ADP＝∠CDP＝y(tǒng)，則有x＋∠A＝y(tǒng)＋∠P，x＋∠P＝y(tǒng)＋∠C，∴∠P?∠A＝∠C?∠P，∴∠P＝（∠A＋∠C）；（3）延長AB交PD于點M，∵∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，∴設(shè)∠CBQ=x，∠EDP=y，則∠ABC=4x，∠ADE=4y，由（1）可知：∠A+4x=∠C+180°-4y①，∵∠AMP=∠A+∠ADP=∠A+3y，∠AMD=∠P+∠MBP=∠P+3x，∴∠A+3y+∠P+3x=180°②，∴聯(lián)立①②得：∠A+3∠C+4∠P=180°．7．（江蘇）已知：線段AD、BC相交于點O，連接AB、CD．(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝44°，則∠P的度數(shù)=°；(3)如圖3，∠BAD和∠BCD的三等分線AP和CP相交于點P，，，試探究∠B、∠D、∠P三者之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(4)如圖4，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，請猜想∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不需要說明理由．【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠DOC=180°，而∠AOB=∠DOC，∴∠A+∠B=∠D+∠C；故答案為：∠A+∠B=∠D+∠C（2）∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠B=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠D，∴∠B-∠P=∠P-∠D，即∠P=（∠D+∠B）．∵∠B=36°，∠D=44°，∴∠P=40°；故答案為：40°（3）2∠B+∠D=3∠P，理由如下：∵，∴∠BAD=3∠2，∠BCD=3∠4，∴∠1=2∠2，∠3=2∠4，由（1）中結(jié)論得：∠1+∠B=∠3+∠P①，∠4+∠D=∠2+∠P②，①+②×2，得：∠B+2∠D=3∠P．（4）2∠P=∠B+∠D．理由：∵CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP=∠PCB，∠FAG=∠GAD，∵∠PAB=∠FAG，∴∠GAD=∠PAB，∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD=∠B+∠PCB，∵∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，∴∠P+（180°-∠GAD）=∠D+（180°-∠ECP），∴2∠P=∠B+∠D．6．如圖①，已知線段AB，CD相交于點O，連接AC，BD，我們把形如圖①的圖形稱之為“8字形”．如圖②，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD，AB分別相交于M，N．試解答下列問題：(1)在圖①中，寫出一個關(guān)于∠A、∠B、∠C、∠D的關(guān)系的等式．(2)在圖②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度數(shù)；(3)在圖②中，若設(shè)∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用α，β表示∠P），并說明理由；(4)如圖③，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)為．【解答】解：（1）解：結(jié)論：∠A+∠C=∠B+∠D．理由：如圖中，∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠DOB=180°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠A+∠C=∠B+∠D．故答案為：∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=（∠C+∠B），∵∠C=100°，∠B=96°，∴∠P=（100°+96°）=98°；（3）解：結(jié)論：∠P=（β+2α）．理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=∠BDC-∠BAC，∠P-∠B=∠BDC-∠BAC，∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，∴∠P=（∠B+2∠C），∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=（β+2α）；（4）解：∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

8．（江蘇）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，顯然有；閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：(1)如圖2，AP、CP分別平分、，若，，求的度數(shù)；(2)①在圖3中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，并說明理由．②在圖4中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無需說明理由．③在圖5中，AP平分，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無需說明理由．【解答】解：（1）∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．（2），理由如下：①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的結(jié)論得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴．②，理由如下：如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由題干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，在四邊形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥在四邊形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴；③，理由如下：如圖5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由題干結(jié)論得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，∴．