人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第12章 重點(diǎn)突破訓(xùn)練：尺規(guī)作圖及應(yīng)用（原卷版）

第12章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：尺規(guī)作圖及應(yīng)用典例體系考點(diǎn)1：基本尺規(guī)作圖典例：（2020·北京初三二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線“的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，直線和直線外一點(diǎn)．求作：直線，使直線直線．作法：如圖，①在直線上任取一點(diǎn)，作射線；②以為圓心，為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連接；③以為圓心，長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)；分別以為圓心，大于長為半徑作弧，在的右側(cè)兩弧交于點(diǎn)；④作直線；所以直線就是所求作的直線．根據(jù)上述作圖過程，回答問題：（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖中的圖形；（2）完成下面的證明：證明：由作圖可知平分，．又，．(_______________________________)(填依據(jù)1)．，．，∴直線直線．(______________________)(填依據(jù)2)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作圖，然后再進(jìn)行推理論證.鞏固練習(xí)1．（2020·陜西省初一月考）已知點(diǎn)C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)過點(diǎn)C作CN∥OA，作圖痕跡如圖所示.下列對(duì)弧FG的描述，正確的是()A．以點(diǎn)C為圓心，OD的長為半徑的弧B．以點(diǎn)C為圓心，OM的長為半徑的弧C．以點(diǎn)E為圓心，DM的長為半徑的弧D．以點(diǎn)E為圓心，CE的長為半徑的弧2．（2020·山東省初一期中）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OB上，用直尺和圓規(guī)作∠BCN＝∠AOC，這個(gè)尺規(guī)作圖的依據(jù)是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA3．（2020·遼寧省初三二模）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角等于已知角；②作一個(gè)角的平分線；③過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線；④作一條線段的垂直平分線，則對(duì)應(yīng)作法錯(cuò)誤的是（）A．① B．② C．③ D．④4．（2020·河北省初三一模）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示，則對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是（）A．作一個(gè)角等于已知角B．作一個(gè)角的平分線C．作一條線段的垂直平分線D．過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線5．（2020·河北省初三一模）下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角的平分線；②作一個(gè)角等于已知角；③作一條線段的垂直平分線．其中作法正確的是（）①②③A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．（2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)中考真題）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功地找到三角形角平分線交點(diǎn)的是()A． B．C． D．7．（2020·河北省初三二模）圖1～圖4是四個(gè)基本作圖的痕跡，關(guān)于四條?、佟ⅱ?、③、④有四種說法：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長為半徑所畫的?。唬?）?、谑且訮為圓心，任意長為半徑所畫的?。唬?）?、凼且訟為圓心，任意長為半徑所畫的?。唬?）?、苁且訮為圓心，任意長為半徑所畫的弧；其中正確說法的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．18．（2022·河北省金華中學(xué)初二期中）如圖是作的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對(duì)角9．（2020·北京垂楊柳中學(xué)初一期末）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程.已知：∠O，求作：一個(gè)角，使它等于∠O.作法：如圖：①在∠O的兩邊上分別任取一點(diǎn)A，B；②以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧；以點(diǎn)B為圓心，OB為半徑畫?。粌苫〗挥邳c(diǎn)C；③連結(jié)AC,BC，所以∠C即為所求作的角.請(qǐng)根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下列證明．證明：連結(jié)AB，∵OA=AC，OB=，，∴≌（）（填推理依據(jù)）．∴∠C=∠O．典例：（2020·廣東省初三其他）如圖，已知銳角，．（1）尺規(guī)作圖：求作的角平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）點(diǎn)在邊上且，請(qǐng)連接，求證：．方法或規(guī)律點(diǎn)撥此題考查了基本作圖--角平分線的畫法，以及三角形全等的判定及性質(zhì)．解題關(guān)鍵是掌握基本作圖．鞏固練習(xí)1．（2020·廣西壯族自治區(qū)中考真題）如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2020·廣東省中考真題）如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2020·湖北省中考真題）如圖，中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．4．（2020·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）初二期中）如圖,在△ABC

