平面彎曲-梁的正應力及正應力強度計算（建筑力學）

一、純彎曲時梁橫截面上的正應力第四節(jié)梁的正應力及正應力強度計算彎曲應力

從梁的內(nèi)力圖可知，在梁的CD段，各橫截面上只有彎矩而沒有剪力，這種情況稱為純彎曲。在梁的AC、BD段，各橫截面上既有剪力又有彎矩，稱為橫力彎曲。1.幾何變形方面梁的純彎曲現(xiàn)象:梁純彎曲時正應力公式也要從幾何變形、物理關系和靜力學關系三方面考慮。１）原來為直線的縱向線都彎成了曲線，下面的縱向線都伸長了，上面的縱向線都縮短了。２）原來為直線的橫向線仍為直線，只是相互傾斜了一個角度，并且仍垂直于彎曲后的梁軸線。３）矩形截面的上部變寬了，下部變窄了。彎曲應力根據(jù)觀察梁的純彎曲現(xiàn)象，可以做出如下假設和推斷：（1）平面假設（2）單向受力假設產(chǎn)生純彎曲的梁，變形之前為平面的橫截面變形之后仍為平面，并且仍垂直于彎曲后的梁軸線。將梁看成由無數(shù)根縱向纖維組成，各纖維只產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮變形，而互相之間沒有擠壓。彎曲應力由變形的連續(xù)性又可推出：在伸長和縮短之間必有一層纖維既不縮短也不伸長，這層纖維稱為中性層。

中性層與橫截面的交線稱為中性軸。

中性軸將梁的橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)。根據(jù)平面假設可知，縱向纖維的伸長和縮短是橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的結(jié)果。彎曲應力任一根縱向纖維的線應變上式說明：各纖維的縱向線應變與它到中性層的距離成正比。距中性層最遠的上下邊緣處的線應變最大，而中性層的線應變?yōu)榱?。ρ為中性層上的纖維的曲率半徑。)彎曲應力2.物理關系方面對任一確定的截面，E/ρ為一常數(shù)，所以上式說明：梁橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。中性軸上各點處正應力為零，距中性軸最遠的上、下邊緣上各點處正應力最大，其他點的正應力介于零到最大值之間。彎曲應力3.靜力學關系方面由各微內(nèi)力對z軸之矩的代數(shù)和應等于該截面上的彎矩，可導出

彎曲應力純彎曲時橫截面上正應力的計算公式：用上式計算正應力時，通常只將M及y的絕對值代入，求應力的數(shù)值，而正應力σ的正負號由彎矩M的正負號及點的位置來判斷。彎曲應力正應力公式的使用條件：（1）梁產(chǎn)生純彎曲。（2）正應力不超過材料的比例極限。（3）公式對橫截面有縱向?qū)ΨQ軸的其它形狀截面梁都適用。彎曲應力

對于跨度與截面高度之比

l/h

大于5時，可以忽略切應力對正應力的影響，橫截面上的最大正應力按純彎曲正應力公式計算。二、橫力彎曲時梁橫截面上的正應力

橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時，橫截面是不僅有正應力，而且有切應力。

梁在純彎曲時所作的平面假設和各縱向纖維間無擠壓的假設不再成立。彎曲應力

例10-12簡支梁受均布荷載q作用，試完成：(1)求距左端為１m的C截面上a、b、c三點的正應力。(2)作出C截面上正應力沿截面高度的分布圖。

解

（1）求指定截面上指定點的應力先求出支座反力彎曲應力C截面的彎矩MC=5.25×1－3.5×1×0.5=3.5kN·m作梁的彎矩圖如圖示?？缰薪孛鎻澗刈畲螅渲禐閺澢鷳?/p>

計算C截面上a、b、c三點的正應力：

矩形截面對中性軸z的慣性矩彎曲應力(2)作C截面上正應力沿截面高度的分布圖。彎曲應力三、梁的正應力強度計算1.梁的最大正應力對于等截面直梁，彎矩最大的截面就是危險截面，而危險截面上距中性軸最遠的上邊緣或下邊緣處各點即為危險點。令：式中WZ稱為抗彎截面系數(shù)，僅與截面的幾何形狀及尺寸有關。單位：m3或mm3。工程中常用簡單截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)見表10-8。彎曲應力

對于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后“附錄”型鋼表中查出。彎曲應力

對于中性軸不是截面對稱軸的梁，例如T型截面的等直梁。全梁的σtmax

或σcmax不一定發(fā)生在|Mmax|截面處，需對最大正彎矩和最大負彎矩處的σtmax和σcmax分別計算。

在最大正彎矩截面上，梁的下邊緣產(chǎn)生最大拉應力，上邊緣產(chǎn)生最大壓應力，其值為彎曲應力2.梁的正應力強度計算

對于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于，所以其正應力強度條件為

對于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于，所以其正應力強度條件為彎曲應力3.梁的正應力強度在工程中的應用(1)正應力強度校核(2)設計截面(3)確定許用荷載彎曲應力

例10-13圖示簡支梁選用木材制成，其橫截面為矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應力[σ]=11MPa，試校核該梁的正應力強度。解（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力，由對稱性可得FBy=FAy=7kN

再作梁的彎矩圖，如圖示。

從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為Mmax=10kN·m

。彎曲應力

(2)計算截面的幾何參數(shù)。(3)校核梁的正應力強度。該梁滿足正應力強度要求。彎曲應力例10-16T形截面外伸梁如圖，已知：荷載FP1=40kN，F(xiàn)P2=15kN，材料的彎曲許用應力分別為[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面對中性軸的慣性矩Iz=5.73×10-6m4，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離y2=38mm，其它尺寸如圖。試校核該梁的強度。解（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。彎曲應力B截面上彎矩取得最大負值，MB==3kN·m；=4.5kN·m。C截面上彎矩取得最大正值，M