題型三：與燕尾模型有關(guān)的壓軸題9．利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖（4），由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案為：180°；（2）如圖（5），由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．10．（山西晉中）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請你直接寫出∠C的大?。驹斀狻拷猓海?）解：三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）（2）證明：連接CD并延長至F，∵∠1和∠2分別是△ACD和△BCD的一個外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠C），解得：∠C=70°．11．（江蘇）模型規(guī)律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．12．（福建）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號——箭號．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；應(yīng)用：（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．【詳解】（1）如圖，連接AD并延長至點E∵又∵∴（2）①由（1）可知，∵，，∴；②由（1）可知，∵，，∴，平分，CF平分，，（3）由（1）可知，∵，，∴，∵，分別是、的2020等分線（），∴，∴。題型四：與動角有關(guān)的壓軸題13．（江蘇泰州）直線AB、CD相交于點O，∠AOC＝α，點F在直線AB上且在點O的右側(cè)，點E在直線CD上（點E與點O不重合），連接EF，直線EM、FN交于點G．（1）如圖1，若點E在射線OC上，α＝60°，EM、FN分別平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度數(shù)；（2）如圖2，點E在射線OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度數(shù)與∠AFE的度數(shù)無關(guān)，求m的值及∠EGF的度數(shù)（用含有α的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，若將（2）中的“點E在射線OC上”改為“點E在射線OD上”，其他條件不變，直接寫出∠EGF的度數(shù)（用含有a的代數(shù)式表示）【詳解】（1）∵EM、FN分別平分∠CEF和∠AFE，∴∠MEF＝∠CEF，∠EFG＝∠AFE，∵∠EGF＝∠MEF﹣∠EFG，∴∠EGF＝∠CEF﹣∠AFE＝（∠CEF﹣∠AFE）＝∠COF，而∠AOC＝α＝60°，∴∠COF＝180°﹣60°＝120°，∴∠EGF＝60°；（2）∵∠CEF﹣∠AFE＝∠COF＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α+∠AFE，∵∠MEF＝m∠CEF，∴∠MEF＝m（180°﹣α+∠AFE），∵∠EGF＝∠MEF﹣∠NFE，∴∠EGF＝m（180°﹣α+∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE，∵∠EGF的度數(shù)與∠AFE的度數(shù)無關(guān)，∴3m﹣1＝0，即m＝，∴∠EGF＝（180°﹣α）＝60°﹣α；（3）∵∠BOC＝∠CEF+∠AFE＝180°﹣α，∴∠CEF＝180°﹣α﹣∠AFE，∴∠MEF＝m∠CEF＝m（180°﹣α﹣∠AFE），而∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，∴∠EGF＝180°﹣∠MEF﹣∠NFE＝180°﹣m（180°﹣α﹣∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝180°﹣m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE，∵∠EGF的度數(shù)與∠AFE的度數(shù)無關(guān)，∴3m﹣1＝0，即m＝，∴∠EGF＝180°﹣（180°﹣α）＝120°+α．

14．如圖1，含角的直角三角板與含角的直角三角板的斜邊在同一直線上，D為的中點，將直角三角板繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）如圖2，當(dāng)________時，；當(dāng)______時，；（2）如圖③，當(dāng)直角三角板的邊、分別交、的延長線于點M、N時；①與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與度數(shù)的和；若變化，請說明理由；②若使得，求出、的度數(shù)，并直接寫出此時的度數(shù)；③若使得，求的度數(shù)范圍．【詳解】解：（1），當(dāng)時，，而，，解得；當(dāng)時，，此時，，解得；（2）①與度數(shù)的和不變．連接，如圖3，在中，，，在中，，即，；②根據(jù)題意得，解得；，即，；③，，，，，即，，，解得，的度數(shù)范圍為．15．（河南鄭州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB邊上的中點，三角板OMN的直角頂點與O重臺，∠MON=90°，直角三角形板MON繞點O旋轉(zhuǎn)使邊OM交AC于點D，邊ON交BC于點E（D、E不與A、B重合），連接DE．(1)如圖①，當(dāng)CA=CB=4時，①請直接寫出DE的取值范圍：②判斷△DOE的形狀并說明理由；③判斷四邊形ODCB的面積在旋轉(zhuǎn)的過程中是否變化，若不變，求出該四邊形的面積；若變化，請說明變化的范圍；(2)如圖②，判斷并說明線段AD，DE和BE的數(shù)量關(guān)系．解：①∵CA=CB=4，∴，當(dāng)OD⊥AC時，DE有最小值，∵∠A=45°，，∴，∴，∴，∵O是AB邊上的中點，∴，∴OD＝AD=2，∴，∴OD=CD=2，∵，∴此時∠OEC=∠OEB=9