中,∠C=90°,以點(diǎn)B

為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交AB、BC于點(diǎn)M、N分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN的長度為半徑畫弧兩弧相交于點(diǎn)P過點(diǎn)P作線段BD,交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,則下列結(jié)論①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5．（2020·江蘇省初三二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以頂點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D．若BD=3，AC=10，則△ACD的面積是_____．6．（2020·河北省中考真題）如圖，∥CD，以點(diǎn)為圓心，小于長為半徑作圓弧，分別交，于點(diǎn)、，再分別以、為圓心，大于的同樣長為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，則射線為_____________；若，則的度數(shù)為__________．7．（2020·云南省初三學(xué)業(yè)考試）如圖，以點(diǎn)為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交兩邊于點(diǎn)．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)．已知點(diǎn)到邊的距離為，則點(diǎn)到邊的距離為_________．考點(diǎn)3：利用尺規(guī)作圖作三角形典例：（2022·北京市第五十四中學(xué)初二期中）數(shù)學(xué)課上，老師提出問題，任意畫兩條長度不等的線段a、b，利用尺規(guī)作圖作Rt△ABC，使線段a、b分別為三角形的一條直角邊和斜邊，小勇所作之圖如下：請(qǐng)你回答下列問題：（1）在以下作圖步驟中，小勇的作圖順序可能是_____；（只填序號(hào)）①以B為圓心，BA的長為半徑畫弧，交射線AG于點(diǎn)D．②畫直線BF．③分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于線段AB的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)F．④以點(diǎn)A為圓心，線段b的長為半徑畫弧，交直線BF于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．⑤畫射線AG，并在AG上截取線段AB=a（2）∠ABC=90°的理由是_____．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了尺規(guī)作圖——復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)等，掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·廣東省初一期末）尺規(guī)作圖：如圖，作一個(gè)直角三角形ABC，使其兩條直角邊分別等于已知線段m，n．（保留作圖痕跡，不寫作法）2．（2020·山東省初三二模）如圖，已知：點(diǎn)P和直線BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是，點(diǎn)M落在BC上．3．（2020·山東省初三期中）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：線段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝c，AB＝2c．4．（2022·寶雞高新第一中學(xué)初一期末）已知∠α，線段a，b，求作：△ABC，使∠B=∠α，AB=2a，BC=b．(要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法及證明)5．（2020·山東省青島三十九中初一期中）（用直尺和圓規(guī)作圖）已知：線段，求作：，使.6．（2022·三明市第十二中學(xué)初一月考）如圖，已知△ABC，用直尺與圓規(guī)作△DEF，使得△DEF≌△ABC．（不要寫作法，保留作圖痕跡．）7．（2020·山東省青島第二十六中學(xué)初一期中）已知：線段，，求作：，使，．8．（2020·青島超銀中學(xué)初三月考）已知：線段，，求作，，使，，．考點(diǎn)4：利用尺規(guī)作圖作其它圖形典例：（2020·泰興市河頭莊中學(xué)初三二模）如圖，已知點(diǎn)D為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（1）請(qǐng)?jiān)谶匒C上確定一點(diǎn)E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺規(guī)作圖、保留作圖痕跡、不寫作法）；（2）根據(jù)你的作圖證明S△BCD＝S△BCE．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了尺規(guī)作圖－作平行線、三角形的面積等知識(shí)，掌握平行線間的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·古田縣第十中學(xué)初一期中）如圖，一塊大的三角板ABC，D是AB上一點(diǎn)，現(xiàn)要求過點(diǎn)D割出一塊小的三角板ADE，使DE∥BC，請(qǐng)用尺規(guī)作出DE和∠A的平分線．(不寫作法，留下作圖痕跡，要有結(jié)論)2．（2020·北京初三二模）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：已知：∠α，直線l和l上兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C在直線l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．小剛的做法如下：①以∠α的頂點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，交兩邊于M，N；以A為圓心，同樣長為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)P；②以P為圓心，MN的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q，作射線AQ；③以B為圓心，任意長為半徑作弧，交直線l于E，F(xiàn)；④分別以E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧在直線l上方交于點(diǎn)G，作射線BG；⑤射線AQ與射線BG交于點(diǎn)C．Rt△ABC即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：連接PQ在△OMN和△AQP中，∵ON=AP，PQ=NM，OM=AQ∴△OMN≌△AQP（__________）（填寫推理依據(jù)）∴∠PAQ=∠O=α∵CE=CF，BE=BF∴CB⊥EF（____________________________）（填寫推理依據(jù)）3．（2020·山西省初一期中）如圖，利用尺規(guī)在的邊上方作，并說明：．（尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）4．（2020·廣西壯族自治區(qū)初三學(xué)業(yè)考試）如圖，已知，直線及上兩點(diǎn)，．尺規(guī)作圖：作，使點(diǎn)在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）5．（2020·陜西省初一期中）如圖，已知，．求作：，使．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）6．（2020·陜西省中考真題）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）7．